1、 静安 区 2016-2017学年度第一学期 高中教学质量检测 高三数学试卷 本试卷共有 20道试题，满分 150 分考试时间 120分钟 一、 填空题（ 50 分）本大题共有 10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 5分，否则一律得零分 1 “ 0x ”是“ ax ”的充分非必要条件，则 a 的取值范围是 2 函数 4s in31)( 2 xxf的最小正 周期为 3 若复数 z 为纯虚数， 且满足 i)i2( az (i 为虚数单位 )，则实数 a 的值为 4 二项式 52 1 xx的展开式中， x 的系数为 5 用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容
2、积为 立方米 6 已知 为锐角，且 3cos( )45 ，则 sin _ 7 根据相关规定 ， 机动车驾驶人血液中的酒精含量大于 （等于） 20 毫克 /100 毫升的行为属于 饮酒驾车 . 假设饮酒后，血液中的酒精含量为 0p 毫克 /100 毫升，经过 x 个 小时，酒精含量降为 p 毫克 /100 毫升，且满足关系式 0 rxppe （ r 为常数） . 若某人饮酒后血液中的酒精含量为 89 毫克 /100 毫升， 2 小时后，测得其血液中酒精含量降为 61 毫克 /100 毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车 (精确到小时 ) 8 已知奇函数 )(xf 是定义在 R 上的增函数，数列
3、 nx 是一个公差为 2 的等差数列，满足 0)()( 87 xfxf ，则 2017x 的值为 9 直角三角形 ABC 中， 3AB ， 4AC ， 5BC ，点 M 是三角形 ABC 外接圆上任意一点，则 AB AM 的最大值为 _ 10 已知 baxf x )( 0( a 且 1a ， Rb )， 1)( xxg ，若对任意实数 x 均有0)()( xgxf ，则 ba 41 的最小值为 _ 二 、 选择题（ 25 分） 本大题共有 5 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 . 11 若空间三条直
4、线 a、 b、 c 满足 cbba , ， 则直线 a 与 c 【 】 A一定平行； B一定相交； C一定 是异面直线； D平行、相交、是异面直线都有可能 12 在无穷等比数列 na 中， 21)(lim21 nn aaa，则 1a 的取值范围是【 】 A 210，； B 121，； C 10， ； D 210， 121， 13 某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有 【 】 A 336 种 ； B 320 种 ； C 192 种 ； D 144 种 . 14 已知椭圆 1C ，抛物线 2C 焦点均在 x 轴上， 1C 的 中
5、心和 2C 顶点均为原点 O ，从每条曲线上各取 两个点，将其坐标记录于表中，则 1C 的左焦点到 2C 的准线之间的距离为 【 】 A 12 ； B 31 ； C 1； D 2 15 已知 )(xgy 与 )(xhy 都是定义在 ),0()0,( 上的奇函数，且当 0x 时， .1),1( ,10,)( 2 xxg xxxg ， xkxh 2log)( （ 0x ），若 )()( xhxgy 恰有 4 个零点，则正实数 k 的取值范围是 【 】 A 1,21 ； B 1,21( ； C 2log,21(3； D 2log,213 三、 解答题（本题满分 75分） 本大题共有 5题，解答下列各
6、题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤 16 （本题满分 11 分，第 1小题 6分，第 2小题 5分） 已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D ， aAAaAB 2, 1 , ,EF分别是棱 ,ADCD 的中点 (1) 求 异面直线 1BC EF与 所成角的大小； (2) 求四面体 EFCA1 的体积 17 （ 本题满分 14分，第 1小题 7分，第 2小题 7分 ） x 3 2 4 2 y23 0 4 22 设双曲线 C ： 22123xy， 12,FF为其左右两个焦点 (1) 设 O 为坐标原点， M 为 双曲 线 C 右支上任意一点，求 MFOM 1 的取
7、值范围； (2) 若 动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 12,FF的距离之和为定值，且 12cos FPF 的最小值为 19 ，求动点 P 的轨迹方程 18 （ 本题满分 14 分，第 1小题 7分，第 2小题 7分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 A（看做一点）的东偏南 角方向 2cos10， 300 km 的海面 P 处，并以 20km / h 的速度向西偏北 45方向移动 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，并以 10km / h 的速度不断增大 (1) 问 10 小时后，该台风是否开始侵袭城市 A，并说明理由； (2) 城市 A 受到该台风
8、侵袭的持续时间为多久？ 19 （本题满分 18 分 ，第 1小题 4分，第 2小题 6分，第 3小题 8分） 设 集合 |)( xfMa 存在正实数 a ，使得定义域内任意 x 都有 )()( xfaxf (1) 若 22)( xxf x ，试判断 )(xf 是否为 1M 中的元素，并说明理由； (2) 若 341)( 3 xxxg ，且 aMxg )( ，求 a 的取值范围； (3) 若 ),1),(lo g)(3 xxkxxh（ R ），且 2)( Mxh ，求 )(xh 的最小值 20 （本题满分 18 分，第 1小题 4分，第 2小题 7分，第 3小题 7分） 由 )2( nn 个不同
