1、 专题 9.2：三角测量应用题 【 拓展探究 】 探究 1：以三角函数的定义为载体的三角应用题 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮 1O 的半径为 r2 （ r 为常数），小飞轮 2O 的半径为 r ，rOO 421 .在大飞轮的边缘上 有两个点 A ， B ，满足 31 ABO，在小飞轮的边缘上有点C 设大飞轮逆时针 旋转一圈，传动开始时，点 B ， C 在水平直线 21OO 上 m （ 1）求点 A 到达最高点时 A ， C 间的距离； （ 2）求点 B ， C 在传动过程中高度差的最大值 . 【解】（ 1）以 1O 为坐标系的原点， 12OO 所在直线为 x 轴，如图所示建立直角 坐
2、标系当点 A 到达最高点时，点 A 绕 O1转过 6，则点 C 绕 O2转过 3 此时 A（ 0， 2r）， C 93( , )22rr 2293( ) ( 2 ) 2 5 2 322A C r r r r （ 2）由题意，设大飞轮转过的角度为 ，则小飞轮转过的角度为 2，其中 0,2 此时 B（ 2rcos ， 2rsin ）， C（ 4r rcos2 ， rsin2 ） 记点 ,BC高度差为 d ，则 | 2 si n si n 2 |d r r 即 2 | s in s in c os |dr 设 ( ) sin sin c osf ， 0,2 ，则 ( ) (1 c os ) ( 2
3、c os 1 )f 令 ( ) (1 c os ) ( 2 c os 1 ) 0f ，得 1cos2或 1则 23， 43， 0 或 2 列表： 0 2(0, )323 24( , )3343 4( ,2)3 2 ()f + 0 0 + ()f 0 极大值 f(23 ) 极小值 f(43 ) 0 当 23时， f()取得极大值为 334；当 43时， f()取得极小值为 334 答：点 B， C 在传动中高度差的最大值max 332dr A OZ OZ CZ BZ 1 2 x y 探究 2：以三角函数的图象为载体的三角应用题 如图，摩天轮的半径为 50 m，点 O 距地面的高度为 60 m，摩
4、天轮做匀速 转动，每 3 min 转一圈，摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处 . （ 1） 试确定在时刻 t（ min）时点 P 距离地面的高度； （ 2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 P 距离地面超过 85 m? （ 3）求证：不论 t 为何值， )2()1()( tftftf 是定值 . 【 解 】 设点 P 离地 面的距离为 y，则可令 y Asin(t ) b. 由题设可知 A 50， b 60. 又 T 2 3，所以 23 ，从而 y 50sin(23 t ) 60. 再由题设知 t 0 时 y 10，代入 y 50sin(23 t ) 60，得 sin 1，从而 2. 因
5、此， y 60 50cos23 t (t0). （ 2）要使 点 P 距离地面超过 85 m，则有 y 60 50cos23 t 85，即 cos23 t 12. 于是由三角函数 基本性质 推得 23 23 t 43 ，即 1 t 2. 所以，在摩天轮转动的一圈内，点 P 距离地面超过 85 m 的 时间有 1 分钟 . 探究 3：以解三角形为载体的三角应用题 1. 在路边安装路灯，灯柱 AB与地面垂直，灯杆 BC与灯柱 AB所在平面与道路垂直，且120ABC，路灯 C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD，路宽 24AD米，设灯柱高 ABh（米）， ACB （30 45）
6、 . （ 1）求灯柱的高 h（用 表示）； （ 2）若灯杆 BC与灯柱 AB所用材料相同，记此用料长度和为 S，求 关于 的函数表达式，并求出 S的最小值 CBA D2. 如图，将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 (0 2)得到正方形 ABCD根据平面几何知识，有以下两个结论： AFE ； 对任意 (0 2)， EAL， EAF， GBF， GBH， ICH， ICJ， KDJ， KDL 均是全等三角形 （ 1）设 AE x，将 x 表示为 的函数； （ 2）试确定 ，使正方形 ABCD与正方形 ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积 【 解 】 （ 1）在 Rt EA
7、F 中，因为 AFE ， AE x， 所以 EF xsin， AF xtan 由题意 AE AE x， BF AF xtan， 所以 AB AE EF BF x xsin xtan 3 所以 x 3sin1 sin cos， (0， 2) （ 2） S AEF 12AEAF 12x xtan x22tan (3sin1 sin cos)2cos2sin9sincos2(1 sin cos)2 令 t sin cos，则 sincos t2 12 因为 (0， 2)，所以 4(4， 34 )，所以 t 2sin( 4)(1， 2 S AEF 9(t2 1)4(1 t)294(12t 1)94(1
