1、 2016-2017 学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷 一、填空题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 20 分） . 1已知 A=x|x 7， B=x|x 2，则 A B= 2不等式 的解集是 3函数 f（ x） = 的定义域是 4若 x 0，则函数 f（ x） = +x 的最小值为 5若函数 ， ，则 f（ x） +g（ x） = 6不等式 |2x 1| 3 的解集为 7设 f（ x）是 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =2x2 x，则 f（ 1） = 8已知函数 ，则方程 f 1（ x） =4 的解 x= 9若函数 f（ x） =x2+ 为偶函数，则实数 a=
2、10函数 y= 的值域是 11已知函数 f（ x） = ，且函数 F（ x） =f（ x） +x a 有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 12关于 x 的方程 4x k2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 13 “x+y=3”是 “x=1 且 y=2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也必 要条件 14下列各对函数中，相同的是（ ） A f（ x） =lgx2， g（ x） =2lgx B f（ x） =lg ， g
3、（ x） =lg（ x+1） lg（ x 1） C f（ u） = ， g（ v） = D f（ x） =x， g（ x） = 15设 a， b 是非零实数，若 a b，则下列不等式成立的是（ ） A a2 b2 B ab2 a2b C D 16若 f（ x）是 R 上的奇函数，且 f（ x）在 0， + ）上单调递增，则下列结论： y=|f（ x） |是偶函数； 对任意的 x R 都有 f（ x） +|f（ x） |=0； y=f（ x）在（ ， 0上单调递增； y=f（ x） f（ x）在（ ， 0上单调递增 其中正确结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 三、解答题：本大题共
4、 5 小题，共 44 分 解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17已知全集为 R，集合 A=x| 0，集合 B=x|2x+1| 3求 A （ RB） 18设函数 f（ x） =a （ a R） （ 1）请你确定 a 的值，使 f（ x）为奇函数； （ 2）用单调性定义证明，无论 a 为何值， f（ x）为增函数 19关于 x 的不等式 1+ （其中 k R， k 0） （ 1）若 x=3 在上述不等式的解集中，试确定 k 的取值范围； （ 2）若 k 1 时，上述不等式的解集是 x （ 3， + ），求 k 的值 20已知 f（ x） =（ ） 2（ x 1） （ 1）求 f（ x）的反函数
5、及其定义域； （ 2）若不等式（ 1 ） f 1（ x） a（ a ）对区间 x ， 恒成立，求实数 a 的取值范围 21设 a R，函数 f（ x） =x|x a|+2x （ 1）若 a=3，求函数 f（ x）在区间 0， 4上的最大值； （ 2）若存在 a （ 2， 4，使得关于 x 的方程 f（ x） =tf（ a）有三个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围 2016-2017 学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 20 分） . 1已知 A=x|x 7， B=x|x 2，则 A B= x|2 x 7 【考点】
6、 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=x|x 7， B=x|x 2， A B=x|2 x 7， 故答案为： x|2 x 7 2不等式 的解集是 （ 4， 2） 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 由不等式 可得（ x 2）（ x+4） 0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集 【解答】 解：由不 等式 可得 0，即 （ x 2）（ x+4） 0，解得4 x 2， 故不等式的解集为（ 4， 2）， 故答案为 （ 4， 2） 3函数 f（ x） = 的定义域是 x|x 2 且 x 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 由题意即分母不为零、偶次
7、根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示 【解答】 解：由题意，要使函 数有意义，则 ， 解得， x 1 且 x 2； 故函数的定义域为： x|x 2 且 x 1， 故答案为： x|x 2 且 x 1 4若 x 0，则函数 f（ x） = +x 的最小值为 2 【考点】 基本不等式 【分析】 由 x 0，直接运用基本不等式，计算即可得到最小值 【解答】 解： x 0，则函数 f（ x） = +x 2 =2 ， 当且仅当 x= 时， f（ x）取得最小值 2 故答案为： 2 5若函数 ， ，则 f（ x） +g（ x） = 1 （ 0 x 1） 【考点】 函数解析式的求解
8、及常用方法 【分析】 容易求出 f（ x）， g（ x）的定义域，求交集便可得出 f（ x） +g（ x）的定义域，并可求得 f（ x） +g（ x） = 【解答】 解： ； 解 得， 0 x 1； （ 0 x 1） 故答案为： 6不等式 |2x 1| 3 的解集为 x| 1 x 2 【考点】 不等式；绝对值不等式 【分析】 将 2x 1 看成整体，利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利用不等式基本性质求解即可 【解答】 解： |2x 1| 3 3 2x 1 3 1 x 2， 不等式 |2x 1| 3 的解集为 x| 1 x 2 故答案为： x| 1 x 2 7设 f（ x）是 R
9、 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =2x2 x，则 f（ 1） = 3 【考点】 函数的值 【分析】 根据函数奇偶性的性质求 f（ 1）即可求出 f（ 1）的值 【解答】 解： f（ x）是 R 上的奇函数， f（ 1） = f（ 1）， 当 x 0 时， f（ x） =2x2 x， f（ 1） =2+1=3， f（ 1） = f（ 1） = 3 故答案为： 3 8已知函数 ，则方程 f 1（ x） =4 的解 x= 1 【考点】 反函数；对数的运算性质 【分析】 根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足 f 1（ x） =4 的 x 值，即求 f（ 4）的值 【解答】 解：由题
