1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 2009 年普通高等学校招生全国统一考试试卷题 文科数学 第卷（选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24SR 如果事件 AB， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 343VR n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径
2、( ) (1 ) ( 0 1 , 2 )k k n knnP k C P P k n ， ， ， 一 选择题 （ 1）已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， M =1， 3， 5， 7， N =5， 6， 7，则 Cu( M N)= (A) 5， 7 （ B） 2， 4 （ C） 2.4.8 （ D） 1， 3， 5， 6， 7 （ 2）函数 y= x (x 0)的反函数是 （ A） 2yx （ x 0） （ B） 2yx （ x 0） （ B） 2yx （ x 0） （ D） 2yx （ x 0） （ 3） 函数 y=2 2log 2 xy x 的图像 （ A） 关于原
3、点对称 （ B）关于主线 yx 对称 （ C） 关于 y 轴对称 （ D）关于直线 yx 对称 （ 4）已知 ABC 中， 12cot 5A ，则 cosA (A) 1213 (B) 513 (C) 513 (D) 1213 （ 5） 已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AA =2AB ， E 为 1AA 重点，则异面直线 BE 与 1CD 所形成角的余弦值为 （ A） 1010 (B) 15 (C) 31010 (D) 35 （ 6） 已知向量 a = (2,1)， a b = 10， a + b = 52，则 b = （ A） 5 （ B） 10 （ C） 5 （
4、 D） 25 （ 7）设 2lg , ( lg ) , lg ,a e b e c e 则 （ A） abc （ B） a c b （ C） c a b （ D） c b a （ 8）双曲线 136 22 yx 的渐近线与圆 )0()3( 222 rryx 相切，则 r= （ A） 3 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 6 （ 9）若将函数 )0)(4ta n ( xy 的图像向右平移 6 个单位长度后，与函数)6tan( xy 的图像重合，则 的最小值为 (A)61 (B)41 (C)31 (D)21 （ 10） 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门
5、相同的选法有 （ A） 6 种 （ B） 12 种 （ C） 24 种 （ D） 30 种 （ 11）已知直线 )0)(2( kxky 与抛物线 C: xy 82 相交 A、 B 两点， F 为 C 的焦点。若 FBFA 2 ,则 k= (A)31 (B) 32 (C)32 (D) 322 （ 12） 纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标 “ ”的面的方位是 （ A）南 （ B）北 （ C）西 （ D）下 第 卷（非选择题） 上 东 本卷共 10 小题，共 90 分。 二填空题：本大题共 4
6、小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上 . （ 13）设等比数列 na 的前 n 项和为 ns 。若 361 4,1 ssa ，则 4a = （ 14） 4)( xyyx 的展开式中 33yx 的系数为 （ 15）已知圆 O： 522 yx 和点 A（ 1， 2），则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 （ 16）设 OA 是球 O 的半径， M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于 47 ，则球 O 的表面积等于 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答题应
7、写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置 。 （ 17）（本小题满分 10 分） 已知等差数列 na 中， ,0,16 6473 aaaa 求 na 前 n 项和 ns . （ 18）（本小题满分 12 分） 设 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c， 23c o s)c o s ( BCA , acb 2 ，求 B. （ 19）（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB AC,D、 E 分别为 AA1、 B1C 的中点， DE 平面 BCC1 （ ）证明： AB=AC （ ）设二面角 A-BD-C 为 60,求
8、B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 （ 20）（本小题满分 12 分） A C B A1 B1 C1 D E 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。 （ ）求从甲、乙两组各抽取的人数； （ ）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （ ）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。 （ 21）（本小题满分 12 分） aaxxaxxf 244)1(31)( 23 ( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )若当 x0时， f(x)0 恒成
9、立，求 a 的取值范围。 （ 22）（本小题满分 12 分） )0(12222 babyax 33 22 （ ）求 a,b 的值； （ ） C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 OBOAOP 成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。 设函数 ，其中常数 a1 已知椭圆 C: 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 22 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科 数学试题参考 答案和评分参考 一 选择题 （ 1） C （ 2） B （ 3） A