8、22 1) 正方形 ABCD与正方形 ABCD 重叠部分面积 S S 正方形 ABCD 4S AEF9 9 (1 22 1) 18( 2 1) 当 t 2，即 4时等号成立 3. 如图所示，直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD， 10 3AB m， 33CD m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法： （ 1）如图（ 1）设两根钢管相距 1m，在 AB 上取一点 E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处 ,形成一个 直线型的加固（图中虚线所示）则 BE 多长时钢丝绳最短？ LKJ IHGFECDABOADBCLKJ IHGFECDABOADBC（ 2）如图（ 2）设两根钢管
9、相距 33m，在 AB 上取一点 E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在 D 处、 B 处和 E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）则 BE 多长时钢丝绳最短？ 【解】（ 1）设钢丝绳长为 ym， CFD ，则 33 1 33 1ta nc o s s in c o sy （ 其中00 2 ， 0tan 7 ）， 223 3 c o s sinsin c o sy 当 tan 3 时，即 34BE 时， min 8y （ 2） 设钢丝绳长为 ym， CFD ，则 3 3 3 3 1 c o s s i ns i n c o sy （其中 00 ， 0
10、 1 2 3 3 3tan 333 ） 9 分 22 3 3 3 3c o s s i n3 3 1 s i n c o s c o s s i ns i n c o ss i n c o sy 令 0y 得 sin cos ，当 4 时，即 36BE 时 m in 6 3 2 2y 12 分 4. 海岸线 MAN ， 2,A 现用长为 l 的拦网围成一养殖场，其中 ,B MA C NA （ 1） 若 BC l , 求养殖场面积最大值 ； （ 2） 若 B 、 C 为定点， BC l ，在折线 MBCN 内选点 D ，使 BD DC l，求四边形养殖场 DBAC的最大面积 ； （ 3）若 (2
11、)中 B、 C 可选择，求四边形 养殖场 ACDB 面积的最大值 . A E D C B F A E D C B F 图 1 图 2 【 解 】 （ 1） 设, , 0 , 0.AB x AC y x y 2 2 2 2 c os 2 2 2 c os 2l x y x y x y x y ， 2222 2 c os 2 4 si nllxy ，221 1 c ossi n 2 2 si n c os2 4 si n 4 si nllS x y ， 所以， ABC面积的最大值为2cos4sinl ，当且仅当xy时取到 （ 2） 设,(AB m AC n m n ，为定值 ) 2BC c(定值
12、) ， 由 2DB DC l a ， a = 12 l，知点 D在以 、C为焦点的椭圆上，1 si n 22ABCS m n 为定值只需 BC面积最大 ,需此时点 到 的距离最大 , 即D必为椭圆短轴顶点 22 2 ,4 B C Dlb a c c S 面积的最大值为2 21 224lc b c c ， 因此 ,四边形 ACDB 面积的最大值为2 21 si n 2 lm n c c （ 3） 先确定点 B、 C，使 BCl. 由 (2)知 DBC为等腰三角形时，四边形 ACDB 面积最大 .确定 BCD的形状，使 B、 C 分别在 AM、 AN 上滑动，且 BC 保持定值，由 (1)知 AB
13、=AC 时 四边形 ACDB 面积最大 . A CD ABD， CAD= BAD=，且 CD=BD=2l.来 S=sin2122 ADACS ACD. 由 (1)的同样方法知， AD=AC 时，三角形 ACD 面积最大，最大值为 2tan4221 ll. 所以，四边形 ACDB 面积最大值为 2tan82. 探究 4：以立体几何为载体的三角应用题 1. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 803 立方米，且 2lr 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分
14、每平方米建造费用为 ( 3)cc 千元，设该容器的建造费用为 y 千元 （ 1）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （ 2）求该容器的建造费用最小时的 r 【解】（ I）设容器的容积为 V， 由题意知 234 8 0,33V r l r V 又故 32 2 24 80 4 4 203()3 3 3Vrl r rr r r 由于 2lr ，因此 0 2.r 所以建造费用 2224 2 02 3 4 2 ( ) 3 4 ,3y r l r c r r r cr 因此 2 1604 ( 2 ) , 0 2 .y c r rr （ 2）由（ 1）得 3221 6 0 8 ( 2 )
