18.4柯西不等式和排序不等式典例精析题型一用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a1,a2,an都为正实数,证明:a1a2an.【证明】方法一:由柯西不等式,有来源:()(a2a3ana1)()2(a1a2an)2.不等式两边约去正数因式a1a2an即得所证不等式.方法二:不妨设a1a2an,则aaa,.来源:由排序不等式有aaaaaaaa1a2an,故不等式成立.方法三:由均值不等式有a22a1,a32a2,a12an,将这n个不等式相加得a2a3ana12(a1a2an),整理即得所证不等式.【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口,有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知abc1,
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