1、第 二 章 有导体时的静电场 （8 学时）一、目的要求 1深刻理解导体静电平衡的条件和特点； 2了解导体平衡时的讨论方法； 3掌握电容、电容器及电容的计算方法； 4了解带电体系的静电能。二、教学内容 1静电场中的导体（2 学时） 2封闭金属壳内外的（2 学时）3电容器及其电容（2 学时）4带电体系的静电能（2 学时）三、本章思路 本章主要研究导体在静电场中的特性，其基本思路是：导体的电结构 静电平衡条件 静电场中导体的特性静电场中导体特性的应用电容、静电屏蔽、尖端放电。四、重点难点 重点：导体静电平衡的特性五、讲课提纲 2.1 静电场中的导体一、教学内容（1）静电平衡（2）带电受到的静电力（3
2、）孤立导体形状对电荷分布的影响（4）导体静电平衡时的讨论方法（5）平行板导体组举例二、教学方式讲授三、讲授提纲（一）导体的静电平衡1导体的特性导体内存在着大量的自由电荷，它们在电场作用下可以移动。中性导体：导体若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于正离子点阵间，从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度 ；0带电导体：净余电量不为零的导体；孤立导体：距其它物体无限远的导体。电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。2导体的静电平衡（1）静电平衡的定义导体中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随时间而变的状态。（2）静电平衡条件导体内部的场强处处为零。即所有场源（包括分布在导体上的电
3、荷）产生的电场在导体内部处处抵消，即 。0iE反证 若导体内某点场强不为零，则该点的自由电荷将在电场力的作用下作定向运动，导体便没有达到静电平衡，与定义矛盾。（3）导体的静电感应中性导体无外电场作用时，自由电荷只作微观热运动，无宏观电量的迁移，处于静电平衡。当加上外电场 （施感外场）时， 推动导体内的自由电荷作定向运动，引起自由电荷重0E0E新分布，在导体表面出现等量异号电荷，这种现象叫静电感应，导体表面上出现的电荷称感应电荷。这些感应电荷产生的附加场 在导体内与外场 0E反向。当 0 E时， ，自 由电荷将继续运动，导体表面的感应电荷增多， 增大，总有一个时候使得导体内部（ 与 0 E在导体
4、内完全抵消）时，无净电力作用于电荷，则它停止定向运0E动，电荷重新分布过程结束达到新的静电平衡。可见：导体处在电场中达静电平衡时，导体上总有一定感应电荷分布，否则无 ；E导体上感应电荷产生的场与外电场的合场强在导体内处处为零，导体内不能有电场线穿越。示例：导体球置于均匀外电场 中。图 2-1(a)为原问题，图 2-1(b)为静电平衡时的情0 E形：导体内 与 反方，至 止；导体外 与 叠加，场发生畸变，成为0 E内 0 E。0(a) (b)图 2-1（4）导体静电平衡时的性质 导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。 导体内处处 ， 设 P、Q 是导体上任意两点（包括表面）0E 导体上
5、任两点电势差 ，即 。QPldEU0QPU静电平衡时，导体所带电荷只能分布在导体表面上在导体内任作一个闭合曲面 S，应用高斯定理有：0iSqdE0iq由于 S 是任意的，当 时仍成立，即导体内任一点均无电荷。故导体所带电荷只S能分布在导体的表面上。静电平衡时，导体面外附近的场强处处与表面垂直，且正比于该点的电荷面密度。 与等势面正交，且导体表面为一等势面，E （ 为导体面外法向单位矢） 。n作如图 2-2 所示高斯面: 由 ， 得hs,SqsdE0内0dE内侧外即： 或 。 0s0En0说明(1) 是导体表面某一面元上的电荷面密度， 是该面元邻近一点的场强，不同的面元E上电荷面密度不同，场强亦
6、不同。（2）导体面外邻近一点的场强并非仅仅由 上的电荷激发，而是空间所有电荷共同激S发的合场强，（3）若在导体附近引入另一导体,将影响导体表面的电荷分布 （对应于已调节到使导体内 为终态的 ） ，从而影响电场分布。但原导体表面附近的场公式形式不变。0E(4) 公式与无限大均匀带电 的平板之场公式 差倍的解释：02E如图 2-3 所示，先在导体上取面元 ：因s两点分居面内外,而且极接近面元，故可视p为无限大，有 、snEp02np02图 2-2图 2-3再看其余面（ ）上电荷以及其他电荷（除 外）在 点之场：由于 点ssp, p,极近，除 外的所有电荷在 之场设为 。sp,SE最后，用叠加原理：
