1、 2016-2017 学年四川省成都市新都一中高二（上） 10 月月考数学试卷（理科） 一、选择题（ 60 分） 1直线 x+y 1=0 的倾斜角是（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 2空间直角坐标系中，点 A（ 3， 4， 0）与 B（ 2， 1， 6）间的距离是（ ） A B 9 C D 3设 z= x y，式中变量 x 和 y 满足条件 ，则 z 的最小值为（ ） A 3 B C D 4设 C1：（ x 5） 2+（ y 3） 2=9， C2： x2+y2 4x+2y 9=0，则它们公切线的条数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5关于两平面垂直有下列命题，其中错误
2、的是（ ） A如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么 l B如果平面 与平面 不垂直也不重合，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线不垂直于平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内的所有直线都垂直于平面 6若方程 a2x2+（ a+2） y2+2ax+a=0 表示圆，则 a 的值为（ ） A a=1 或 a= 2 B a=2 或 a= 1 C a= 1 D a=2 7圆 x2+y2 2x 5=0 与圆 x2+y2+2x 4y 4=0 的交点为 A， B，则线段 AB 的垂直平分线的方程是（ ） A x+y 1=0 B 2x y+1=0 C x 2y
3、+1=0 D x y+1=0 8已知直线 l1， l2 的夹角平分线所在直线方程为 y=x，如果 l1 的方程是 ax+by+c=0（ ab 0），那么 l2 的方程是（ ） A bx+ay+c=0 B ax by+c=0 C bx+ay c=0 D bx ay+c=0 9如图，正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， M 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把 这个正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 P，则在四面体 A PEF 中必有（ ） A PM AEF 所在平面 B AM PEF 所在平面 C PF AEF 所在平面
4、D AP PEF 所在平面 10已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ） A B C D 11方程 =kx+4 有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是（ ） A B 2， +） C D 12如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ） A 6 B 4 C 6 D 4 二、填空题（ 20 分） 13如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，上底面中心为 O，则异面直线 AO 与 DC1 所成角的余弦值为 14已
5、知圆 M： x2+（ y 1） 2=1 和点 A（ 1， 3），则过点 A 与圆 M 相切的直线方程是 15已知直线 l： x y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A， B 两点，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x轴交于 C， D 两点则 |CD|= 16如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD ABCD内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （ 1）有水的部分始终呈棱柱形； （ 2）没有水的部分 始终呈棱柱形； （ 3）水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； （ 4）棱 AD始终与水面所在平面平行； （ 5）当容器倾斜如图（
6、 3）所示时， BEBF 是定值 其中所有正确命题的序号 三、解答题（ 70 分） 17（ 12 分）已知两条直线 l1： 2x y=0 和 l2： x+y+2=0 （ 1）过点 P（ 1， 1）的直线 l 与 l1 垂直，求直线 l 的方程； （ 2）若圆 M 的圆心在直线 l1 上，与 y 轴相切，且被直线 l2 截得的弦长为 ，求圆 M 的方程 18（ 12 分）如图所示， 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， D 点为棱 AB 的中点 （ 1）求证： AC1 平面 B1CD； （ 2）若 AB=AC=2， BC=BB1=2 ，求二面角 B1 CD B 的余弦值； （ 3）若 AC1，
7、 BA1， CB1 两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱 19（ 12 分）已知关于 x 的实系数方程 x2+2ax+b=0 在区间（ 0， 1）和（ 1， 2）内各有一根，求： （ 1） a2+b2 的取值范围； （ 2）求 |a+b 2|的取值 范围 20（ 12 分）已知两定点 M（ 0， 1）， N（ 1， 2），平面内一动点 P 到 M 的距离与 P 到 N 的距离之比为 ，直线 y=kx 1 与点 P 的轨迹交于 A， B 两点 （ 1）求点 P 的轨迹方程，并指出是什么图形； （ 2）求实数 k 的取值范围； （ 3）是否存在 k 使得 =11（ O 为坐标原点），若存在求出 k
