1、变式问题教学的粗浅思考 02三牧中学数学组 林山杰“一题多解，解法优化；一题多变，变中求同；多题一法，同模通法”是数学解题与习题教学中非常重要的教学方法，也是学生学习的方法对各个数学知识模块，进行这三个维度的探究教学，非常有益于学生的数学思维能力的培养本文主要侧重于思考与研究常见的几何特征模型的一些变式问题的一些结论，并介绍一点对问题变式的改编方法的思考主题 2：关于一些常见的含有平分角结构的特征图形的互逆命题组问题 2-1-1：如图 2-1-1， （点 D 在 OA 上） ，有三个命题：OB 平分 AOC，BD OC， OD=DB则知二可证其余，即，这三个问题显然互为逆命题，且易证为真命题可
2、以简单归纳为“平分角” “平行” “等腰”知二可得第三这三个命题的证明显然都是从角的等量关系来转化其中OD=BDOB=BODAOBBOC COBAOCAOB=BOC=12AOC而这三组“角的等量关系” ，显然可以从其中任意两个推出第三个证明思路中可以看出角的等量关系可以与线的位置关系（平行的三线八角结构） ，线的数量关系（等边对等角及等角对等边）相互转化而几何证明，线角是核心元素，线角转化是重要方法技巧这个问题改变平行的位置特征，可以得到问题 2-1-2：如图 2-1-2， （点 E 在 OA 反向延长线上） ，有三个命题：OB 平分AOC ，BOEC， OE=OC则知二可证其余，即，其证明思
3、路与前一个问题几乎完全相同，稍有一些小区别，需要用到三角形外角定理证明比较简洁点问题 2-2：如图 2-2， （点 D 在 BC 上） ，有四个命题：AB=AC（它等价于B= C ，只写出其中一个） ，AD BC 于D， BD=CD， AD 平分BAC显然这个图形中，知二可证其余其中图 1-12-1DAOCB2-1E AOCB2-DBCA，就是三线合一定理而是根据线段的垂直平分线的性质定理，于是再用三线合一可以推出第五个真命题：，只需 AAS 证明ABD ACD ，前面四个命题也是证明这两个三角形全等，只不过前面四个有教材的定理体系，可以直接使用有关结论第五个命题不是定理第六个真命题：本质也是
4、证明这两个三角形全等，只是所给条件满足 SSA，不能直接证明，需要添辅助线来构造新的全等，最后转化出所证问题有常见的几种证明方法方法 1：由AD 平分BAC 的条件，构造角平分线上的点 D 到角两边的垂线段 DH，DG则 DH=DG，接下来 HL 证明BDHCDG，从而B= C，等角对等边推出 AB=AC，于是转化为前面的问题方法 2（等面积法证明角平分线的另一个定理，教材中已经删去）：辅助线同方法 1，得出 DH=DG，从而(SABD/SACD)=(AB/AC)又 ABD 与ACD 等底同高，得出(S ABD/SACD)=(BD/DC)所以 (AB/AC)=(BD/DC)再由BD=CD 知
5、AB=AC，余下证明略方法 3：由BD=CD 可以构造倍长中线的全等三角形结构即 SAS 证明A BDACD，从而 BAD=CAD=BAD，所以 AB=AB=CA，余下证明略方法 4：辅助线图形同方法 3，但是辅助线的作法不同过 B 作 AC 的平行线与 AD 的延长线相交于 A，则由平行+平分角结构得出等腰 AB=AB，再由平行+ 平分线结构得出A BDACD （AAS 或 ASA） ，其余证明略问题 2-3：如图 2-3，在四边形 CPOQ 中，OC 平分POQ， CP=CQ，CPQ+CQO=180（等价于QCP+QOP=180）由可知OPC 与OQC 满足 SSA若 OP=OQ，则二者全