7、 ，即 0 Sp合点 在 导 体 内 ， 所 以因 为 ppSnE02故面外 p 点合场强为： nEpSp02合上述可形象地理解为：场大一倍之因在于无限大平板两侧发出的电场线（两侧等量） 、在导体情况下则集中于一侧（导体内 ） ，使面外场强加倍，而成为 。 0（二）带电导体所受到的静电力静电平衡时，导体所带电荷分布在导体的表面上，在导体表面 P 点处任取一个小面元，其上带有电荷 ，它将位于其余电荷的电场之中，故受电场力为SSq，其中 是除 以外所有电荷在 P 点处产生的场强 ，所以qPEF)()(pE nE02)(，这就是导体表面任一面元 的受力公式。推广到无限小面元有：nS02)( S，整个
8、导体所受到的力为： 。dqPEdF02)( SSndF02例1 如图所示，两块厚度都是的无限大平行平板均匀带电，电荷体密度分别为 ，试求电场对每一平板单位面积的作用力，设A板带正电，B 板带负电。解：A板上的电荷在B板处产生的电场为： 0012AEiiABx。 。 F图 2-4在 B 板上取面元 ， 上的电荷受到的电场力为：SiSiEdqFAB 200121单位面积受到的电场力为：iEiiSf 202020 111例 2一半径为 R、带电为 q 的球形导体，被切为两半，如图 2-5 所示，求两半球的相互排斥力。解：方向沿 x 轴方向。（三）孤立导体表面曲率对电荷分布影响 导体静电平衡时，电荷分
9、布于表面，但确定 是有一定难度的。),(zyx1 一般情况与导体 等因素有关。即使周围引入不带电的其它导),(zyx周 围 其 它 电 荷 的 场带 电 总 量形 状体也会改变 分布（静电感应，达到新的平衡） 。),(z2 特例孤立导体其它物体在该导体处的影响略而不计。此时导体表面 分布（相对分布）只与导体形状有关：凸的地方（曲率大） ， 大；凹的地方（曲率小） ， 小。例如：孤立带电 Q、半径 R 的导体球（壳） ，外表面 ，电荷球面对24RQ称分布；孤立无限大导体平板带电 Q、面积 S，各面 。S201ndFEdSe0YdFdSEdFXcos210 2002in16RqXX203RSsin
10、2 204RqFdSx图 2-5例：相距甚远的两导体球，半径分别为 、 ，现用一根细导线将它ARB们相连，并使它们带电，求面电荷之比 ？。B解：两球相距甚远，可将两球各自视作独立，导线相连则等势。因电荷分布于有限区域，故可以， AARqU04BBRq04其中 、 可作为预先假设。由 得qBAU， BARq ABBABRqR224球面上的电荷面密度与球半径成反比。大致说来，形状简单的孤立导体，表面上的面电荷密度与曲率有密切的关系，曲率大，大；曲率小， 小；曲率为负的地方， 最小。3尖端放电导体尖端 大， 亦大，易击穿空气而放电。空气0E中存有少量电子，在 中被加速，碰撞中性分子使之电离成离子，正
11、、负离子可自由移动，空气击穿而成导体：负正 与尖端异号电荷被吸引至尖端而中和尖端放电， 与尖端同号电荷被排斥远离形成“电风” 。尖端放电时，其附近隐隐笼罩光晕电晕，黑夜中高压线附近可见此景。尖端放电之利弊：利场致发射显微镜、范氏起电机、引雷针、静电除尘等；弊浪费电能、引发火灾、爆炸等。作业：第 78 页 2.1.1 2.1.5 2.1.6（四）导体静电平衡问题的讨论方法当把导体引入电场后，由于电荷与电场的相互影响，相互制约，使问题变得复杂，正确的讨论必须遵从静电场两个基本方程高斯定理和环路定理，但涉及的数学知识较多，我们图 2-6将借用电场线这个工具来讨论几个静电平衡问题。例 1 ：感应电荷的
12、绝对值 q小于或等于施感电荷q。解：终止于 B 左端的电场线不可能来自于 B 右端的正电荷，也不可能来自无穷远，只能来自 A 上的正电荷。由高斯定理知：例 2 中性封闭金属壳内有点电荷 q，求壳内、外壁的感应电荷。解：从壳内电荷发出的电场线在无电荷处不中断，又不能穿过金属壳，只能全部终止在壳内表面上。故有：由于金属壳是电中性的，所以在壳外表面上q有： 例 3：如图 2-9 所示，已知 、 、 及接地条件，Rrq求导体球上感应电荷 。?q解：选 O 点进行考察。运用电势叠加原理及接地条件，有04100SRdsrq而 S 即： qr， 其中 。R 1rR例 4：第 52 页例 6，略 （五）平行板
