1、 2015-2016 学年上海市普陀区高二（下）期末数学试卷 I 卷：一、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1设集合 A= 1， 1， B=a，若 A B= 1， 0， 1，则实数 a=_ 2直线 y=x+1 与直线 x=1 的夹角大小为 _ 3函数 y= 的定义域是 _ 4三阶行列式 中，元素 4 的代数余子式的值为 _ 5设函数 f（ x） = 的反函数为 f 1（ x），若 f 1（ 2） =1，则实数 m=_ 6在 ABC 中，若 AB=5， B=60， BC=8，则 AC=_ 7设复数 z=（ a2 1） +（ a 1） i（ i 是虚数单位， a R），若
2、z 是纯虚数，则实数 a=_ 8从 5 件产品中任取 2 件，则不同取法的种数为 _（结果用数值表示） 9无穷等比数列 an的公比为 ，各项和为 3，则数列 an的首项为 _ 10复数 z2=4+3i（ i 为虚数单位），则复数 z 的模为 _ 11若抛物线 y2=2px（ p 0）的准线经过点（ 1， 1），则抛物线焦点坐标为 _ 12某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： ）满足函数关系 y=ekx+b（ e 为自然对数的底数， k、 b 为实常数），若该食品在 0 的保鲜时间为 120 小时，在 22的保鲜时间是 30 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 _小时 二、
3、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 13顶点在直角坐标系 xOy 的原点，始边与 x 轴的正半轴重合，且大小为 2016 弧度的角属于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 14底面的半径为 1 且母线长为 的圆锥的体积为（ ） A B C D 15设 an是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A若 a1+a2 0，则 a2+a3 0 B若 a1+a3 0，则 a1+a2 0 C若 0 a1 a2，则 a2 D若 a1 0，则（ a2 a1）（ a2 a3） 0 16已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），向量 =（ 4， 3），则向量 =（ ） A
4、（ 7， 4） B（ 7， 4） C（ 1， 4） D（ 1， 4） 17已知椭圆 + =1（ m 0 ）的左焦点为 F1（ 4， 0），则 m=（ ） A 2 B 3 C 4 D 9 18若直线 l1 和 l2 是异面直线， l1 在平面 内， l2 在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（ ） A l 与 l1， l2 都不相交 B l 与 l1， l2 都相交 C l 至多与 l1， l2 中的一条相交 D l 至少与 l1， l2 中的一条相交 19在用数学归纳法证明等式 1+2+3+ +2n 1=2n2 n（ n N*）的第（ ii）步中，假设 n=k（ k 1
5、， k N*）时原等式成立，则当 n=k+1 时需要证明的等式为（ ） A 1+2+3+ +（ 2k 1） +2（ k+1） 1=2k2 k+2（ k+1） 2（ k+1） B 1+2+3+ +（ 2k 1） +2（ k+1） 1=2（ k+1） 2（ k+1） C 1+2+3+ +（ 2k 1） +2k+2（ k+1） 1=2k2 k+2（ k+1） 2（ k+1） D 1+2+3+ +（ 2k 1） +2k+2（ k+1） 1=2（ k+1） 2（ k+1） 20过双曲线 x2 =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A、 B两点，则 |AB|=（ ） A B 2
6、C 6 D 4 21对任意向量 、 ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A | | | | | B | | | | | | C（ ） 2=| |2 D（ ） （ ） = 2 2 22直线 l： x+my 1=0（ m R）是圆 C： x2+y2 4x 2y+1=0 的对称轴，若过点 A（ 4，m）作圆 C 的一条切线，切点为 B，则 |AB|=（ ） A 2 B 4 C 6 D 2 23设 an是公比为 q 的等比数列，令 bn=an+1（ n N*），若数列 bn的连续四项在集合 15， 3， 9， 18， 33中，则 q 等于（ ） A 4 B 2 C 4 或 D 2 或 24 ABC 是边
7、长为 2 的等边三角形，已知向量 ， 满足 =2 ， =2 + ，则下列结论正确的是（ ） A | |=1 B C =1 D（ 4 + ） 三、解答题（共 5 小题，满分 48 分） 25如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 AB=2， BC=3， AA1=1， E 为 CD 中点，求异面直线 BC1 和 D1E 所成角的大小 26设椭圆 C： mx2+ny2=1（ m 0， n 0， m n），直线 l： y=x+1 与椭圆 C 交于 P， Q 两点 （ 1）设坐标原点为 O，当 OP OQ 时，求 m+n 的值； （ 2）对（ 1）中的 m 和 n，当 |PQ|= 时，求椭圆