15、 2 0 8 ( 2 ) ( ) , 0 2 .2cy c r r rr r c 由于 3, 2 0,cc 所 以 当 3 32 0 2 00 , .22rrcc 时令 3 20 ,2 mc 则 0m，所以 2228 ( 2 ) ( ) ( ) .cy r m r r m mr （ 1）当 902 2mc 即 时，易得 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点。 （ 2）当 2m 即 93 2c 时，当 (0, 2) , 0,ry时 函数单调递减， 所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当 93 2c 时，建造费用最小时 2;r 当 92c 时，建造费用最小时 3 20 .2r c
16、 2. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为 O ，半径为 R（米）的球形灯泡该灯架由灯托、灯杆、灯脚三 个 部 件 组成，其中圆弧形灯托 EDECEBEA , 所在圆的 圆心 都是 O 、半径 都是 R（米）、 圆 弧 的 圆心角 都是 （弧度）；灯杆 EF 垂直于地面，杆顶 E 到地面的距离为 h（米） ，且 hR ；灯脚FA 1， FB1， FC1， FD1是正四棱锥 F A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1 的外接圆半径为 R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为 （弧度）已知灯杆、灯脚造价都是每米 a （元），灯托造价是每米3a（元） ，其中 ,Rha 都为
17、常数 设该灯架的总造价为 y （元） （ 1） 求 y 关于 的函数关系式； （ 2）当 取何值时， y 取得最小值 ？ 【解】（ 1）延长 EF 与地面交于 1O ，由题意： 11AFO ，且1 tanRFO ， 从而tanREF h ，1 sinRAF ， O A B C D E F A 1 D C B 1 1 1 44 ( )3 t a n s i na R Ry R h a . 4 4 c o s()3 s iny R a h a ， （ 2） 设 4 4 cos()3 sinf ， 令 224 si n 3 12 c o s() 3 si nf 2(1 2 c o s ) ( 7 2
18、 c o s )=03 s in .3. 当 (0, )3时， 0y ； ( , )32时， 0y ， 设0,)2（，其中0tan 1Rh ，0 4. 0,)32（，3时， y 最小 . 答：当3时，灯架造价取得最小值 . 3. 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为 r 米 .市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米 a 元，圆锥侧面用料单价 分别 是圆柱侧面用料单价和 圆柱底面用料单价的 4 倍 和 2 倍 .设圆锥母线和底面所成角为 （弧度）， 总 费用为 y （元） . （ 1）写出 的取值范围； （ 2）将 y 表示成 的函数关
19、系式； （ 3）当 为何值时， 总 费用 y 最小 ? 【解】设圆锥的高为 1h 米，母线长为 l 米 ,圆柱的高为 2h 米；圆柱的侧面用料单价为每平方米 2a 元，圆锥的侧面用料单价为每平方米 4a 元 . （ 1） (0, ).4 （ 2）圆锥的侧面用料费用为 4arl ,圆柱的侧面费用为 22arh ,圆柱的地面费用为 22ar , 则 224 2 2y a r l a r h a r = 22 (2 )a r l h r =122 2( ) c osra r r h r , = 22 2( ta n ) c os ra r r r r = 2 22 ( ta n ) 3 c osar
20、 . （ 3）设 2( ) ta ncosf ,其中 (0, ).4 则22 sin 1() cosf ， 当 6 时，22 sin 1( ) 0;cosf 当 (0, )6时，22 sin 1( ) 0;cosf 当 ( , )64时，22 sin 1( ) 0;cosf 则当6时， ()f 取得最小值，则当6时，费用 y 最小 . 4. 如图： 设一正方形纸片 ABCD 边长为 2 分米 ， 切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为 一个正方形和四个全等的等腰三角形， 沿虚线折起， 恰 好 能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计） ，图中AH PQ ， O 为正四棱锥底面中心 （ 1） 若