13、导体举例例 5：两平行金属平板 A、B，面积均为 S，板间距为 d 比板面的长、宽小得多，令 A、B 分别带上 、 电量，求两板上电荷分布。AqB解：略去边缘效应，设四个面上的电荷面密度分别为 、1、 、 。234UBA| +q+q-qBA+q -q qA B图 2-7 rP0. .导 体 d图 2-8q 0 S r Rq导 体 球图 2-9a b S 1 2 3 4 d图 2-10A B. .方法一：运用高斯定理、电荷守恒定律解答。 ， ， ，SqBA43213241SqBA21SqBA2方法二：用场叠加原理、电荷守恒解答。基础公式为 ，运用在导体内的合场为零进行分析，结论同02E因导体内
14、E=0 0431E以对 a 点：同理对 b 点： 可得： ，又：讨论 时， ， QBA41S03 ， 02SQ例 6在上例中，若将金属板 B 接地，求 A、B 两板表面上的电荷密度。解：B 板接地后，方程变为： 04解之得： SQ21 01332SQA021四、作业P79 2.1.1 2.1.5 2.1.6 2.2 封闭金属壳内外的静电场一、教学内容（1）壳内空间的场（2）壳外空间的场（3）范德格拉夫起电机（4）库仑平方反比定律的精确验证（5）静电屏蔽21400200 043214314SA21SQB4341 3A124xAB3图 2-11？+q 图 2-12二、教学方式讲授三、讲授提纲（一）
15、壳内空间的场1壳内空间没有带电体的情况（壳外有）导体壳的内表面上处处没有电荷，电荷只分布在外表面；空腔内没有电场，或者说，空腔内的电位处处相等。为了证明上述结论，在导体壳内、外表面之间取一闭合曲面 S，将空腔包围起来（见右图）。由于闭合面 S 完全处于导体内部，其上场强处处为 0，因此没有电通量穿过它。由高斯定理可知，在 S 内（即导体壳的内表面上）电荷的代数和为 0。在此基础上还需证明，在导体壳的内表面上不仅电荷的代数和为 0，而且各处的面电荷密度 也为 0。利用反证法，假定内表面上 并不处处为 0，由于电荷的代数和为 0，必然有些地方 ，有些地方 。由于电场线只能从正电荷出发，到负电荷终止
16、，不0能在没有电荷的地方中断。此时，空腔中没有电荷，所以从内表面 的地方发出的电场线，还会在腔内中断，只能终止在内表面 的地方。如果存在这样一根电场线，电场沿此电场线的积分必不为 0。也就是说，这电场线的两端间有电位差。但这根电场线的两端都在同一导体上，静电平衡要求这两点的电位相等。因此上述结论与平衡条件相违背。由此可见，达到静电平衡时，导体壳内表面上 必须处处为 0。下面证明腔内没有电场。由于内表面附近 ，且电场线既不可能起、止于内表面，又不可能在腔内有端点或形成闭合线。所以腔内不可能有电场线和电场。没有电场就没有电位差，故腔内空间各点的电位处处相等。根据静电平衡下导体壳的内表面处处没有电荷
17、的性质，将带电导体与导体壳内表面接触时，带电导体上的电荷一定会全部转移到导体壳的外表面上去。0enE2壳内空间有带电体 q 时导体壳内表面带电-q 壳内空间的场由壳内电荷与壳内表面上感应电荷共同决定证明：如右图所示，在导体壳内、外表面之间作一高斯面 S（图中虚线），由于高斯面处在导体内部，在静电平衡时场强处处为 0，所以通过 S 的电通量为 0。根据高斯定理，S 内 ，所以如果导体壳内有一带电体 q q，则内表面必定带电-q。（二）壳外空间的场1壳外空间无带电体（壳内有）壳外表面带电+q壳外空间的电场由壳外表面上的感应电荷决定壳外空间的场由壳内电荷间接引起，但壳外表面上的感应电荷分布决定于壳外
18、表面的形状。移动壳内电荷时，壳外电场不变（壳内要变）增加壳内电荷的量值时，壳外电场成比例增加，但分布规律不变 。从这种意义上说，壳内电荷不影响壳外电场的分布。若将导体壳接地，外表面感应电荷入地，壳外电场为零。2壳外空间有带电体壳外电荷 q 在壳外表面要感应出电荷 ,壳内电荷 Q 在壳外表面上感应出电荷 Q)(q壳外空间的场由壳外电荷与壳外表面上的感应电荷共同决定。若将导体壳接地，壳内电荷 在外表面感应出的同号电荷将入地，而壳外电荷在外表面感应出的异号电荷由于受到壳外电场的约束而不能入地，壳内电荷不影响壳外的场。A结论：封闭导体壳（不论接地与否）内部电场不受壳外电场的影响；B封闭导体壳外部的电场受壳内电场的间接影响（影响强度而不影响分布），但接地导体壳外部的电场不受内部电场的影响；C. 壳外空间的电荷（包括壳外壁的感应电荷）在壳外壁以内的区域产生的合场强为零；壳内电荷（包括壳内壁的感应电荷）在壳内壁以外的区域产生的合场强为零。（三）、范德格拉夫起电机利用导体壳的性质可以将电荷不断地由电位较低的导体一次一次地传递给另一电位较高的导体，使后者电位不断升高。如右图所示，绝缘金属球 A 与电池的正极相联，电池负极接地，从而球 A 地之间保持一定的电位差。我们图 2-15+q 图 2-16图 2-17 范德格拉夫起电机原理演示
