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不等式的应用第一节：利用重要不等式证明不等式1：知识要点（1）均值不等式：设是n个正实数，记 它们分别称为n个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：.等号成立的充要条件是。（2）柯西（Cauchy）不等式：设和是给定的实数，则。等号成立的充要条件是：存在（不全为零），使 i=1,2,n（3）柯西不等式的几个推论若，则，当且仅当时取等号。特别地，当且仅当时等号成立若，则，当且仅当时等号成立若，则，当且仅当时（4）排序不等式设是的一个排列，令.则证明 若，由 .设 ，则 可见按上述方法调整后，的值不增，若此时在中，仿上又可得，最多经过步调整以后，若在中，将其中的与互换，得到，则，故所以，由于，利用上面所证结论，得综上，不等式获证。排序不等式可简述为：“反序和乱序和同序和”。（5）琴生不等式若是区间上的凸函数，则对任意的点有等号当且仅当时取得。证明 当时，命题显然成立。假