9、的数 构成的数列 12,na a a 中，若 1 i j n 时， ij aa （即后面的项 ja 小于前面项 ia ），则称 ia 与 ja 构成一个逆序 ， 一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数 如对于数列 3， 2， 1，由于在第一项 3 后面比 3 小的项有 2 个，在第二项 2 后面比 2 小的项有 1 个，在第三项 1 后面比 1 小的项没有，因此，数列 3， 2， 1 的逆序数为 3012 ；同理，等比数列 81,41,21,1 的逆序数为 4 (1) 计算数列 *2 1 9 (1 1 0 0 , N )na n n n 的逆序数； (2) 计算数列1 ,3,1nnna
10、n nn 为 奇 数为 偶 数（ *1 , Nn k n ）的逆序数； (3) 已知数列 12,na a a 的逆序数为 a ，求 11,nna a a 的逆序数 静安 区 2016-2017学年度第一学期 高中教学质量检测 高三数学试卷答案与评分标准 一、 1 ，0 ; 2 ; 3 21 ; 4 10; 5 243 ; 6 102 ; 7 8; 8 4019; 9 12; 10 4 二 、 11. D; 12. D; 13. A; 14.B; 15.C. 16 解：（ 1）连接 11CA ， .1 分 则 BCA 11 为异面直线 1BC EF与 所成角 .1 分 在 BCA 11 中，可求
11、得 aBABC 511 ， aCA 211 112 1 0 1 02c o s 1 0 1 05 aA C B a 异 面 直 线 所 成 角 的 大 小 arccos .4 分 （ 2）11311 23 2 2 2 1 2C A E F A E F C a a aV V a .5 分 17 （ 1） 设 ,Mxy ， 2x ，左焦点 1( 5,0)F ， 1 ( , ) ( 5 , )O M F M x y x y 22 2 2 35 5 32xx x y x x 4 分 25 532 xx （ 2x ）对称轴 5 25x 1 2 1 0 ,O M F M 3 分 （ 2）由椭圆定义得： P
12、 点轨迹为椭圆 22221xyab， 12 25FF ， 122PF PF a 22 21 2 1 212 1 2 1 22 0 4 2 2 0c o s P F P F a P F P FF P F P F P F P F P F 2124 20 12 aPF PF4 分 由基本不等式得 1 2 1 222a P F P F P F P F ， 当且仅当 12PF PF 时等号成立 212PF PF a 2 212 24 2 0 1c o s 1 929aF P F aa ， 2 4b 所求动点 P 的轨迹方程为 22194xy3 分 18 解：（ 1）如图建立直角坐标系， 1 分 则城市
13、0,0A ，当前台风中心 30 2, 210 2P ， 设 t 小时后台风中心 P 的坐标为 ,xy ， 则 30 2 10 2210 2 10 2xtyt ，此时台风的半径为60 10t ， 10 小时后， 4.184PA km，台风的半径为 r 160km, PAr , 5 分 故， 10 小时后，该台风还没有开始侵袭城市 A. 1 分 （ 2）因此， t 小时后台风侵袭的范围可视为以 3 0 2 1 0 2 , 2 1 0 2 1 0 2P t t 为圆心 ， 60 10t 为半径的圆 ， 若城市 A 受到台风侵袭，则 223 0 2 1 0 2 0 2 1 0 2 1 0 2 60 0
14、 1 0tt t 2 1 0 8 0 0 8 6 4 0 0 0300 tt ， 即 2 36 288 0tt ， 5 分 解得 12 24t 1 分 答：该城市受台风侵袭的持续时间为 12 小时 . 1 分 19 解：（ 1） 1)0()1( ff ， 1)( Mxf . 4 分 （ 2）由 0413341)(41)()()( 32233 aaxaaxxaxxaxxgaxg 2 分 0)41(129 34 aaaa ， 3 分 故 1a . 1 分 （ 3）由 0)(l o g2)2(l o g)()2(33 xkxx kxxhxh, 1 分 即： )(lo g2)2(lo g33 xkxx
15、 kx 022 xkxx kx 对任意 ),1 x 都成立 3113)2( 2 kkkxk xxk3 分 当 01 k 时， )1(lo g)1()( 3m in khxh ； 1 分 当 10 k 时， )1(lo g)1()( 3m in khxh ； 1 分 当 31 k 时， )2(lo g)()( 3m i n kkhxh . 1 分 综上：.31),2(lo g,11),1(lo g)(33m i n kk kkxh 1 分 20 （ 1）因为 na 为单调递减数列，所以逆序数为 ( 9 9 1 ) 9 99 9 9 8 1 4 9 5 02 ； 4 分 （ 2）当 n 为奇数时，
16、 1 3 2 1 0na a a 1 分 当 n 为偶数时， 222 ( 4 )11212 0( 1 ) ( 1 )nnnna a nnnnnn 所以 2 4 20 na a a 2 分 当 k 为奇数时，逆序数为 23 5 3 4 1( 1 ) ( 3 ) 2 12 2 8k k k kkk 2 分 当 k 为偶数时，逆序数为 22 4 3 2( 1 ) ( 3 ) 1 12 2 8k k k kkk 2 分 （ 3）在数列 12,na a a 中，若 1a 与后面 1n 个数构成 1p 个逆序对， 则有 1( 1)np 不构成逆序对，所以在数列 11,nna a a 中， 逆序数为12 ( 1 )( 1 ) ( 2 ) ( ) 2n nnn p n p n n p a 7 分
