1、应用极端原理解决与圆有关的中考最值问题315100 浙江省宁波市鄞州实验中学 蔡卫兵中考压轴题中频繁出现有关最值问题，常让很多同学束手无策，望而生畏。其实与圆有关的中考最值问题大多由动点而产生，找出动点(相应动线)的极端位置，常常能确定最值。因为许多事物的性质和矛盾,最容易在其临界情况和极端状态下体现和暴露出来,所以在解决数学问题时,常常利用极端、临界的元素为“突破口“,进行探索、推理论证,使“变动“转化为“确定“,从而分散问题的难点使问题得到解决。2014 年各地的中考试题有许多圆的知识与最值问题综合起来考查，我们可以采取“谋定而后动”的策略，先将问题引向极端，考察“特殊位置” 、 “特殊图
2、形” ，进而简化解题，提高解题速度。本文试图通过几道中考压轴题介绍极端性原理在解与圆有关的中考最值问题中的具体运用，供参考。1“连心线与圆的交点”为“到圆上动点距离之最值”的极端位置例 1、如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将AMN 沿MN 所在的直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是 。 解析：因为 M 是 AD 边的中点， ，所以A=M1，点 A， 在 M 为圆心，1 为半径的圆上，因此连接 CM，当点 A，落在 CM 上时 AC 长度的最小。过 M 点作 MHCD 交 CD 的延长线于点 H，则由已知可
3、得，在 RtDHM 中，DM=1，HDM=60， ，.M A=NA=1，.AC 长度的最小值是 。 例2、在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB 上移动连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F 的移动，使得点 P 也随之运动，若AD=2，试求出线段 CP 的最小值。解析：由于点 E，F 的移动速度相同，可得 EADFDC，所以EAD=FDC；因为FDC+FDA=90，所以EAD+PDA=90，因此点 P 在运动中保持APD=90，所以点3HD=2，P 的路径是一段以 AD 为直径的弧，设 AD 的中点为 O，连接 OC 交弧于点
4、P，此时 CP 的长度最小，再由勾股定理可得 OC= ，再求 CP= 。55-1例 3、如图BAC=60，半径长 1 的O 与BAC 的两边相切，P 为O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE 长度的最大值为 。解析：因为线段 DE 所对的圆周角为 60，易得 ，所以当 AP 最大时 DE取最大值，因此 连接 AO 并延长，与圆 O 交于 P 点，此时线段 ED 最大。设圆 O 与 AB 相切于点 M，连接 OM，PD，由对称性得到 AF 为角平分线，得到FAD 为 30 度，根据切线的性质得到 OM 垂直于 AD，在直角三
5、角形 AOM 中，利用 30所对的直角边等于斜边的一半求出AO=2，由 AO+OP 求出 AP=3，即圆 P 的半径为 3，由 AED 为等边三角形，得到 DP 为角平分线，在直角三角形 PFD 中，利用 30所对的直角边等于斜边的一半求出 PF= ，再利用勾32股定理求出 FD= ，由 DE=2FD 求出 DE= ，即为 DE 的最大值322“弧的中点”为“圆上动点到定线距离之最值”的极端位置例 4、如图， O 的半径是 2，直线 l 与 O 相交于 A、 B 两点， M、 N 是 O 上的两个动点，且在直线 l 的异侧，若 AMB=45，则四边形 MANB 面积的最大值是 解析：过点 O
6、作 OCAB 于 C，交O 于 D、E 两点，连结 OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，AMB=45，AOB=2AMB=90，OAB 为等腰直角三角形，AB= OA= ，S 四边形 MANB=SMAB +SNAB ，当 M 点到 AB 的距离最大，MAB 的面积最大；当 N 点到 AB 的DE=3rAPNMOBA l距离最大时，NAB 的面积最大，即 M 点运动到 D 点，N 点运动到 E 点，此时四边形 MANB 面积的最大值=S 四边形 DAEB=SDAB +SEAB = ABCD+ ABCE= AB（CD+CE）=ABDE= 。例5、如图，已知在边长为8的正方形 ABCD 中， E
7、 是 BC 边的中点， P 在过 A、 E、 D 三点的圆上，则 APE 面积的最大值是 。解析：设圆心为 O，由垂径定理得，点 P 在 AE 的垂直平分线上时，点 P 到 AE 的距离最大，APE 面积的最大，过点 E 作 EFAD 于 F，连接 AO，设圆的半径为 r， 点 E 是 BC 的中点，BE=4， 在 RtAOF 中，AO 2=AF2+OF2， 即 r2=42+（8-r） 2， 解得 r=5， 在 RtABE 中，AE= ， 设 PO 与 AE 交点为 G，则 AG= ， 455在 RtAOG 中，OG= ， PG= ， 5APE 的最大面积= 。1()1023“切线切点”为“有