8、 C 的方程 27如图，在直角坐标平面 xOy 内已知定点 F（ 1， 0），动点 P 在 y 轴上运动，过点 P 作 PM交 x 轴于点 M，使得 =0，延长 MP 到点 N，使得 | |=| | （ 1）当 | |=1 时，求 ； （ 2）求点 N 的轨迹方程 28已知函数 f（ x） = sinxcosx cos2x的周期为 ，其中 0 （ 1）求 的值，并写出函数 f（ x）的解析式 （ 2）设 ABC 的三边 a、 b、 c 依次成等比数列，且函数 f（ x）的定义域等于 b 边所对的角B 的取值集合，求此时函数 f（ x）的值域 29设等差数列 an的公差 d 0，前 n 项和为
9、Sn，且满足 a2a3=45， a1+a4=14 （ 1）试寻找一个等差数列 bn和一个非负常数 p，使得等式（ n+p） bn=Sn 对于任意的正整数 n 恒成立，并说明你的理由； （ 2）对于（ 1）中的等差数列 bn和非负常数 p，试求 f（ n） = （ n N*）的最大值 II 卷四、选择题（共 3 小题，每小题 3 分，满分 9 分） 30 “a=b”是 “方程 ax2+by2=1 表示的曲线为圆 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 31已知坐标平面内两个定点 F1（ 4， 0）， F2（ 4， 0），且动点 M 满足 |MF1|+|
10、MF2|=8，则点 M 的轨迹是（ ） A两个点 B一个椭圆 C一条 线段 D两条直线 32已知函数 f（ x） = ，函数 g（ x） =b f（ 2 x），其中 b R，若函数y=f（ x） g（ x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ） A（ ， +） B（ ， ） C（ 0， ） D（ ， 2） 五、填空题 （共 3 小题，每小题 3 分，满分 9 分） 33已知直线 l： Ax+By+C=0（ A、 B 不全为零）与圆 x2+y2=1 交于 M、 N 两点，且 |MN|= ，若 O 为坐标原点，则 的值为 _ 34已知 ， | |= ， | |=t，若点 P 是 ABC 所在
11、平面内一点，且 =+ ，则 的最大值等于 _ 35设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A、 B 两点，与圆（ x 5） 2+y2=r2（ r 0）相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点 ，若这样的直线 l 恰有 4 条则 r 的取值范围是 _ 六、解答题（共 1 小题，满分 12 分） 36设椭圆 C： + =1（ a b 0），左、右焦点分别是 F1、 F2 且 |F1F2|=2 ，以 F1为圆心， 3 为半径的圆与以 F2 为圆心， 1 为班级的圆相交于椭圆 C 上的点 K （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设椭圆 E： + =1， P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直
12、线 y=kx+m 交椭圆 E于 A， B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q 求 的值； 令 =t，求 ABQ 的面积 f（ t）的最大值 2015-2016 学年上海市普陀区高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 I 卷：一、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1设集合 A= 1， 1， B=a，若 A B= 1， 0， 1，则实数 a=0 【分析】 由 A， B，以及两集合的并集，确定出 a 的值即可 【解答】 解： A= 1， 1， B=a，且 A B= 1， 0， 1， a=0， 故答案为： 0 【点评】 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题
13、的关键 2直线 y=x+1 与直线 x=1 的夹角大小为 【分析】 分别求得直线 y=x+1 和直线 x=1 的倾斜角，从而求得它们的夹角 【解答】 解：直线 y=x+1 的斜率为 1，倾斜角为 ，而直线 x=1 的倾斜角为 ， 故直线 y=x+1 与直线 x=1 的夹角大小为 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查直线的倾斜角，两条直线的夹角问题，属于基础题 3函数 y= 的定义域是（ 1， +） 【分析】 根据函数的解析式，应满足分母 不为 0，且二次根式的被开方数大于或等于 0 即可 【解答】 解： 函数 y= ， 0， 即 x 1 0， 解得 x 1； 函数 y 的定义域是（ 1， +