10、 （ 4） D （ 5） C （ 6） C （ 7） B （ 8） A （ 9） D （ 10） C （ 11） D （ 12） B 二填空题 （ 13） 3 （ 14） 6 （ 15） 254 （ 16） 8 三解答题 17 解： 设 na 的公差为 d ，则 112 6 1 63 5 0a d a da d a d 即 221118 12 164a da dad 解得 118, 82, 2aadd 或 因此 8 1 9 8 1 9nnS n n n n n S n n n n n ， 或 （ 18）解： 由 cos（ AC） +cosB=32 及 B= （ A+C）得 cos（ AC） c
11、os（ A+C） =32 ， cosAcosC+sinAsinC（ cosAcosCsinAsinC） =32 , sinAsinC=34 . 又由 2b =ac 及正弦定理得 2s in s in s in ,B A C 故 2 3sin 4B ， 3sin 2B 或 3sin 2B （舍去）， 于是 B=3 或 B=23 . 又由 2b ac 知 ab 或 cb 所以 B=3。 （ 19）解法一：（）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF 12 1BB，从而 EF DA。 连接 AF，则 ADEF 为平行四边形，从 而 AF/DE。又 DE平面 1BCC ，故 AF平面 1BCC ，从而
12、 AF BC，即 AF为 BC的垂直平分线，所以 AB=AC。 （）作 AG BD，垂足为 G，连接 CG。由三垂线定理知 CG BD，故 AGC为二面角 A-BD-C的平面角。由题设知， AGC=600. 设 AC=2，则 AG= 23。又 AB=2， BC=22，故 AF= 2 。 由 AB AD AG BD 得 2AD= 222 .23 AD ，解得 AD= 2 。 故 AD=AF。又 AD AF，所以四边形 ADEF为正方形。 因为 BC AF， BC AD， AF AD=A，故 BC平面 DEF，因此平面 BCD平面 DEF。 连接 AE、 DF，设 AE DF=H，则 EH DF，
13、 EH平面 BCD。 连接 CH，则 ECH为 1BC 与平面 BCD所成的角。 因 ADEF为正方形， AD= 2 ，故 EH=1，又 EC=112BC=2， 所以 ECH=300，即 1BC 与平面 BCD所成的角为 300. 解法二： （）以 A为坐标原点，射线 AB 为 x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 A xyz。 设 B（ 1， 0， 0）， C（ 0， b， 0）， D（ 0， 0， c），则 1B （ 1， 0， 2c） ,E（ 12 ， 2b ， c） . 于是 DE =（ 12 ， 2b ， 0）， BC =（ -1， b,0） .由 DE平面 1BCC 知 DE B
14、C， DEBC =0，求得 b=1，所以 AB=AC。 （）设平面 BCD 的法向量 ( , , ),AN x y z 则 0 , 0 .A N B C A N B D 又 BC =（ -1， 1， 0 yx 0）， BD =（ -1， 0， c） ,故 0 czx 令 x=1, 则 y=1, z=1c , AN =(1,1, 1c ). 又平面 ABD 的法向量 AC =（ 0， 1， 0） 由二面角 CBDA 为 60 知， ACAN， =60 ， 故 60c o s ACANACAN ，求得21c于是 ），（ 211AN ， ）， 211(1 CB 21c o s 111 CBAN CB
15、ANCBAN ， 601 CBAN， 所以 CB1 与平面 BCD 所成的角为 30 （ 20）解： （ I）由于甲、乙两组各有 10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取 4名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2名工人。 （ II）记 A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1名女工人，则 158)( 2101614 C CCAP（ III） iA 表示事件：从甲 组抽取的 2名工人中恰有 i 名男工人， 210，i jB 表示事件：从乙组抽取的 2名工人中恰有 j 名男工人， 210j ， B 表示事件：抽取的 4名工人中恰有 2名男工人。 iA 与 jB 独立， 210 ， ji
16、 ，且 021120 BABABAB 故 )()( 021120 BABABAPBP )()()()()()( 021120 BPAPBPAPBPAP 210262102628141621016142102421024CCCCC CCC CCCCCC 7531 （ 21）解： （ I） )2)(2(4)1(2)( 2 axxaxaxxf 由 1a 知，当 2x 时， 0)( xf ，故 )(xf 在区间 )2,( 是增函数； 当 ax 22 时， 0)( xf ，故 )(xf 在区间 )2,2( a 是减函数； 当 ax 2 时， 0)( xf ，故 )(xf 在区间 ),2( a 是增函数。
17、 综上，当 1a 时， )(xf 在区间 )2,( 和 ),2( a 是增函数，在区间 )2,2( a 是减函数。 （ II）由（ I）知，当 0x 时， )(xf 在 ax 2 或 0x 处取得最小值。 aaaaaaaf 2424)2)(1()2(31)2( 23 aaa 24434 23 af 24)0( 由假设知 ,0)0(,0)2(1fafa 即.024,0)6)(3(34,1aaaaa解得 1a6 故 a 的取值范围是（ 1， 6） （ 22）解 ： （）设 ,0,cF 当 l 的斜率为 1 时，其方程为 Ocyx ,0 到 l 的距离为 2200 cc 故 222c， 1c 由 3
18、3 ace 得 3a ， 22 cab = 2 （） C 上存在点 P ，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 OBOAOP 成立。 由 （）知 C 的方程为 22x + 23y =6. 设 ).,(),( 2211 yxByxA ( ) )1( xkylxl 的方程为轴时，设不垂直当 C OBOAOPP 使上的点 成立的充要条件是 ）点的坐标为（ 2121 , yyxxP ， 且6)(3)(2 221221 yyxx 整理得 6643232 212122222121 yyxxyxyx 632,632 22222121 yxyxCBA 上，即在、又 故 0332 2121 yyxx 将 并化
19、简得代入 ,632)1( 22 yxxky 0636)32( 2222 kxkxk 于是 2221 32 6 kkxx , 21xx =2232 63 kk , 2221221 32 4)2)(1( kkxxkyy 代入 解得， 22k ，此时 2321 xx于是 )2(2121 xxkyy= 2k ， 即 )2,23( kP 因此， 当 2k 时， )22,23(P ， 022 yxl的方程为 ； 当 2k 时， )22,23( P ， 022 yxl的方程为 。 （）当 l 垂直于 x 轴时，由 )0,2( OBOA 知， C上不存在点 P使OBOAOP 成立。 综上， C上存在点 )22,23( P 使 OBOAOP 成立，此时 l 的方程为 022 yx
