1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高 考理科数学 第一次 模拟考试 数学试题（理科） 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分 150分，考试用时 150分钟。 第卷 （选择题，共 60分） 注意事项： 1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答 题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 参考公式：
2、 如果事件 A、 B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 24RS 如果事件 A、 B相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 其中 R表示球的半径 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 球的体积 公式 P，那么 n次独立重复试验中事件 A恰 334 RV 好发生 k次的概率 其中 R表示球的半径 ),2,1,0()1()( nkppCkP knkknn 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1已知 x、 y都是实数，下列集合中，恰有 2个元素的集合是 （ ） A 0 2 xx B | 2
3、 xxyy C | 2 xxyx D 0| 2 yyy 2已知 iii 13,计算是虚数单位 （ ） A i21 B i21 C i2 D i2 3若 A、 B是锐角 ABC的两上内角，则点 )c o tta n,ta n( c o t ABABP 在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4经过抛物线 ),(4 112 yxAxy 线于的焦点作直线交该抛物 、 ),( 22 yxB 两点，如果|AB|=8，那么 21 xx = （ ） A 4 B 6 C 8 D 10 5已知一个棱长为 2a 的正方体的八个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的体积、表面积分别为 （ ） A
4、 23 12,34 aa B 23 3,34 aa C 23 12,23 aa D 23 3,23 aa 6已知 )21,0(,lo g,)21( 221 xxcxba x 当时，下列不等式，正确的是 （ ） A cba B acb C cab D bac 7用数学归纳法证明不等式 )1(2413212111 Nnnnnn 且时，在证明1kn 这一步时，需要证明的不等式是 （ ） A 2413212111 kkk B 241312 1213111 kkkk C 241312 1213121 kkkk D 241322 112 1213121 kkkkk 8已知偶函数 ,0)(),()( 在区间
5、并且的定义域为 xfxf 上是减函数，如果xxfxf 那么实数),3()13( 的取值范 围 是 （ ） A )2,( B（ 2， 2） C )2,21( D )2,41( 9 )2142 53(lim 22 xxxxx等于 （ ） A B 1 C 27 D 37 10已知点 P在 PBCA B CAPPCPBA B C 的面积是设并且内 ,6, 的面积的 m倍，那么 m= （ ） A 38 B 34 C 4 D 2 11已知 3742 :,6:7:, SSaanaS nn 则若项和的前为等差数列 等于 （ ） A 2： 1 B 6： 7 C 49： 18 D 9： 13 12计算 170c
6、o s50c o s20c o s （ ） A 31 B 61 C 81 D 161 第卷 （非选择题，共 90分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡上。 13函数 )5,1(5)s in (ln3 Pxxy 在点 处的切线方程为 。 14已知实数 x、 y 满足 yxyxyx 2,6)2()2( 2222 则的最大值等于 。 15如果在数列 1, 1 aan 中 ，对任何正整数 n，等式 nn anna )2(1 都成立， 那么2limnann 的值等于 。 16设 b， c， m 是空间的三条不同直线，是空间的三个不同平面，在下面给出的四个命题
7、中： 若 cbmcmb /, 则 ； 若 cbcb 则,/, ； 若 mm 则,/ ； 若 则,/ 。 其中正确命题的序号为 。（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10分） 已知向量 ).0,1(),c o s,c o s(),s in,( c o s cxxbxxa （ I）若 的夹角与求向量 cax ,6 ； （ II）当 12)(, baxfRx 求函数时 的最小正周期 T。 18（本小题满分 12分） 已知 ccxxxxf 常数,221)( 23 是实数 . （ I）当 )(xf
8、取得极小值时，求实数 x的值； （ II）当 )(,21 xfx 求时 的最大值。 （ II）当 ccxfx 求恒成立不等式时 ,)(,21 2 的取值范围。 19（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形， PD底面 ABCD，PD=DC，点 E是 PC的中点，点 F在 PB上， EF PB。 （ I）求证： PA/平面 BDE； （ II）求证： PB平面 DEF； （ III）求二面角 C PB D的大小。 20（本小题满分 12分） 已知甲盒内有大小相同的 1个红球和 3个黑球，乙盒内有大小相同的 x个红球和 4个黑球。现在先从甲盒内一次
9、随机取 2个球，再从乙盒内一次随机取出 2个球，甲盒内每个球被取到的概率相等，乙盒内每个球被取到的概率也相等。已知取出的 4个球都是黑球的概率为 .51 （ I）求乙盒内红球的个数 x； （ II）设为取出的 4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望。 21（本小题满分 12分） 已知双曲线 S 的中心是原点 O，离心率为 xy 52,5 2 抛物线 的焦点是双曲线S的一个焦点，直线 Skxyl 与双曲线1: 交于 A、 B两个不同点。 （ I）求双曲线 S的方程； （ II）当以 AB为直径的圆经过原点 O时，求实数 k的值。 22（本小题满分 12分） 已知 ., nnnn TnnaSna