14、） 故答案为：（ 1， +） 【点评】 本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应使函数的解析式有意义，列出不等式（组），求出自变量的取值范围，是容易题 4三阶行列式 中，元素 4 的代数余子式的值为 4 【分析】 根据余子式的定义可知，在行列式中划去第 3 行第 3 列后所余下的 2 阶行列式带上符号（ 1） i+j 为 M33，则答案可求 【解答】 解：三阶行列式 中，元素 4 的代数余子式为 M33= ，其值为1 0（ 2） 2=4 故答案为： 4 【点评】 本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是基础题 5设函数 f（ x） = 的反函数 为 f 1（ x），若 f
15、 1（ 2） =1，则实数 m=3 【分析】 方法一：根据反函数的性质，可得 f（ 1） =2，解得即可 方法二：先求出 f 1（ x） = ，再代值计算即可 【解答】 解：方法一： f 1（ 2） =1， f（ 1） =2， =2， 解得 m=3， 方法二： y= ， 则 x= ， f 1（ x） = ， f 1（ 2） =1， =1， 解得 m=3， 故答案为： 3 【点评】 本小题主要考查反函数、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力、转化思想属于基础题 6在 ABC 中，若 AB=5， B=60， BC=8，则 AC=7 【分析】 利用余弦定理即可得出 【解答】 解：由余弦定理可得：
16、 AC2=52+82 2 5 8cos60=49， 解得 AC=7 故答案为： 7 【点评】 本题考查了余 弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7设复数 z=（ a2 1） +（ a 1） i（ i 是虚数单位， a R），若 z 是纯虚数，则实数 a= 1 【分析】 利用复数的实部为 0，虚部不为 0，求解 a 即可 【解答】 解：复数 z=（ a2 1） +（ a 1） i（ i 是虚数单位， a R），若 z 是纯虚数， 可得 a2 1=0， a 1 0，解得 a= 1 故答案为： 1 【点评】 本题考查复数的基本概念，考查计算能力 8从 5 件产品中任取 2 件，则不同取法的
17、种数为 10（结果用数值表示） 【分析】 直接利用组合知识求解结论 【解答】 解：从 5 件产品中任取 2 件，则不同取法的种数为 C52=10 故答案为： 10 【点评】 本题考查组合知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础 9无穷等比数列 an的公比为 ，各项和为 3，则数列 an的首项为 2 【分析】 由题意可得： =3，解得 a1 即可得出 【解答】 解：由题意可得： =3，解得 a1=2 数列 an的首项 为 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了无穷等比数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10复数 z2=4+3i（ i 为虚数单位），则复数 z 的模为
18、【分析】 直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可 【解答】 解： z2=|z|z|=|3+4i|= =5， |z|= ， 故答案为： 【点评】 本题考查复数的模以及复数的定义，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力 11若抛物线 y2=2px（ p 0）的准线经过点（ 1， 1），则抛物线焦点坐标为（ 1， 0） 【分析】 利用抛物线 y2=2px（ p 0）的准线经过点（ 1， 1），求得 =1，即可求出抛物线焦点坐标 【解答】 解： 抛物线 y2=2px（ p 0）的准线经过点（ 1， 1）， =1， 该抛物线 焦点坐标为（ 1， 0） 故答案为：（ 1， 0） 【点评】 本题考查抛
19、物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础 12某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： ）满足函数关系 y=ekx+b（ e 为自然对数的底数， k、 b 为实常数），若该食品在 0 的保鲜时间为 120 小时，在 22的保鲜时间是 30 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 15 小时 【分析】 由已知条件列出方程组，求出 e11k= ，由此能求出结果 【解答】 解：由题意得： ，解得 e11k= ， 该食品在 33 的保鲜时间是： y=e33k+b=（ e11k） 3 eb=（ ） 3 120=15 故答案为： 15 【点评】 本题考查保鲜时间的求法，是基础题，解题时要认真
20、审题，注意函数性质的合理运用 二、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 13顶点在直角坐标系 xOy 的原点，始边与 x 轴的正半轴重合，且大小为 2016 弧度的角属于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】 利用终边相同角的表示方法化简求解即可 【解答】 解： 2016 的终边与 2016 640的终边相同，而 2016 640 （ ， 2） 所以大小为 2016 弧度的角属于第四象限角 故选： D 【点评】 本题考查终边相同的角的表示，考查计算能力 14底面的半径为 1 且母线长为 的圆锥的体积为（ ） A B C D 【分析】 求出圆锥的高，
