1、1从几道概率问题的错解谈概率的教学建议浙江省湖州中学 李连方（313000）概率是对随机现象的统计规律进行研究的数学科学，在研究方法上与以往学习的定性数学有所不同，而新教材对概率中的有关概念的描述过于通俗、直观和自然，导致对有些概念描述得不完整，使学生在初次学习概率时往往会感到不适应、理解不透彻，结果导致种种的错误。下面笔者通过对几道题目错解的辨析来谈谈概率教学的几点建议。问题 1（2005 年 10 月湖北大学中学数学 ）设棋子在正四面体 的表面从一BCDA个顶点移向另外三个顶点是等可能的。现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动。若投出的点数是奇数，则棋子不动；若投出的点数是偶数，则棋子移动到
2、另一顶点，若棋子的初始位置在顶点 。若投 次骰子，棋子才到达顶点 的概率是多少？投 （ ，且A2Bn1）次骰子呢？Nn原解：设投 （ ，且 ）次骰子，棋子才到达n1Nn顶点 的概率为 ，那么棋子没有到达顶点 的概率为Ba，所以投 次骰子，棋子才到达顶点 的概率为n1B， ，又)1(32na )71(671nna，61427数列 是以 为首项，公比为 的等比数列。na11 61 即 ， 。)6(4271nn na)(7352a辨析：原解中错误的原因是混淆了对立事件的概念。事实上，若投 （ ，且n1）次骰子，若事件“棋子才到达顶点 ”的概率为 ，则其对立事件的概率不为NBn。由于棋子没有到达顶点
3、的事件中既包含有前 次均未到达顶点 ，也包含有第na1 B（ ）次到达了顶点 ，其后只要骰子投出的点数是奇数，棋子仍然在顶点 处，k所以投 次骰子，棋子才到达顶点 的概率为 就不等于 。B1na)1(32na正解：直接解之，由题意可知，前 次棋子只能在 点处或 点处，在第 （ADC、 k）次到第 次的变化中，棋子变化的情形有不动和移动到另两个顶点（始1nk1k终保持在 、 、 三点处） ，其中不动的概率为 ，移动的概率为 。故前 次ACD 1的概率为 ，而第 次再使得投出的点数为偶数，从而使棋子从 或1)32(n A、点处移动到 点处，因此在第 次在 点处的概率为 。可BB32)12(1nna
4、验证当 时与原解中的答案一致，但当 时，就不同了。2,1n32问题 2（北京海淀区 2005 年模拟）甲、乙两个围棋队各 名队员按事先安排好的顺序5进行擂台赛，双方 号队员先赛，负者淘汰，然后负方的 号队员再与对方的胜者再赛，12负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜。假设每个队员是实力相当，求甲方有 名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率。4原解：首先计算比赛结束的不同方式，可分甲获胜和乙 获胜。若甲获胜，则甲方的 名选5手共获胜的局数为 场，则命题转化为不定方程 的非负整数解，5 54321xx则有 种情形，同理若乙获胜也有 种情形。若甲方有 名队员被淘汰且最后战胜
5、乙 49C49C方，则可转化为不定方程 的非负整数解，则有4321xx种情形，所以甲方有 名队员被淘汰且最后战胜乙 方的概483435637率为 。 （注：此种解法是笔者根据其给出答案推测的。 ）12498CP辨析：原解中错误的原因是混淆了等可能事件的概念。比赛结束的情形中，包含有实际的比赛场次只进行了 等五种不同的比赛情形。这几种情况并非是等可能事件。98765、正解：因为每个队员是实力相当，所以甲（乙）每个队员胜的概率是 ，对于每一21种满足甲方有 名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率为 ，这样的情形共有 种，因4 9)21(48C此所求的概率为 。98)21(C问题 3（2005 年湖北高考
6、文科第 21 题）某会议室用 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一5只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 年1以上的概率为 ，寿命为 年以上的概率为 。从使用之日起每满 年进行一次灯泡更换1p2p1工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 只灯泡的概率；2（2）在 第 二 次 灯 泡 更 换 工 作 中 ， 对 其 中 的 某 一 盏 灯 来 说 ， 求 该 盏 灯 需 要 更 换 灯 泡 的 概 率 。原解：（1）略；（2）对该盏灯来说，在第 、 次都更换了灯泡的概率为 ；在第一次不更换1221)(p灯泡而在第