10、意得，即求 f（ 4）的值 ， f（ 4） =log3（ 1+2） =1， f（ 4） =1 即所求的解 x=1 故答案为 1 9若函数 f（ x） =x2+ 为偶函数，则实数 a= 1 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据偶函数的定义建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： 函数 f（ x） =x2+ 为 偶函数， f（ x） =f（ x）， 即 x2 =x2+ ， 则 =0，则 a=1， 故答案为： 1 10函数 y= 的值域是 （ 1， ） 【考点】 函数的值域 【分析】 分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数 y 的范围 【解答】 解：函数 y= = = 1 2x+3 3， 0
11、 函数 y= 的值域是（ 1， ） 故答案为（ 1， ） 11已知函数 f（ x） = ，且函数 F（ x） =f（ x） +x a 有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 a 1 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 根据函数与方程的关系，将函数问题转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 F（ x） =f（ x） +x a=0 得 f（ x） = x+a， 作出函数 f（ x）和 y= x+a 的图象如图： 当直线 y= x+a 经过点 A（ 0， 1）时，两个函数有两个交点， 此时 1= 0+a，即 a=1， 要使两个函数有两个交点，则 a 1 即可，
12、故实数 a 的取值范围是 a 1， 故答案为： a 1 12关于 x 的方程 4x k2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是 （ ， 3） 6 【考点】 函数的零点 【分析】 首先换元，令 t=2x，则关于 t 方程 t2 kt+k+3=0 只有一个正根，根据根与系数的关系写出一元二次方程要满足的条件，得到结果 【解答】 解：设 t=2x， t 0 x 的方程 4x k2x+k+3=0 转化 为 t2 kt+k+3=0，设 f（ t） =t2 kt+k+3， 原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根， f（ 0） 0，或 =0， k 3，或 k=6 故答案为（ ， 3）
13、 6 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 13 “x+y=3”是 “x=1 且 y=2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的 定义进行判断即可 【解答】 解：当 x=0， y=3 时，满足 x+y=3，但 x=1 且 y=2 不成立，即充分性不成立， 若 x=1 且 y=2，则 x+y=3 成立，即必要性成立， 即 “x+y=3”是 “x=1 且 y=2”的必要不充分条件， 故选： B 14下
14、列各对函数中，相同的是（ ） A f（ x） =lgx2， g（ x） =2lgx B f（ x） =lg ， g（ x） =lg（ x+1） lg（ x 1） C f（ u） = ， g（ v） = D f（ x） =x， g（ x） = 【考点】 判断两个函数是否为同一函数 【分析】 对于 A，通过定义域判断是不是相同的函数； 对于 B 求出函数的定义域，即可判断是不是相同的函数； 对于 C：判断是否满足相同函数的要求即可； 对于 D：通过对应关系以及值域即可判断是不是相同的函数 【解答】 解：对于 A： f（ x） =lgx2， g（ x） =2lgx 两个函数的定义域不同，不是相同的函
15、数； 对于 B： f（ x） =lg ， g（ x） =lg（ x+1） lg（ x 1）函数底的定义域不同，不是相同的函数； 对于 C： f（ u） = ， g（ v） = ，满足相同函数的要求，是相同的函数； 对于 D： f（ x） =x， g（ x） = ，定义域相同，都是对应关系以及值域不同，不是相同的函数 故选 C 15设 a， b 是非零实数，若 a b，则下列 不等式成立的是（ ） A a2 b2 B ab2 a2b C D 【考点】 一元二次不等式的应用；不等关系与不等式 【分析】 由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于 a， b 为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确
16、选项 【解答】 解： A 选项不正确，因为 a= 2， b=1 时，不等式就不成立； B 选项不正确，因为 a=1， b=2 时，不等式就不成立； C 选项正确，因为 a b，故当 a b 时一定有 ； D 选项不正确，因为 a=1， b=2 时，不等式就不成立； 选项正确，因为 y=2x 是一个增函数，故当 a b 时一定有 2a 2b， 故选 C 16若 f（ x）是 R 上的奇函数，且 f（ x）在 0， + ）上单调递增，则下列结论： y=|f（ x） |是偶函数； 对任意的 x R 都有 f（ x） +|f（ x） |=0； y=f（ x）在（ ， 0上单调递增； y=f（ x） f
17、（ x）在（ ， 0上单调递增 其中正确 结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 由 f（ x）是 R 上的奇函数，且 f（ x）在 0， + ）上单调递增，知： y=|f（ x） |是偶函数；对任意的 x R，不一定有 f（ x） +|f（ x） |=0； y=f（ x）在（ ， 0上单调递减； y=f（ x） f（ x） = f（ x） 2 在（ ， 0上单调递减 【解答】 解： f（ x）是 R 上的奇函数，且 f（ x）在 0， + ）上单调递增， y=|f（ x） |是偶函数，故 正确； 对任意的 x R，不一定有 f（ x） +|f（ x） |=0，故 不正确； y=f（ x）在（ ， 0上单调递减，故 不正确； y=f（ x） f（ x） = f（ x） 2 在（ ， 0上单调递增，故 正确 故选 B