6、等，此时 P 与 Q 关于 OC 对称若 OPOQ，则二者不全等，即为 SSA 的反例图形下面研究下这个四边形 CPOQ 在如图所示条件（OPOQ）下的互逆命题组，即知二可证其余，即，命题 1：简证如下：构造辅助线 CG，CH，根据角平分线的性质定理（本质是 AAS 证明OCG OCH）由推出 GG=CH，根据 HL 证明CPGCQH ，从而得出CPG=CQH ，从而CPQ+ CQO=180命题 2：简证：相同的辅助线，先证CPGCQH，再用角平分线的判定定理（本质是 HL 证明 RtOCG RtOCH）推出OC 平分POQ命题 3：简证：相同的辅助线，先证 GG=CH，再根据 AAS 证明C
7、PGCQH，余下证明略我们发现这三个命题的证明思路本质是一样的，证明两对三角形全等，只是证明全等的方法路径顺序有所改变而已2-HGDBCAADBCA2-3 SAO“OQPQGHBOACP这个四边形很重要，在许多常见的问题中都会见到它的身影，这是后话另外还可以应用圆的知识来证明有关结论，略去只是教材中缺乏“对角互补的四边形四顶点共圆”的结论还要注意这个四边形与等腰COO的转化，以及 OQ + OP =2OH，OQ -OP =2QH问题 2-4，如图 2-3，在四边形 ABCD 中，F 在边 CD 上， BCAD，BF 平分ABC，AF 平分BAC ， BFAF， CF=DF， BC+AD=AB这
8、个图形存在一系列知道三个条件可以推出其余三个结论的命题，他们是否都是真命题？其中有这几个是假命题：，反例图形如四边形 ABCD； ，反例图形是 ABCD； ，反例图形是 ABCD；其他的命题都是真命题；其中四个命题知三可以推出第四个命题 1：简证如下：显然两平行直线 AD，BC 被 AB 所截得的同旁内角的平分线 BF 与 AF 互相垂直，利用等式性质对角的等量关系进行变形可得延长 BF，AD 交于点G，由平行平分角结构可以推出等腰 AB=AG在等腰ABG 中利用三线合一结构（本质是AFB AFG）得出 BF=FG再由平行平分线结构推出 CFBDFG，从而 CF=FD命题 2：简证如下：，问题
9、转化为命题 1命题 3：，同命题 2 思路命题 4：，同命题 2 思路命题 5：简证思路：平行平分线结构推出CFBDFG，平行平分角结构可以推出等腰 AB=AG，在等腰ABG 中利用三线合一结构得出 BFAF，其余问题略命题 6：简证思路：在 AB 上截取 BE=BC，连接 EF的条件得出轴对称全等BCFBEF，再导角证明AEF=180BEF=180BCF=ADF，从而 SAS 证明AFE AFD 命题 7：，由条件的对称性知，同命题 5命题 8：，由条件的对称性知，同命题 6其他真命题的本质都是证明其中四对全等AFBAFG，CFBDFG，BCF BEF，AFE AFD，中有两对成立留待读者自
10、己思考，有个别题目需要设法绕开 SSA 的障碍或者证明三点共线当条件强化为直角梯形的图形时，所有命题都成立感悟：逆向思维带来的逆问题变式可以产生很多有意义的问题但是有些图形的情况某些逆命题比较难，可以适当向学生介绍统一法和反证法这样的例子后面的总结文章再介绍通过总结常见的基本结构，在问题 2-4 中，我的思考模式都是模块化的思路如何培养学生这种思维能力是很值得推敲的教学问题，需要在教学实践中慢慢思考总结一个图形的互逆命题组放在一个整体来考虑它们图形与思路的共性，是把局部问题放在整体来思考的研究路径，有一定的价值如果因此产生思维定式的局限，说明研究的问题还达不到足够的高度与广度需要在学习中不断突破，总结提升一些常见的特征图形，这样的学习思考有助于巩固基础但是生僻的图形结构这样的学习对学生来说有些费力不讨好