8、关角度之最值”的极端位置例 6、在平面直角坐标系中，点 A(2,0)，以 A 为圆心， 1 为半径作A ，若 P 是A 上任意一点，则 的最大值为 。解析：如图：当 有最大值时，即 tanAOP 有最大值，也就是当 OP 与圆相切时，tanAOP 有最大值，此时 tanAOP= ，在 RtOMP 中，由勾股定理得：OP= ，则 tanMOP=例 7、我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线 所构成的角叫做这个点对这条线段的视角.如图 ，在平 面直角坐标系 中，已知点 D（0，4） ，E（0，1） 。点 G 为 xxOy轴正半轴上的一个动点，当点 G 对线段 DE 的视角DGE 最大时，求点
9、G 的坐标。解析：经过点 D、E 的P，根据圆内角、圆周角、圆外角三者的关系，当P 与 x 轴相切于点 G 时，视角DGE 最大。 由垂径定理得，点 P 在 DE 的垂直平分线上；由切线性质得，点 P 在过点 G 且与 x 轴垂直的直线上。所以 PE=PG= ， 由勾股定理得，PH=2，OG=2，即52G 的坐标为（2，0）。例 8、对于平面直角坐标系 xO y中的点 P 和C，给出如下定义：若C 上存在两个点 A，B ，使得APB=60，则称 P 为C 的关联点。已知点 D（ 21， ），E（0，-2），F（ 3，0）。（1）当O 的半径为 1 时， 在点 D，E，F 中，O 的关联点是_；
10、过点 F 作直线交 y轴正半轴于点 G，使GFO=30，若直线上的点 P（ m， n）是O 的关联点，求 m的取值范围；（2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 r的取值范围。解析：(1) ED、 ； 由题意可知，若 P点要刚好是圆 C的关联点；需要点 P到圆 C的两条切线PA和 B之间所夹的角度为 60；由图 1可知 60APB，则 30B，连接 ，则rCC2sin；HyO x341 312224321yO x341 312224321DE PG图1C BAPxyMP2G(P1)图2HO Fxy图3NKEF若 P点为圆 C的关联点；则需点 P到圆心的距离 d满足 r2
11、0；由上述证明可知，考虑临界位置的 点，如图 2，点 P到原点的距离 21OP；过 O作 x轴的垂线 H，垂足为 ， 3tanOGF； 60GF； 360sinG； 23siHP； 60；易得点 1P与点 重合，过 2作 xM轴于点 ；易得 32MP； 30cos2OM；从而若点 为圆 的关联点，则 P点必在线段 21上； 30m；(2) 若线段 EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段 的中点；考虑临界情况，如图 3；即恰好 FE、 点为圆 K的关联时，则212KN；此时 1r；故若线段 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径 r的取值范围为 。4“
12、直径为圆中最长弦”为“有关线段之最值”的极端情形例 9、如图，AB 是O 的一条弦，点 C 是O 上一动点，且ACB=30，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点，直线 EF 与O 交于 G、H 两点若O 的半径为 7，则 GE+FH 的最大值为 解析：由点 E、F 分别是 AC、BC 的中点，根据三角形中位线定理得出 EF= AB 为定值，则GE+FH=GHEF，所以当 GH 取最大值时，GE+FH 有最大值而直径是圆中最长的弦，故当 GH为O 的直径时，可求得 GE+FH 的最大值为 143.5=10.5例 10、如图，C、D 是以 AB 为直径的O 上的两个动点(点 C、D 与点 A、B
13、 不重合)，在运动过程中弦 CD 长始终保持不变，M 是弦 CD 的中点，过点 C 作 CPAB 于点 P若CD=3，AB=5，PM=l，则 l 的最大值是_解析：延长 CP 交O 于点 E，连接 DE，由垂径定理得，点 P 为 CE 的中点，又因为 M 是弦CD 的中点，所以 PM 为 CDE 的中位线，所以 PM= DE。因此当 DE 为O 的直径时，可求12得 l 的最大值为 2.5。综上所述，与圆有关的中考最值问题若能灵活地利用常见的极端、临界的元素为“突破口” ，便能简洁、明快的解题效果。参考文献：1刘岚英. 利用构造法巧解数学中的最值问题， 中学数学（初中版） 2015（1）：76-77
