1、 2016-2017 学年陕西省渭南市澄城县寺前中学高二（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 48 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1数列 1， 3， 5， 7， 9， 的一个通项公式为（ ） A an=2n 1 B an=（ 1） n（ 1 2n） C an=（ 1） n（ 2n 1） D an=（ 1） n（ 2n+1） 2在等差数列 an中， a3 a2= 2， a7= 2，则 a9=（ ） A 2 B 2 C 4 D 6 3一元二次不等式 x2+4x+12 0 的解集为（ ） A（ ， 2） B（ 1， 5） C（ 6
2、， +） D（ 2， 6） 4设 an是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3=15， a1a2a3=80，则 a11+a12+a13=（ ） A 120 B 105 C 90 D 75 5若 a+b=1（ a 0， b 0），则 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 6数列 ， ， ， ， 的第 10 项是（ ） A B C D 7下列不等式中成立的是（ ） A若 a b，则 ac2 bc2 B若 a b，则 a2 b2 C若 a b 0，则 a2 ab b2 D若 a b 0，则 8等差数列 an中，已知 a2+a6+a10=36，则该数列前 11 项和 S11=（ ）
3、A 132 B 66 C 33 D 11 9已知等比数列 an满足 a2+2a1=4， a32=a5，则该数列前 20 项的和为（ ） A 210 B 210 1 C 220 1 D 220 10若等差数列 an满足 a7+a8+a9 0， a7+a10 0， 则当 an的前 n 项和最大时 n 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 11若等比数列 an 满足 anan+1=16n，则公比为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 12已知 a， b， a+b 成等差数列， a， b， ab 成等比数列，且 ，则 m 的取值范围是（ ） A m 1 B 1 m 8 C m 8 D 0
4、 m 1 或 m 8 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知实数 x， y 满足 ，则 z=x 3y 的最大值是 14设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a5=5a3，则 = 15已知数列 an满足 a1=1， an an 1=n（ n 2），则数列 an的通项公式 an= 16数列 an中，已知对任意 n N*， a1+a2+a3+an=3n 1，则 a12+a22+a32+an2= 三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17（ 10 分）等 比数列 an的各项均为正数，且 2a1+3a2=1，
5、 =9a2a6求数列 an的通项公式 18（ 8 分）某小区要建一个面积为 500 平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外路宽 5米，短边外路宽 9 米，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值 19（ 10 分）已知数列 an满足 an+1=2an+n 1，且 a1=1 （ ）求证： an+n为等比数列； （ ）求数列 an的前 n 项和 Sn 20（ 10 分）设 ABC 的内角 A、 B、 C 所对边分别是 a、 b、 c，已知 B=60， （ 1）若 b= ， A=45，求 a； （ 2）若 a、 b、 c 成等比数列，请判断 ABC 的形状 21（ 12 分
6、）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2， a2n=2an+1 （ ）求数列 an的通项公式； （ 2）求证： 2016-2017 学年陕西省渭南市澄城县 寺前中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 48 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1（ 2016衡阳校级一模）数列 1， 3， 5， 7， 9， 的一个通项公式为（ ） A an=2n 1 B an=（ 1） n（ 1 2n） C an=（ 1） n（ 2n 1） D an=（ 1） n（ 2n+1） 【考点】 数列的概念及简单表
7、示法 【专题】 计算题 【分析】 首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以 1为首项，以 2 为公差的等差数列，从而易求出其通项公式 【解答】 解： 数列 an各项值为 1， 3， 5， 7， 9， 各项绝对值构成一个以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， |an|=2n 1 又 数列的奇数项为正，偶数项为负， an=（ 1） n+1（ 2n 1） =（ 1） n（ 1 2n） 故选 B 【点评】 本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键解题时应注意数列的奇数项为正，偶数项为负，否则会错 2（ 2016贵州校级模拟）在等差数列 an中， a3 a2
8、= 2， a7= 2，则 a9=（ ） A 2 B 2 C 4 D 6 【考点】 等差数列的通项公式 【专题】 计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列 【分析】 由 a3 a2= 2，即 d= 2，再根据等差数列的性质即可求出 【解答】 解：由 a3 a2= 2，即 d= 2， a9=a7+2d= 2+2 （ 2） = 6， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是等差数列的性质，属于基础题 3（ 2015 秋 泰安期末）一元二次不等式 x2+4x+12 0 的解集为（ ） A（ ， 2） B（ 1， 5） C（ 6， +） D（ 2， 6） 【考点】 一元二次不等式的解法 【专题】 对
