1、变式问题教学的粗浅思考 01三牧中学数学组 林山杰（2016-10-7）“一题多解，解法优化；一题多变，变中求同；多题一法，同模通法”是数学解题与习题教学中非常重要的教学方法，也是学生学习的方法对各个数学知识模块，进行这三个维度的探究教学，非常有益于学生的数学思维能力的培养本文主要侧重于思考与研究常见的几何特征模型的一些变式问题的一些结论，并介绍一点对问题变式的改编方法的思考主题 1：关于双角平分线的模型问题 1-1：已知：如图 1-1，在ABC 中，BO、CO 分别平分ABC、ACB，求证：BOC=90 +(1/2)BAC这个问题需要两个知识储备，一个是三角形内角和 180，另一个是角平分线
2、的定义是非常常见的一个几何问题这个问题可以有哪些变式呢？变式方法 1，往特殊的状态以及简单的方向变式，加强条件问题 1-2：已知：如图 1-1，在ABC 中，BO、CO 分别平分 ABC，ACB，若ABC=40 ，ACB=80，求：BOC 的度数问题 1-3：已知：如图 1-1，在ABC 中，BO、CO 分别平分 ABC，ACB，若BAC=60 ，求：BOC 的度数从这两个特殊值入手，有助于学生过渡到一般情况，也就是问题 1-1变式方法 2，往改变图形的位置的方向变式，改变特征条件的位置问题 1-4：已知：如图 1-2，在ABC 中，AO、BO 分别平分BAC、ABC，求证：BOA(1/2)B
3、CA 的值是定值问题 1-5：已知：如图 1-2，在ABC 中，AO、CO 分别平分BAC、ACB，求：COA(1/2)ABC 的值这两个问题还改变了问题设置的提问方式变式方法 3，往逆命题的方向变式，对调原题的条件与结论的位置问题 1-6：已知：如图 1-1，在ABC 中，BO 平分ABC，BOC=90+(1/2)BAC求证：CO 平分ACB变式方法 4，运用类比与对称思维变式，改变内角平分线的条件为外角平分线问题 1-7：已知：如图 1-3，在ABC 中，BP 平分ABC，CP 平分ACE，求：BPC：BAC 的值OACBOACB图 1-1图 1-2PACB E图 1-3问题 1-8：已知
4、：如图 1-4，在ABC 中，BQ 平分DBC，CQ 平分BCF，求：BQC 与BAC 的数量关系这两个问题，最好需要增加一个知识储备：三角形的外角等于不相邻的两个内角和使用这个定理证明的思路更快如果把这两个变式问题的图形和原来的图形画在一起，更容易发现这些问题的关联如图 1-5，CO，CP 分别平分一对邻补角ACB ，ACE，易证OCP=90同理PBQ=90CP，CQ 分别平分一对对顶角ECB，ACE，易证 P、C、Q 三点共线BOC 是 RtOCP 的外角，所以BOC=90+BPCBQC 是 RtBQP 的内角，所以BQC=90- BPC因此这个题组的探究有助于学生发现数学知识的重要关联,
5、而不是孤立的学习数学知识与数学问题变式方法 5，往改变研究的着眼点入手，从研究角的数量问题，研究三角平分线共点问题 1-9：已知：如图 1-2，在ABC 中，BO、CO 分别平分ABC，ACB，求证：AO 平分BAC 问题 1-10：已知：如图 1-6，在ABC 中，BQ、CQ 分别平分DBC，FCB ，求证：AQ 平分BAC问题 1-11：已知：如图 1-7，在ABC 中，BP、CP 分别平分ABC，ACE，求证：AP 平分GAC这三个问题需要新增知识储备：角平分线的性质定理（角的平分线上的点到角两边的距离相等）与判定定理（角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上）变式方法 5-2，还
6、可以研究面积问题问题 1-12：已知：如图 1-1，在ABC 中，BO、CO 分别平分ABC， ACB，若ABC 的周长为 20，O 到 BC 的距离为 4，求：ABC 的面积问题 1-13：已知：如图 1-6，在ABC 中，在ABC 中，BQ、CQ 分别平分DBC，FCB ，若ABC 的周长为 20，ABC 的面积为 30，Q 到 BC 的距离为 4，求： BC的长变式方法 6，增加图形条件，加入其它模型结构，研究一些周长问题或者线段的数量关系。问题 1-14：已知：如图 1-8，在ABC 中，BO、CO 分别平分ABC，ACB，过 O 的直线 NMBC ，M，N 分别在边 AB，AC 上，