10、n 项和为的前数列项和为的前数列是正整数 对任何正整 数 n，等式 )3(21 naSnn都成立。 （ I）求数列 的na 通项公式； （ II）求 Tn； （ III）设 .,3)42(,2 的大小与比较 nnnnnn BASnBTA 参考答案 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1 5 DABBA 6 10 DDCCB 11 12 AC 二、填空题 ： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 02)3( yx 14 41 15 21 16 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。 17（本小题满分 10分） （ I）解： 6x当 时
11、， 2222 0)1(s i nc o sc o s|c o sxxxca ca 2分 ,236c o sc o s x 4分 0 ， .65 5分 （ II）解： 分分10.228),42s i n (22c o s2s i n2)1c o s2(c o ss i n21)c o ss i nc o s(212)(22Txxxxxxxxxbaxf18（本小题满分 12分） （ I）解： 分和的两根为方程 3.132023)(.23)(,221)(2223xxxfxxxfcxxxxf分取得极小值时当时当时当5.)(,1;0)(,1;0)(,132xfxxfxxfx（ II）解： 由（ I）知：
12、 ,23)( 2 xxxf 分的最大值为时当又处取到或者在的最大值只可能在时当是增函数时当是减函数时当是增函数时当时当时当时当9.2)2()(,21).32()2(,2)2(,2722)32(.232)(,21.)(,2,1;)(,)1,32(;)(,32,1.0)(,2,1;0)(,)1,32(;0)(,32,1cfxfxffcfcfxxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfx（ III）解： 分的取值范围是或解得即恒成立的充要条件是时当 最大12).,2()1,(.21,2.)2(,)()(,212222ccccccfcxfcxfx19（本小题满分 12分） 解法一： （ I）证明 如图
13、，连结 AC， AC交 BD 于点 G，连结 EG。 底面 ABCD是正方形， G为 AC的中点 又 E为 PC的中点， EG/PA。 EG平面 EDB， PA 平面 EDB， PA/平面 EDB 4分 （ II）证明： PD底面 ABCD， PD BC， PD DC， PD DB 又 BC DC， PD DC=D， BC平面 PDC。 PC是 PB在平面 PDC内的射影。 PD DC， PD=DC，点 E是 PC的中点， DE PC。 由三垂线定理知， DE PB。 DE PB， EF PB， DE EF=E， PB平面 EFD。 8分 （ III）解： PB平面 EFD， PB FD。 又
14、 EF PB， FD EF=F， EFD就是二面角 C PB D的平面角。 10分 PD=DC=BC=2， PC=DB= .221,22 PCDE PD DB， .3 6232 222,328422PBDBPDDFDBPDPB 由（ II）知： DE PC， DE PB， PC PB=P， DE平面 PBC。 EF平面 PBC， DE EF。 .2 362 32s i n, DFDEEFDD E FRt 中在 EFD=60。 故所求二面角 C PB D的大小为 60 。 12分 解法二： 如图，以点 D为坐标原点， DA、 DC、 DP所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴， 建立空间直角坐标系
15、，得以下各点坐标： D（ 0， 0， 0）， A（ 2， 0， 0）， B（ 2， 2， 0）， C（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2） 1分 （ I）证明： 连结 AC， AC交 BD 于点 G，连结 EG。 底面 ABCD是正方形， G为 AC的中点 G点坐标为（ 1， 1， 0）。 又 E为 PC的中点， E点坐标为（ 0， 1， 1）， ,./,/3.2).1,0,1(),2,0,2(E D BPAE D BEGEGPAEGPAEGPAEGPA平面平面即分 PA/平面 EDB 4分 （ II）证明： 分平面又即8.,.,.0),1,1,0(),2,2,2(EFDPBEEFDE
16、PBEFDEPBDEPBDEPBDEPB（ III）解： PB平面 EFD， PB FD。 又 EF PB， FD EF=F， EFD就是二面角 C PB D的平面角。 10分 ,2136362949294|c o s),31,31,32(),34,32,32(),34,32,32(.34,32,31.0,22,2.0222),2,2,2()2,(,0,/).,(),2,(),(FEFDFEFDE F DEFFDFzyxkzyxkzkyxzyxkkkzyxPBDFPBkPFPBDFPBPFzyxDFzyxPFzyxF的坐标为点解得即则的坐标为设点 EFD=60。 故所求二面角 C PB D的大
17、小为 60。 12分 20（本小题满分 12分） （ I）解： 设 “从甲盒内取出的 2个球均为黑球”为事件 A ，“从乙盒内取出的 2个球均为黑球”为事件 B 由于事件 AB， 相互独立，所以取出的 4个球均为黑球的概率为 .)()()( 2 4242423 xCCCCBPAPBAP 2分 依题设512 4242423 xCCCC ， ).(92.0)9)(2(,51)3)(4( 6舍去或即xxxxxx 故乙盒内红球的个数为 2。 5分 （ II）解： .3,2,1,0可能的取值为 由（ I）知 分又8.103)3()1()0(1)2(,301)3(,157)1(,51)0(262224111326141224232624241326242423PPPPCCCCCPCCCCCCCCCPCCCCP的分布列为 0 1 2 3 P 51 157 103 301 10分 .67301310321571510 E的数学期望 12分 21（本小题满分 12分） （ I）解：由题意设双曲线 S的方程为 ),0,0(12222 babyax 2分 c为它的半焦距， 分的方程为双曲线根据已知得6.14,1.21.5,2522222yxSacbaacc（ II）解：