8、的值，若不存在，请说明理由 21（ 12 分）已知圆 M：（ x 1） 2+（ y 1） 2=2，直线 l： x+y+2=0 上有一动点 P， PA， PB是圆 M 的两条切线， A， B 为切点 （ 1）求当 APB 最大时， PAB 的面积； （ 2）试探究直线 AB 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由 22（ 10 分）在边长为 a 的正方形 ABCD 中， M， N 分别为 DA、 BC 上的点，且 MN AB，连结 AC 交 MN 于点 P，现沿 MN 将正方形 ABCD 折成直二面角 （ 1）求证：无论 MN 怎样平行移动（保持 MN AB）， APC 的大小不变并求
9、出此定值； （ 2）当 MN 在怎样的位置时， M 点到面 ACD 的距离最 大？ 2016-2017 学年四川省成都市新都一中高二（上） 10 月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（ 60 分） 1直线 x+y 1=0 的倾斜角是（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考点】 直线的倾斜角 【专题】 计算题 【分析】 求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可 【解答】 解：因为直线 x+y 1=0 的斜率为： ， 直线的倾斜角为： 所以 tan= ， =120 故选 C 【点评】 本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用 2空间直角坐标系中，点 A（ 3，
10、4， 0）与 B（ 2， 1， 6）间的距离是（ ） A B 9 C D 【考点】 空间两点间的距离公式 【专题】 计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用 【分析】 利用空间中两点间的距离公式直接求解 【解答】 解：空间直角坐标中，点 A（ 3， 4， 0）与 B（ 2， 1， 6）间的距离： |AB|= = 故选： A 【点评】 本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用 3设 z= x y，式中变量 x 和 y 满足条件 ，则 z 的最小值为（ ） A 3 B C D 【考点】 简单线性规划 【专题】 计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式
11、 【分析】 先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的 解析式，分析后易得目标函数 2x y 的最小值 【解答】 解：由约束条件 得如图所示的三角形区域， 令 z= x y，即 显然当平行直线 2x y=z 过点 A （ 1， 3）时 z 取得最小值为： ； 故选： B 【点评】 本题主要考查线性规划的基本知 识，在解决线性规划的小题时，我们常用 “角点法 ”，其步骤为： 由约束条件画出可行域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证，求出最优解 4设 C1：（ x 5） 2+（ y 3） 2=9， C2： x2+y2 4x+2y 9=0，则它们
12、公切线的条数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【专题】 综合题；方程思想；演绎法；直线与圆 【分析】 先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数 【解答】 解： C1：（ x 5） 2+（ y 3） 2=9，圆心（ 5， 3），半径为 3； C2： x2+y2 4x+2y 9=0，圆心（ 2， 1），半径为 ； 两圆圆心距离： = ，所以两个圆相交， 所以两个圆的公切线有 2 条， 故选： B 【点评】 本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力 5关于两平面垂直有下列命题，其中错误的是（ ） A如果平面 平
13、面 ，平面 平面 ， =l，那么 l B如果平面 与平面 不垂直也不重合，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线不垂直于平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内的所有直线都垂直于平面 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】 综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离 【分析】 根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题逐一分析、判定，将由条件可能推出的结论进行逐一列举说明即可 【解答】 解：如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l， 因为 ，则 与 必相交，设 a 是 与 的交线， 又， ，则 与 必相交，设其交线 b a 属于 ， b 属于 ，
14、则 a、 b 在同一个平面内， a 与 b 不平行就相交； 假设 a b，因为直线 a 和直线 b 分别属于 和 平面，则 这与已知 =l 相矛盾， 所以 a 和 b 必相交， 同理可以证明三条直线 a、 b、 l 相交， 其交点 O 同属于 、 和 ， O 点必在 l 上 因为 ， ，则 a l， b l， 所以 l ，故 A 正确； 平面 平面 ，不妨设 =a，作直线 b a，且 b，则 b ，命题 B， C 正确； 命题如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，此垂线必垂直于 ，错误 如果点取在交线上则没有垂线，故 D 错误 故选 D 【点评】 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位