7、求证：ABC 与AMN 的周长之差 =BCQOPACBEDFQACBDF图 1-4图 1-5图 1-6 QACBDFPACBEG图 1-7MNOACB图 1-8问题 1-15：条件同问题 1-14，求证：AMN 与ABC 的周长之比+BOC 与ABC 的面积之比=1变式方法 7，重复使用模型特征构造新问题，甚至构造一般化的 n 等分线模型问题 1-15：已知：如图 1-9，在ABC 中，BK、BJ 三等分ABC，CK 、 CJ 三等分ACB，若BAC=80，求：BKC，BKJ的度数问题 1-16：已知：如图 1-10，在ABC 中，BH、BP、BT 四等分ABC，CH 、 CP、CT 四等分A
8、CE，若BAC=80，求：BHC、BTC 的度数问题 1-17(莫莱定理)：已知：如图 1-11，在ABC 中，BU、 BJ 三等分ABC，CV 、 CJ 三等分ACB，AU、AV 三 等分BAC，求证：UVJ 是等边三角形 （这个问题属于高联难度的问题，只适合介绍给学生了解有关数学文化背景即可）变式方法 7，条件强化为特殊角，探究更丰富的内涵问题 1-18：已知：如图 1-12，在ABC 中，BO、CO 分别平分ABC，ACB，若BAC=60 ， （1）求证：OE=OF， BE+CF=BC（2）若ABC=40，求证：BE=EC，BO+OE=BC问题 1-19：去掉部分图形【隐形化变式，常为竞
9、赛题所用】 ，只余下BEC ，条件为在 BEC 中， BE=EC，BEC=100，BO 平分EBC，求证：BO+OE=BC【备注：这个特殊 40-60-80的ABC 还有许多可以研究的问题，如蕴含的母子型相似，连接 AO 还有新的结论等等，以后再研究。比如奥数教程八年级第六版 P118 例 3 例4，P125 例 3】再举个例子，问题 1-20：（这是来自成都吴小平老师网名两把刷子的分享）FEOACBJKACB图 1-9HTPBCAE图 1-10 VUJACB图 1-11图 1-12当然，这个双角平分模型问题的变式不仅仅只有这些。这些难度不一的变式问题不是在一堂课中给学生学习，而是结合教学进度
10、的不同节点，结合学生个体能力水平的不同发展，给学生课内外适当的学习内容。而教师对这系列问题的研究有助于教师理解数学问题之间的横纵关联，有助于教师对数学难题寻根溯源，有助于教师做到因材施教，找到合适的入手点启发点拨学生的学习。【以下是 2016-10-9 补充，并对前面做了一些修改。 】【广州的苏德杰老师对我的这个小文章做了这样的指导，先附录其中，到时有空再梳理修改这个文章。】“特殊化寻思路，一般化找规律，类比化觅相似。老苏总结的教学深入浅出之道：简化，透化，易化。从此角度看，其它之变，可舍矣！”（广州苏德杰语）我的感悟：变式要有方法可依，有脉络可循，还需要做到合理有度和有教育教学价值取向。苏老
11、师在委婉批评我的一些变式的怪异提问方式。这实在是应试所害，不得已提出些怪异的设问，让学生从核心数学概念出发，理解好问题所求。这样的题目设计也并非我的喜欢，玩文字游戏过多会削弱数学教育的核心价值。教学之道，我想补充一点，“关联化”。设计梳理这些难度不等的系列问题一个目的是为了梳理思考学习过的这些问题之间的内在关联，总结变式的方法技巧与价值取向。另一个目的是总结该模型的一些解题经验：1 一生二，二生三 双平分角导出第三平分，一些题目设计还会设计一些隐性的角平分条件，需要学生慧眼识别，从而应用该模型。有关题目抽空再补充，比如此题，来自湖北武汉易怀老师的分享其中 A，B，D 三点共线2 导角 利用有关
12、特殊角的条件和有关模型，求出图形中的所有特殊角，从中发现图形之间的全等或相似关系，从而转化到更多的角的关系和线段的关系。例如奥数教程八年级第六版 P130 的 13 题3 边角转化 利用角平分线的性质或判定定理构造角平分线上的点到角两边的垂线段，从这些垂线段相等出发，可以转化出面积的有关问题。例如这题可以用等面积法另外的目的是为了给个体差异化非常突出的学生设计适合的学习内容。另外苏老师还指出用运动的观点来看变式，我思悟：运动与函数思想相结合，运动与图形变换相结合。实际上加入坐标系背景，设计一些坐标轴上的动点，对这个系列问题还可以有新的变式。暂时就不整理这个问题了。2016-10-11 补充一些题目，作为专题的练习。刷子几何千题大典第 013 题参考答案：武汉方四海老师分享的一些题目，可以用到这里的一些结论：如图，在ABC 中，AB=AC，ADBC，B 的两条三等分线交 AD于 E、G，交 AC于 F、H 求证：EHGC