9、应思想；转化法；不等式的解法及应用 【分析】 把原不等式化为（ x+2）（ x 6） 0，求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集 【解答】 解：不等式 x2+4x+12 0 可化为 x2 4x 12 0， 即（ x+2）（ x 6） 0； 该不等式对应方程的两个实数根为 2 和 6， 所以该不等式的解集为（ 2， 6） 故选： D 【点评】 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目 4（ 2016佛山二模）设 an是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3=15， a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（ ） A 120 B 105 C 90 D 75 【考点】
10、 等差数列 【分析】 先由等差数列的性质求得 a2，再由 a1a2a3=80 求得 d 即可 【解答】 解： an是公差为正数的等差数列， a1+a2+a3=15， a1a2a3=80， a2=5， a1a3=（ 5 d）（ 5+d） =16， d=3， a12=a2+10d=35 a11+a12+a13=105 故选 B 【点评】 本题主要考查等差数列的运算 5（ 2013宣武区校级模 拟）若 a+b=1（ a 0， b 0），则 的最小值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 【考点】 基本不等式 【专题】 计算题；不等式的解法及应用 【分析】 题目给出了两个正数 a、 b 的和是定值
11、 1，求 的最小值，直接运用基本不等式不能得到要求的结论，可想着把要求最值的式子的分子的 1 换成 a+b，或整体乘 1，然后换成 a+b，采用多项式乘多项式展开后再运用基本不等式 【解答】 解： 2 =4 所以 的最小值为 4 故选 B 【点评】 本题考查了基本不等式，考查了数学转化思想和整体代换思想，解答此题的关键是数字 1 的代换，是常考题型 6（ 2015 秋 湛江校级期末）数列 ， ， ， ， 的第 10 项是（ ） A B C D 【考点】 数列的概念及简单表示法 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由数列 ， ， ， ， 可得其通项公式 an= 即可得出 【解答】 解：由数列
12、， ， ， ， 可得其通项公式 an= = 故选 C 【点评】 得出数列的通项公式是解题的关键 7（ 2016 春 绵阳期末）下列不等式中成立的是（ ） A若 a b，则 ac2 bc2 B若 a b，则 a2 b2 C若 a b 0，则 a2 ab b2 D若 a b 0，则 【考点】 不 等式的基本性质 【专题】 不等式的解法及应用 【分析】 运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论 【解答】 解：对于 A，若 a b， c=0，则 ac2=bc2，故 A 不成立； 对于 B，若 a b，比如 a=2， b= 2，则 a2=b2，故 B 不成立； 对于 C，若 a b 0，比如
13、 a= 3， b= 2，则 a2 ab，故 C 不成立； 对于 D，若 a b 0，则 a b 0， ab 0，即有 0，即 ，则 ，故 D 成立 故选： D 【点评】 本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键 8（ 2016 秋 澄城县校级期中）等差数列 an中，已知 a2+a6+a10=36，则该数列前 11 项和 S11=（ ） A 132 B 66 C 33 D 11 【考点】 等差数列的前 n 项和 【专题】 计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列 【分析】 由等差数列的性质知 S11= （ a1+a11） =11a6，由此能够求出结果 【解答】 解
14、：等差数列 an中， a2+a6+a10=36， 3a6=36， 2a6=24=a1+a11， S11=11a6=132， 故选： A 【点评】 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答 9（ 2016 春 天水校级期末）已知等比数列 an满足 a2+2a1=4， a32=a5，则该数列前 20 项的和为（ ） A 210 B 210 1 C 220 1 D 220 【考点】 等比数列的前 n 项和 【专题】 计算题；方程思想；等差数列与等比数列 【分析】 由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得 【解答】 解：设等比数列
15、an的公比为 q， a2+2a1=4， a32=a5， a1（ q+2） =4， a12q4=a1q4， 联立解得 a1=1， q=2， 数列的前 20 项的和为： =220 1 故选： C 【点评】 本题考查等比数列的求和公式，求 出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题 10（ 2016惠州三模）若等差数列 an满足 a7+a8+a9 0， a7+a10 0，则当 an的前 n 项和最大时 n 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 等差数列的性质 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 由题意和等差数列的性质可得 an的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，由此
16、易得结论 【解答】 解： 等差数列 an满足 a7+a8+a9 0， a7+a10 0， 3a8=a7+a8+a9 0， a8+a9=a7+a10 0， a8 0， a9 0， 等差数列 an的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数， 当 an的前 n 项和最大时 n 的值为 8， 故选： B 【点评】 本题考查等差数列的性质，考查等差数列项的符号，属基础题 11（ 2011辽宁）若等比数列 an 满足 anan+1=16n，则公比为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 【考点】 等比数列的性质 【专题】 计算题 【分析】 令 n=1，得到第 1 项与第 2 项的积为 16，记作 ，令
17、n=2，得到第 2 项与第 3 项的积为 256，记作 ，然后利用 ，利用等比数列的通项公式得到 关于 q 的方程，求出方程的解即可得到 q 的值，然后把 q 的值代入经过检验得到满足题意的 q 的值即可 【解答】 解：当 n=1 时， a1a2=16； 当 n=2 时， a2a3=256， 得： =16，即 q2=16， 解得： q=4 或 q= 4， 当 q= 4 时，由 得： a12 （ 4） =16，即 a12= 4，无解，所以 q= 4 舍去， 则公比 q=4 故选 B 【点评】 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题学生在求出 q 的值后，
