1、 题型练 6 大题专项 (四 ) 立体几何综合问题 1. 如图 ,在三棱锥 P-ABC中 ,AC=BC=2, ACB=90 ,AP=BP=AB,PC AC. (1)求证 :PC AB; (2)求点 C到平面 APB的距离 . 2. 如图 ,已知正三棱锥 P-ABC的侧面是直角三角形 ,PA=6.顶点 P在平面 ABC内的正投影为点D,D在平面 PAB内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (1)证明 :G是 AB的中点 ; (2)作出点 E在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由 ),并求四面体 PDEF的体积 . 3. 已知 PA 平面 ABCD,CD AD,BA
2、AD,CD=AD=AP=4,AB=2. (1)求证 :CD 平面 ADP; (2)若 M为线段 PC 上的点 ,当 BM PC时 ,求三棱锥 B-APM的体积 . 4. 在三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱 AA1 平面 ABC,D,E分别是棱 A1B1,AA1的中点 ,点 F在棱 AB 上 ,且 AF=AB. (1)求证 :EF 平面 BDC1; (2)求三棱锥 D-BEC1的体积 . 5. 如图 ,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,D,E分别为 AB,BC的中点 ,点 F在侧棱 B1B上 ,且 B1DA1F,A1C1 A1B1. 求证 :(1)直线 D
3、E 平面 A1C1F; (2)平面 B1DE 平面 A1C1F. 6. 如图 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,底面 ABCD为正方形 ,PA 底面 ABCD,PA=AC,过点 A的平面与棱PB,PC,PD 分别交于点 E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处 ). (1)求证 :平面 PAB 平面 PBC. (2)若 PC 平面 AEFG,求的值 . (3)直线 AE是 否可能与平面 PCD 平行 ?证明你的结论 . # 题型练 6 大题专项 (四 ) 立体几何综合问题 1.(1)证明 取 AB的中点 D,连接 PD,CD. AP=BP, PD AB. AC=BC, CD AB. PDCD=D
4、, AB 平面 PCD. PC平面 PCD, PC AB. (2)解 由 (1)知 AB 平面 PCD, 平面 APB 平面 PCD. 过 C作 CH PD,垂足为 H. 平面 APB平面 PCD=PD, CH 平面 APB. CH的长即为点 C到平面 APB的距离 . 由 (1)知 PC AB,又 PC AC,且 ABAC=A, PC 平面 ABC. CD平面 ABC, PC CD. 在 RtPCD中 ,CD=AB=,PD=PB=, PC=2. CH=, 点 C到平面 APB的距离为 . 2.(1)证明 因为 P在平面 ABC内的正投影为 D, 所以 AB PD. 因为 D在平面 PAB内的
5、正投影为 E,所以 AB DE. 所以 AB 平面 PED,故 AB PG. 又由已知可得 ,PA=PB,从而 G是 AB的中点 . (2)解 在平面 PAB内 ,过点 E作 PB的平行线交 PA于点 F,F即为 E在平面 PAC内的正投影 . 理由如下 :由已知可得 PB PA,PB PC, 又 EF PB,所以 EF PA,EF PC.因此 EF 平面 PAC,即点 F为 E在平面 PAC内的正投影 . 连接 CG,因为 P在平面 ABC内的正投影为 D,所以 D是正三角形 ABC的中心 . 由 (1)知 ,G是 AB的中点 ,所以 D在 CG上 , 故 CD=CG. 由题设可得 PC 平
6、面 PAB,DE 平面 PAB, 所以 DE PC,因此 PE=PG,DE=PC. 由已知 ,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE=2,PE=2. 在等腰直角三角形 EFP中 ,可得 EF=PF=2. 所以四面体 PDEF的体积 V=222=. 3.(1)证明 因为 PA 平面 ABCD,PA平面 ADP, 所以平面 ADP 平面 ABCD. 因为平面 ADP平面 ABCD=AD,CD AD, 所以 CD 平面 ADP. (2)解 取 CD的中点 F,连接 BF,在梯形 ABCD中 ,因为 CD=4,AB=2,所以 BF CD.又 BF=AD=4,所以 BC=2. 在 ABP中
7、,由勾股定理求得 BP=2. 所以 BC=BP.又知点 M在线段 PC上 ,且 BM PC,所以点 M为 PC的中点 . 在 平面 PCD中过点 M作 MQ DC交 DP于 Q,连接 QB,QA,则 V三棱锥 B-APM=V三棱锥 M-APB=V三棱锥 Q-APB=V 三棱锥 B-APQ=2=22. 4.(1)证明 设 O为 AB的中点 ,连接 A1O, AF=AB,O为 AB的中点 , F为 AO的中点 .又 E为 AA1的中点 , EF A1O. D为 A1B1的中点 ,O为 AB的中点 , A1D=OB. 又 A1D OB, 四边形 A1DBO为平行四边形 . A1O BD. 又 EF
8、A1O, EF BD. 又 EF平面 DBC1,BD平面 DBC1, EF 平面 DBC1. (2)解 AB=BC=CA=AA1=2,D,E分别为 A1B1,AA1的中点 ,AF=AB, C1D 平面 ABB1A1. 而 , S BDE=-S ABE-=22-21-21-11=. C1D=, S BDEC1D=. 5.证明 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,A1C1 AC. 在 ABC中 ,因为 D,E分别为 AB,BC的中点 , 所以 DE AC,于是 DE A1C1. 又因为 DE平面 A1C1F,A1C1平面 A1C1F, 所以直线 DE 平面 A1C1F. (2)在直三棱柱
9、ABC-A1B1C1中 ,A1A 平面 A1B1C1. 因为 A1C1平面 A1B1C1,所以 A1A A1C1. 又因为 A1C1 A1B1,A1A平面 ABB1A1,A1B1平面 ABB1A1,A1AA1B1=A1, 所以 A1C1 平面 ABB1A1. 因为 B1D平面 ABB1A1,所以 A1C1 B1D. 又因为 B1D A1F,A1C1平面 A1C1F,A1F平面 A1C1F,A1C1A1F=A1, 所以 B1D 平面 A1C1F. 因为直线 B1D平面 B1DE,所以平面 B1DE 平面 A1C1F. 6.(1)证明 因为 PA 平面 ABCD,所以 PA BC. 因为四边形 ABCD为正方形 , 所以 AB BC,所以 BC 平面 PAB. 所以平面 PAB 平面 PBC. (2)解 连接 AF. 因为 PC 平面 AEFG,所以 PC AF. 又因为 PA=AC, 所以 F是 PC的中点 . 所以 . (3)解 AE与平面 PCD不可能平行 . 证明如下 :假设 AE 平面 PCD, 因为 AB CD,AB平面 PCD, 所以 AB 平面 PCD. 而 AE,AB平面 PAB,所以平面 PAB 平面 PCD,这显然矛盾 . 所以假设不成立 ,即 AE与平面 PCD不可能平行 .