7、二次需要更换灯泡的概率为 ，故所求的概率为)(21p。)()1(212pp辨析：该解答中的（2）的答案是错误的，它混淆了独立事件的概念。在第二次灯泡更换工作中，具体对于某盏灯泡来说，应分为“第一、二次都更换” 、 “第一、二次都不更换” 、“第一次不更换灯泡而在第二次更换” 、 “第一次更换灯泡而在第二次不更换”四类事件。原解中把事件“第一次不更换灯泡而在第二次更换”理解成两个独立事件。事实上， “第一次不更换灯泡而在第二次更换”应理解为“一只灯泡其寿命介于 年与 年之间” ，它是一123个单一事件。正解：“第一、二次都更换”的概率为 ， “第一、二次都不更换”的概率为21)(p， “第一次更
8、换灯泡而在第二次不更换”的概率为 ，故有“第一次不更换灯2p 1泡而在第二次更换”的概率为 ，因此所求的概2121)()(2p率为 。)()1(212p因此，笔者根据自己的实际教学实践经验和学习体会，就新教材“概率”必修部分的教学谈谈几点教学建议。1 重视概念的理解和辨析从上述的问题的辩解中，可以看到概念在解题中有这不可忽视的作用，这就要求教师自身要加强概率中概念的学习和反思,真正的将抽象的概率知识转变成具体的概率知识。同时老师在教学中，要强调学生学习的数学知识要经历其形成过程，利用教材中的典型例题，让学生能看到一般概念的实际背景，弄清知识的来龙去脉；而且要能将所学的东西运用到实际中去，同时能
9、够领悟到具体情景中所蕴涵的数学思想方法，正所谓的“从实际中来，到实际中去” ，在学生思维“最近发展区”内，教师可以创设恰当的问题情景，同时结合计算机模拟，让学生在问题的解决的过程中，产生进一步学习概率的积极情感，并逐渐提高自己的数学思维能力。2 重视阅读能力和学法的培养新的教学大纲明确提出了“数学地突出数学问题” ，而且现在全国各地的高考数学试题也正引导人们关注生产实践和社会生活中的数学问题，这就要求学生有较强的数学文化的交流能力、阅读理解表达和转化能力。在平时的教学中，教师应加强指导，使学生的阅读、理解、转化、表达和理解迁移能力得到提高，使学生善于揭示问题中的隐蔽关系、寻找新的解决方法、发现
10、新的结论或规律，学会一题多解和多题一解，学会合理分类、一般到特殊，正难则反等常见的数学方法。3 重视概率模型的形成和辨析新课程强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学。 “问题情境- 建立模型 -解释与应用 ”是数学新课程标准倡导的教学模式。联系实际、注重实际应用性是近几年高考改革的特点，也是学习概率知识的重要途径。因此在学习和复习的过程中，要善于利用各种模型的特点，挖掘各种模型在思维能力方面的作用，合理地采用题组教学和变式教学，尽量使学生在头脑中形成重要的概率模型和模型的各种问题情景，如“摸球问题” 、 “射击问题” 、 “比赛问题” 、 “信箱问题” 、 “即时停止
11、问题”等实际问题，以便从中学习到将实际问题转化为概率问题，从而提高学生的建模能力。4 重视学生的兴趣和信心的培养 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 明 确 指 出 ： “通 过 高 中 阶 段 数 学 文 化 的 学 习 ， 使 学 生 了解 数 学 科 学 与 人 类 社 会 发 展 之 间 的 相 互 作 用 ， 体 会 数 学 的 科 学 价 值 、 应 用 价 值 、 人 文 价值 ， 开 阔 视 野 ， 寻 求 数 学 进 步 的 历 史 轨 迹 ， 激 发 对 数 学 创 新 原 动 力 的 认 识 ， 受 到 优 秀 文化 的 熏 陶 ， 领 会 数 学 的 美 学 价 值
12、 ， 从 而 提 高 自 身 的 文 化 素 养 和 创 新 意 识 。 ”由于概率的产生、建立和发展与生活实际密切相关，所以教师在教学中不应当将概率问题仅看作一个传统的确定性的数学 ，将概率的的公式和法则当作重点，而要让学生了解随机现象与概率的意义，使学生初步学会描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，如：彩票问题、摸奖问题、抛掷硬币问题、药效问题、生日问题等，让学生4在实际问题的解决中体会到学习概率的趣味性，激发学习概率的兴趣和信心，从而进一步提高学习数学的兴趣，这样才能真正让学生运用概率思考问题，形成用随机观念观察和分析问题，最终提高学生的数学素养。参考文献1 赵祥燕 江河递推关系在概率中的应用.中学数学，2005，102 宋波 赵欣庆.高三概率复习后测分析及复习策略。中学数学月刊，2005，12