18、要 经过判断得到满足题意的 q 的值，即把 q= 4 舍去 12（ 2016 秋 澄城县校级期中）已知 a， b， a+b 成等差数列， a， b， ab 成等比数列，且，则 m 的取值范围是（ ） A m 1 B 1 m 8 C m 8 D 0 m 1 或 m 8 【考点】 等比数列的性质 【专题】 计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列 【分析】 由已知求出 a=2， b=4由此能求出 m 的取值范围 【解答】 解： a， b， a+b 成等差数列， 2b=2a+b，即 b=2a a， b， ab 成等比数列， b2=a2b，即 b=a2（ a 0， b 0） 由 得 a=2， b=
19、4 ， 0 logm8 1， m 1 logm8 1，即 logm8 logmm， m 8 故选： C 【点评】 本题考查实数值的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列、对数的性质的合理运用 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13（ 2016 秋 澄城县校级期中）已知实数 x， y 满足 ，则 z=x 3y 的最大值是 1 【考点】 简单线性规划 【专题】 计算题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用 【分析】 由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求其最大值 【解答】 解： x， y 满足的平面区域如图：由 z=x 3y 得到 y=
20、 x z，当此直线经过图中C 时 z 最小， 由 得到 C（ 2， 1）， 所以 z 最小值为 2 3= 1； 故答案为： 1 【点评】 本题考查了线性规划在去目标函数中的最值的应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义 14（ 2009全国卷 ）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a5=5a3，则 = 9 【考点】 等差数列的性质 【专题】 计算题 【分析】 根据等差数列的等差中项的性质可知 S9=9a5， S5=5a3，根据 a5=5a3，进而可得则的值 【解答】 解： an为等差数列， S9=a1+a2+a9=9a5， S5=a1+a2+a5=5a3， 故答案为 9 【点评】 本题
21、主要考查了等差数列中等差中项的性质属基础题 15（ 2016揭阳校级模拟）已知数列 an满足 a1=1， an an 1=n（ n 2），则数列 an的通项公式 an= n（ n+1） 【考点】 数列递推式 【 专题】 计算题；整体思想；转化法；等差数列与等比数列 【分析】 由已知得 an an 1=n（ n 2），由此利用累加法能求出该数列的通项公式 【解答】 解： 数列 an满足： a1=1， an an 1=n（ n 2），（ n 2）， an=a1+a2 a1+a3 a2+an an 1 =1+2+3+4+n= n（ n+1）， 故答案为： 【点评】 本题考查数列的通项公式的求法，是中
22、档题，解题时要认真 审题，注意累加法的合理运用 16（ 2016贵州校级模拟）数列 an中，已知对任意 n N*， a1+a2+a3+an=3n 1，则a12+a22+a32+an2= 【考点】 数列的求和 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 设数列 an的前 n 项和为 Sn，则 ，当 n 2 时， 即可得出 an=Sn Sn 1进而得到 ，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设数列 an的前 n 项和为 Sn，则 ，当 n 2 时， an=Sn Sn 1=3n 1（ 3n 1 1） =2 3n 1，当 n=1 时也成立 =（ 2 3n 1） 2=4 9n 1 =4（
23、 90+91+9n 1） = = 故答案为： 【点评】 本题考查了关系 an=Sn Sn 1、等比数列的前 n 项和公式等基础知识与基本方法，属于中档题 三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17（ 10 分）（ 2016 秋 澄城县校级期中）等比数列 an的各项均为正数，且 2a1+3a2=1，=9a2a6求数列 an的通项公式 【考点】 等比数列的通项公式 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 根据等比数列的通项公式，建立方程组关系，求出首项和公比即可 【解答】 解：由 =9a2a6得 =9（ a4） 2 等比数列 an的各项均为正
24、数， a3=3a4， 即公比 q= ， 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3 a1=1， 即 3a1=1，即 a1= ， 则数列 an的通项公式 an= （ ） n 1=（ ） n 【点评】 本题主要考查等比数列通项公式的求解，利用等比数列的性质建立方程组关系是解决本题的关键 18（ 8 分）（ 2011 春 瓦房店市校级期末）某小区要建一个面积为 500 平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外路宽 5 米，短边外路宽 9 米，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值 【考点】 函数模型的选择与应用 【专题】 计算题 【分析】 若设绿地长边为 x 米，则宽为 米，总
25、面积；利用基本不等式 a+b 2 （ a 0， b 0），可求得总面积的最小值及对应的绿地的长与宽 【解答】 解：设绿地长边为 x 米，则宽为 米， 总面积 ； 当且仅当 ，即 x=30 时，上式取等号； 所以，绿地的长为 30 米，宽为 米时，绿地和小路所占的总面 积最小，最小值为 1280 平方米 【点评】 本题利用矩形的面积公式，考查了基本不等式 a+b 2 （其中 a 0， b 0）的应用，是基础题 19（ 10 分）（ 2016河南模拟）已知数列 an满足 an+1=2an+n 1，且 a1=1 （ ）求证： an+n为等比数列； （ ）求数列 an的前 n 项和 Sn 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【专题】 计算题；转化思想；综合法；等差数列与 等比数列 【分析】 （ ）利用 an+1=2an+n 1 化简 即得结论；
