1、中国校长网资源频道 http:/2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若 2log0a, 1()b,则【 D 】A , B 1a, 0bC. , D. , 2对于非零向量 ab“ ”是“ /”的【 A 】A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3将函数 sinyx的图象向左平移 (02)个单位后,得到函数 sin()6yx的图象,则 等于【 D 】A 6 B 56 C. 76 D.14如图 1,当参数 12,时,连续函数
2、 (0)1xy 的图像分别对应曲线 1C和 2 , 则【 B 】A 120 B 210C D 5从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】A 85 B 56 C 49 D 286已知 D 是由不等式组 20,3xy所确定的平面区域,则圆 24xy在区域 D 内的弧长为【 B 】A 4 B 2 C 34 D 32图1c2c1oyx中国校长网资源频道 http:/C1D1B1A1 D CBA7正方体 1ABCD的棱上到异面直线 AB,C 1的距离相等的点的个数为【 C 】A2 B3 C 4 D58设函数 ()yfx在 ,
3、)内有定义.对于给定的正数 K,定义函数 ,()().KKff取函数 ()fx2xe。若对任意的,x,恒有 Kxf,则【 D 】AK 的最大值为 2 BK 的最小值为 2CK 的最大值为 1 DK 的最小值为 1二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱兵乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.10在 333(1)()(1)xx的展开式中, x的系数为_7_(用数字作答).11若 0,2,则 tan2的最小值为 2 .12已知
4、以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为 60,则双曲线 C 的离心率为 62 13一个总体分为 A,B 两层,其个体数之比为 4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 28,则总体中的个体数为 40 。14在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则(1)球心到平面 ABC 的距离为 12 ;(2)过,B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角(锐角)的正切值为 3 .15将正 AC分割成 2*(,)nN个全等的小正三角形(图 2,图 3 分别给出了n=2,3 的情形
5、),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别依次成等差数列.若顶点 A ,B ,C 处的三中国校长网资源频道 http:/个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 ()fn,则有 (2)f, (3)f103 , , ()fn 16 .BACAB C图3图2三解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16(本小题满分 12 分)在 AB中,已知 2233AB,求角 A,B,C 的大小解: 设 ,Cabc由 23C得 2os3bc,所以 3os2.又 (0,)A因此 6 由 23
6、3B得 23bca,于是 23sinsin4CBA.所以 5sin()64C, 13si(coi)2,因此 22ico3in,is0C,既 sin(2)03C.由 6A知 506,所以 43,从而 ,3C或 2,3,既 ,6或 2,故 ,B或 ABC。17(本小题满分 12 分)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 12, 3, 6.现在 3 名工人独立中国校长网资源频道 http:/地从中任选一个项目参与建设。(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(II)记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工
7、程或产业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望。解: 记第 i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,iiABCi=1,2,3.由题意知 123,A相互独立, 123,B相互独立,123相互独立, ,ijkBC(i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立,且 (),(),().6iiiPP()他们选择的项目所属类别互不相同的概率P= 123!()ABC123()()BC16.26()解法 1:设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ,由已知, :B(3, ),且 =3-。所以 P( =0)=P( =3)= 31()C= 27,P( =1)=
8、P( =2)= 23 = 9,P( =2)=P( =1)= 1()2= 4,P( =3)=P( =0)= 03C = 87.故 的分布列是0 1 2 3P 1272949827的数学期望 E=0+ + 4+ 837=2.解法 2: 记第 i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件 iD,i=1,2,3 . 由已知, 123,D相互独立,且 P( iD)=( iiAC)= P( iA)+P( iC)= + 6= ,中国校长网资源频道 http:/所以 :2(3,)B,即 3321()()kkPC, 0,23.故 的分布列是0 1 2 3P 127294982718(本小题满分 12
9、分)如图 4,在正三棱柱 1ABC中, 12AB,点 D 是 1AB的中点,点 E 在 上,且 DE(I)证明:平面 平面 1;(II)求直线 和平面 ABC所成角的正弦值。解:(I) 如图所示,由正三棱柱 1的性质知1A平面 1B.又 DE平面 1AC,所以 DE1A.而 DE AE, 1AAE=A,所以 DE 平面 1.又 DE平面 ADE,故平面 DE平面 1CA(2)解法 1: 如图所示,设 F 是 AB 的中点,连接DF,DC ,C F,由正三棱柱 1AB的性质及 D 是 1AB的中点知,1C D, DF又 C DDF=D,所以 1平面 C1DF.而 AB 1,所以 AB 平面 C