15、置关系，以及平面与平面之间的位置关系，是中档题 6若方程 a2x2+（ a+2） y2+2ax+a=0 表示圆，则 a 的值为（ ） A a=1 或 a= 2 B a=2 或 a= 1 C a= 1 D a=2 【考点】 二元二次方程表示圆的条件 【专题】 计算题 【分析】 由二次项额系数相等不等于 0，且化为一般式后满足 D2+E2 4F 0 联立求解 a 的取值范围 【解答】 解 ：若方程 a2x2+（ a+2） y2+2ax+a=0 表示圆， 则 ，解得 a= 1 故选 C 【点评】 本题考查了二元二次方程表示圆的条件，解答的关键是充分理解圆的一般式方程，是基础题 7（ 2015 秋 顺
16、德区校级期中）圆 x2+y2 2x 5=0 与圆 x2+y2+2x 4y 4=0 的交点为 A， B，则线段 AB 的垂直平分线的方程是（ ） A x+y 1=0 B 2x y+1=0 C x 2y+1=0 D x y+1=0 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定；两圆 的公切线条数及方程的确定 【专题】 计算题；函数思想；转化思想；直线与圆 【分析】 求出圆的圆心坐标，利用两个圆的方程公共弦的性质，求出满足题意的直线方程即可 【解答】 解：因为两圆的圆心坐标分别为（ 1， 0），（ 1， 2），那么过两圆圆心的直线为：， 即： x+y 1=0，与公共弦垂直且平分 故选： A 【点评】 本题考查
17、直线与圆的位置关系，两个圆的位置关系的应用，考查计算能力 8（ 2012 春 路北区校级期中）已知直线 l1， l2 的夹角平分线所在直 线方程为 y=x，如果 l1的方程是 ax+by+c=0（ ab 0），那么 l2 的方程是（ ） A bx+ay+c=0 B ax by+c=0 C bx+ay c=0 D bx ay+c=0 【考点】 两直线的夹角与到角问题 【专题】 直线与圆 【分析】 因为由题意知，直线 l1 和 l2 关于直线 y=x 对称，故把 l1 的方程中的 x 和 y 交换位置即得直线 l2 的方程 【解答】 解：由题意可得直线 l1 与直线 l2 关于直线 y=x 对称，
18、由于直线 l1 上的任意一点 M（ x， y）关于直线 y=x 的对称点为 N（ y， x）， 而 l1 的方程是 ax+by+c=0（ ab 0），故 l2 的方程是 ay+bx+c=0，即 bx+ay+c=0， 故选 A 【点评】 本题主要考查求一条直线关于直线 y=x 的对称直线方程的方法，当两直线关于直线 y=x 对称时，把其中一个方程中的 x 和 y 交换位置，即得另一条直线的方程，属于中档题 9如图，正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， M 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的
19、点记为 P，则在四面体 A PEF 中必有（ ） A PM AEF 所在平面 B AM PEF 所在平面 C PF AEF 所在平面 D AP PEF 所在平面 【考点】 棱锥的结构特征 【专题】 转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离 【分析】 本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得 PA、PE、 PF 三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断 AP 与平面 PEF 的垂直，从而得出结论 【解答】 解：在折叠过程中，根据折叠前、后 AP EP， AP PF 不变， AP 平面 EFP，故 D 满足条件； 过点 A 只有一条直线与平面 EFP 垂直， B 不正
20、确； PM 不垂直于 AM， AM平面 AEF，故 PM 不垂直于平面 AEF，故 A 不正确； AM EF， EF AP， EF 平面 HAG， 平面 HAG AEF， 过 H 作直线垂直于平面 AEF，则该垂线一定在平面 PAM 内，而 PF 不在平面 PAM 内， 故 C 不正确， 故选： D 【点评】 本题主要考查直线和平面垂直的判定，一般利用线线 线面 面面，垂直关系的相互转化判断，折叠问题，属于中档题 10（ 2016衡水模拟）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ）
21、A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】 综合题；转化思想；综合法；立体几何 【分析】 根据题意作出 图形，利用截面圆的性质即可求出 OO1，进而求出底面 ABC 上的高SD，即可计算出三棱锥的体积 【解答】 解：根据题意作出图形： 设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1 平面 ABC， 延长 CO1 交球于点 D，则 SD 平面 ABC CO1= = ， OO1= ， 高 SD=2OO1= ， ABC 是边长为 1 的正三角形， S ABC= ， V= = ， 故选： A 【点评】 本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点 O 到平面 ABC
22、 的距离，进而求出点 S 到平面 ABC 的距离是关键 11方程 =kx+4 有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是（ ） A B 2， +） C D 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系 【专题】 计算题；数形结合；函数的性质及应用 【分析】 方程有两个不等的实根可以转化为函数 和函数 y=kx+4 的图象由两个不同的交点，在求出临界位置的直线的斜率即可 【解答】 解： 方程有两个不等的实根等价于函数 和函数 y=kx+4 的图象由两个不同的交点， 函数 的解析式可变形为 x2+y2+2x=0，即（ x+1） 2+y2=1（ y 0），其图象为圆点在（ 1， 0），半径为 1 的圆在 x 轴上方的部分，如图 由图可知，当直线 PN 绕点 P 顺时针旋转至直线 PM（ PM 为切线）位置时，直线与半圆有两个交点，