21、正四棱锥的棱长都相等，求 这个正四棱锥的 体积 ； （ 2） 设等腰三角形 APQ 的 底 角为 x，试把正四棱锥 的侧面积 S 表示为 x 的函数 ，并求 S 的范围 【解】 （ 1）设正四棱锥底面边长为 y 分米，由条件知 APQ 为等边三角形， 又 AH PQ ， 32AH y 12OH y ， 2 2 2 232( ) ( )2 2 2yO A A H O H y y 由 2 AH y AC ，即 3 2 2yy得 2231y 323331 1 2 2 ( 2 2 ) 1 63 3 2 6 ( 3 1 ) 3 ( 3 1 )V y O A y 24 3 403 . 答：这个正四棱锥的
22、体积 是 24 3 403 立方分米 （ 2）设正四棱锥底面边长为 y，则 tan2yAH x H QPDCBAxOH QPA由 2AH y AC ，即 tan 2 2y x y 得 22tan 1y x 21 ta n4 8 ( )2 ( ta n 1 ) 4 2xS y A H xx 即为所求表达式 42x， tan 1x ，令 tantx ，则28 ( 1)( 1)tStt ， 由 24180( 1)tS t 对 (1, )t 恒成立知函数在 (1, ) 上为减函数 02S平方分米即为所求侧面积的范围 探究 5： 以追击问题为载体的三角应用题 1. 如图， AB 是沿太湖南北方向道路 ,
23、P 为太湖中观光岛屿 , Q 为停车场， 5.2PQ km某旅游团游览完岛屿后，乘游 船回停车场 Q,已知游船以 13 km/h 的速度沿方位角 的方向行驶， 135sin 游船离开观光岛屿 3 分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点 Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道 M 处，然后乘出租汽车到点 Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车 )假设游客甲乘小船行驶的方位角是 ，出租汽车的速度为 66km/h （ 1） 设 54sin ，问小船的速度为多少 km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点 Q； （ 2） 设小船速度为 10km/h，请你替该游客设计
24、小船行驶的方位角 ，当角 余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达 Q 【 解 】 (1) 如图，作 PN AB ,N 为垂足 135sin ， 4sin5a， 在 Rt PNQ 中， sinPQPN 55.2 213 (km), cosPQQN = 125.2 4.813(km) 在 Rt PNM 中， 21.54ta n3PNMN a (km) 设游船从 P 到 Q 所用时间为 1t h，游客甲从 P 经 M 到 Q 所用时间为 2t h，小船的速度为 1v km/h，则 126 2513 13 5PQt (h), 2 1 1 12 . 5 3 . 3 5 16 6 6 6 2
25、2 0P M M Qt v v v （ h） 由已知得：21120tt，15 1 1 22 20 20 5v ， 1 253v 小船的速度为 253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达 Q （ 2） 在 Rt PMN 中， 2sin sinPNPM aa(km), 2 costan sinPNMN aaa(km) 2 c o s4 .8s inQ M Q N M N aa(km) 1 4 c o s1 0 6 6 5 s i n 5 5 3 3 s i nP M Q Mt aaa 1 33 5 cos 4165 sin 55aa 2221 5 sin ( 33 5 c os ) c os 5
26、 33 c os165 sin 165 sint a a a aaa , 令 0t 得： 5cos33a当 5cos33a时， 0t ；当 5cos33a时， 0t cosa 在 )2,0( 上是减函数， 当方位角 a 满足 5cos33a时， t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达 Q 2. 已知岛 A 南偏东 30 方向，距岛 A 20 海里的 B 处有一缉私艇，一艘走私船正从 A 处以 30 海里每小时的航速沿正东方向匀速行驶 . 假设缉私艇沿直线方向以 v 海里每小时的航速匀速行驶，经过 t 小时截住该走私船 . （ 1）为保证缉私艇在 30 分钟内（含 30 分钟）截住该走私船，试确定缉私艇航行速度的最小值； （ 2）是否存在 v ，使得缉私艇以 v 海里每小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向截住该走私船？若存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 【解】（ 1）最小速度为 1310 海里每小时；（ 2） 30,315v 探究 6：以米勒问题为载体的三角应用题 1. 如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 m4 ，最低点 B 处离地面 m2 .