10、DF.又 AB平面 ABC ,故平面 AB C1平面 C1DF。过点 D 做 DH 垂直 C1F 于点 H,则 DH平面 AB C 。连接 AH,则 HAD 是 AD 和平面 ABC 1所成的角。ABCDA1 B1 C1EABCDA1 B1 C1EFH中国校长网资源频道 http:/由已知 AB= 2A A1,不妨设 A A1= 2,则 AB=2,DF= 2,D C1= 3,C 1F= 5,AD=1D= 3,DH= FC1= 53= 0.所以 sin HAD= AH= 50。即直线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为 510.解法 2: 如图所示,设 O 是 AC 的中点,以 O 为原点
11、建立空间直角坐标系,不妨设 A A1=,则 AB=2,相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0), B( 3,0,0), C1(0,1, 2), D( 3, 12, )。易知 AB=( 3,1,0), 1AC=(0,2, ), AD=( 23, 1, ).设平面 ABC1的法向量为 (,)nxyzr,则有130,2.nxyACz解得 ,.3xy故可取 (1,6)nr.所以, cos,nADru= 3102= 5。由此即知,直线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为 10。19(本小题满分 13 分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测
12、算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2)x万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为 y万元。A B CDA1 B1 C1Exozy中国校长网资源频道 http:/()试写出 y关于 x的函数关系式;()当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y最小?解:()设需新建 n个桥墩,则 (1)1mnxx, 即 n=,所以 ()yfx (2)x=256+256(-)+.()由()知, 21322() (51).mfxx令 ()0f,得3251,所以 =64.当 00. x在区间(64,640)内为增函数.所
13、以 ()fx在 =64 处取得最小值,此时 64019.mn故需新建 9 个桥墩才能使 y最小。20(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d. 当点 P 运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和()求点 P 的轨迹 C;()设过点 F 的直线 l与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。解:()设点 P 的坐标为(x,y),则 24(3)|2|.dxyx由题设, 18d,即 24(3)|18y. 当 x2 时,由得 6,xx 化简得21.367xy当 时,由得 2
14、(3)3,xyx化简得 21y.中国校长网资源频道 http:/故点 P 的轨迹 C 是椭圆21:367xy在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 2:1Cyx在直线 x=2 的左侧部分(包括它与直线 x=2 的交点)所组成的曲线,参见图 1.()如图 2 所示,易知直线 x=2与 1C, 的交点都是 A(2, 6),B(2, 6),直线 AF,BF 的斜率分别为 AFk= , BFk= .当点 P 在 1C上时,由知 162Px. 当点 P 在 2上时,由知 3. 若直线 l的斜率 k 存在,则直线 l的方程为 (3)ykx.()当 k AF,或 k BFk,即 k 26或 k 时,直线 l与轨
15、迹 C 的两个交点 12(,)(,)MxyN都在 1C上,此时由知626x,从而MN= MF+ NF= (6 - 1)+(6 - 2x)=12 - 12( x+ 2).由 2(3),167ykx得 22(4)308kxk.则 1x, y是这个方程的两根,所以 1+ 2=243k,MN=12 - 12( x+ 2)=12 -234k.因为当 26,4,k或 时 所以221110.3334MNk当且仅当 26k时,等号成立。中国校长网资源频道 http:/()当 ,26AFAFkk时,直线 l与轨迹 C 的两个交点12(,)(,)MxyN分别在 1C上,不妨设点 M在 1上,点 N在 2上,则由知
16、, 2,3xNx.设直线 AF 与椭圆 1的另一交点为 E 0012(,),.yx则0262FxFAF,所以 MNA。而点 A,E 都在 1C上,且 ,AEk由()知 10,EMN所 以若直线 l的斜率不存在,则 1x= 2=3,此时120()9N.综上所述,线段 MN 长度的最大值为 1.21(本小题满分 13 分)对于数列 nu,若存在常数 M0,对任意的 *nN,恒有 1121nnuuM,则称数列 n为 B数列.()首项为 1,公比为 ()q的等比数列是否为 B-数列?请说明理由;请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假,并证明你的结论;()设
17、nS是数列 nx的前 项和,给出下列两组论断;A 组:数列 是 B-数列, 数列 nx不是 B-数列;B 组:数列 n是 B-数列, 数列 S不是 B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假,并证明你的结论;中国校长网资源频道 http:/()若数列 ,nab都是 B数列,证明:数列 nab也是 B数列。解:()设满足题设的等比数列为 na,则 1q,于是212,nnq.因此 1121|nnaa = 21(.).nqq因为 ,q所以 2 ,nnqq 即1121nnaaa .故首项为 1,公比为 q()的等比数列是 B-数列。()命题 1:若数列 nx是 B-数列,则数列 nS是 B-数列.此命题为假命题。事实上,设 ,nN,易知数列 nx是 B-数列,但 nS,1121nSS .由 的任意性知,数列 不是 B-数列。命题 2:若数列 n是 B-数列,则数列 nx是 B-数列.此命题为真命题.事实上,因为数列 nS是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 ,nN有1121nS ,即 12nxxM 。于是1121nnx 1.x Mx,所以数列 n是 B-数列。(注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法)(III)若数列 ,nab是 B数列,则存在正数 12,,对任意的 ,nN有