21、然后求解圆锥的体积 【解答】 解：底面半径为 1，母线长为 的圆锥的高为： 1 底面半径为 1，母线长为 的圆锥的体积为： = 故选： B 【点评】 本题考查几何体的体积的求法，是基础题 15设 an是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A若 a1+a2 0，则 a2+a3 0 B若 a1+a3 0，则 a1+a2 0 C若 0 a1 a2，则 a2 D若 a1 0，则（ a2 a1）（ a2 a3） 0 【分析】 对选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：若 a1+a2 0，则 2a1+d 0， a2+a3=2a1+3d 2d， d 0 时，结论成立，即 A 不 正确； 若 a1+a3
22、 0，则 a1+a2=2a1+d 0， a2+a3=2a1+3d 2d， d 0 时，结论成立，即 B 不正确； an是等差数列， 0 a1 a2， 2a2=a1+a3 2 ， a2 ，即 C 正确； 若 a1 0，则（ a2 a1）（ a2 a3） = d2 0，即 D 不正确 故选： C 【点评】 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础 16已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），向量 =（ 4， 3），则向量 =（ ） A（ 7， 4） B（ 7， 4） C（ 1， 4） D（ 1， 4） 【分析】 顺序求出有向线段 ，然后由 = 求之 【解答】 解：由已知点 A（
23、0， 1）， B（ 3， 2），得到 =（ 3， 1），向量 =（ 4， 3）， 则向量 = =（ 7， 4）； 故答案为： A 【点评】 本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒 17已知椭圆 + =1（ m 0 ）的左焦点为 F1（ 4， 0），则 m=（ ） A 2 B 3 C 4 D 9 【分析】 利用椭圆 + =1（ m 0 ）的左焦点为 F1（ 4， 0），可得 25 m2=16，即可求出 m 【解答】 解： 椭圆 + =1（ m 0 ）的左焦点为 F1（ 4， 0）， 25 m2=16， m 0， m=3， 故选：
24、B 【点评】 本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础 18若直线 l1 和 l2 是异面直线， l1 在平面 内， l2 在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（ ） A l 与 l1， l2 都不相交 B l 与 l1， l2 都相交 C l 至多与 l1， l2 中的一条相交 D l 至少与 l1， l2 中的一条相交 【分析】 可以画出图形来说明 l 与 l1， l2 的位置关系，从而可判断出 A， B， C 是错误的，而对于 D，可假设不正确，这样 l 便和 l1， l2 都不相交，这样可退出和 l1， l2 异 面矛盾，这样便说明 D 正确 【解答】
25、解： A l 与 l1， l2 可以相交，如图： 该选项错误； B l 可以和 l1， l2 中的一个平行，如上图， 该选项错误； C l 可以和 l1， l2 都相交，如下图： ， 该选项错误； D “l至少与 l1， l2 中的一条相交 ”正确，假如 l 和 l1， l2 都不相交； l 和 l1， l2 都共面； l 和 l1， l2 都平行； l1 l2， l1 和 l2 共面，这样便不符合已知的 l1 和 l2 异面； 该选项正确 故选 D 【点评】 考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确 19在用数学归纳法证明等式 1+2+3+ +2n 1=2n
26、2 n（ n N*）的第（ ii）步中，假设 n=k（ k 1， k N*）时原等式成立，则当 n=k+1 时需要证明的等式为（ ） A 1+2+3+ +（ 2k 1） +2（ k+1） 1=2k2 k+2（ k+1） 2（ k+1） B 1+2+3+ +（ 2k 1） +2（ k+1） 1=2（ k+1） 2（ k+1） C 1+2+3+ +（ 2k 1） +2k+2（ k+1） 1=2k2 k+2（ k+1） 2（ k+1） D 1+2+3+ +（ 2k 1） +2k+2（ k+1） 1=2（ k+1） 2（ k+1） 【分析】 由数学归纳法可知 n=k 时， 1+2+3+ +2k 1=2k2+k，到 n=k+1 时，左端为 1+2+3+ +2k 1+2k+2k+1 从而可得答案 【解答】 解： 用数学归纳法证明等式 1+2+3+ +2n 1=2n2 n 时， 假设 n=k 时，命题成立， 1+2+3+ +2k 1=2k2 k， 则当 n=k+1 时，左端为 1+2+3+ +2k 1+2k+2k+1， 从 “kk +1”需增添的项是 2k+2k+1， 1+2+3+ +（ 2k 1） +2k+2（ k+1） 1=2（ k+1） 2（ k+1） 故选： D 【点评】 本题考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题
