1、 高二数学期中复习题三 一、 选择 题 ：本大题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1 若复数 i2ia 的实部与虚部相等 ，则实数 a （ ） A （ A） 1 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 2 2.已知 2 ( )( 1) , (1) 1( ) 2fxf x ffx *xN（ ） ，猜想 (fx） 的表达式为 （ ） . A. 4()22xfx B. 2()1fx x C. 1()1fx x D. 2()21fx x 3 等比数列 na 中， 1 0a ， 则“ 13aa ”是“ 36aa ”的 B （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件
2、 （ D）既不充分也不必要条件 4从甲 、乙等 5 名志愿者中选出 4 名，分别从事 A ， B ， C ， D 四项不同的工作，每人承担一项若甲、乙二人均不能从事 A 工作，则不同的 工作分配 方案共有 B （ A） 60 种 （ B） 72 种 （ C） 84 种 （ D） 96 种 5.已知定义在 R 上的函数 ()fx的对称轴为 3x ，且当 3x 时， ( ) 2 3xfx.若函数 ()fx在区间 ( 1, )kk （ kZ ）上有 零点，则 k 的值为 A （ A） 2 或 7 （ B） 2 或 8 （ C） 1或 7 （ D） 1或 8 6 已知函数 22( ) lo g 2 l
3、o g ( )f x x x c ，其中 0c 若对于任意的 (0, )x ，都有( ) 1fx ，则 c 的 取值范围是 D （ A） 1(0, 4 （ B） 1 , )4 （ C） 1(0, 8 （ D） 1 , )8 7.已知函数)0(2)( 23 abxaxxf有且仅有两个不同的零点 1x， 2，则 B A当 0a时，021 xx，021 xB. 当 0a时，021 ， 21xxC. 当 时， 21， 21xD. 当 时， 21xx， 21 8 如图， 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， P 为 底 面 ABCD 上的动点， 1PE AC 于 E ， 且 PA PE
4、， 则点 P 的 轨迹是 A （ A） 线段 （ B） 圆弧 （ C） 椭圆 的一部分 （ D） 抛物线 的一部分 第卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题 ：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 设 等差 数列 na 的公差不为 0 ，其 前 n 项和 是 nS 若 23SS ， 0kS ，则 k _ 5 10. 262()x x 的展开式中 3x 的系数是 160 11 设 0a .若曲线 yx 与直线 ,0x a y所围成封闭图形的面积为 2a ,则 a _. 12 在直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 ( 1,0)A 关于原点 O 对称 点 00( , )Px
5、 y 在抛物线 2 4yx 上，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 2 ，则 0x _ 12 13. 数列 na 的通项公式 12cos nnan，前 n 项和为 nS ，则 2012S _。 3018 14 记实数 12, , , nx x x 中的最大数为 12max , , , nx x x，最小数为 12min , , , nx x x.设 ABC 的三边边长 分别为 ,abc， 且 abc ， 定义 ABC 的 倾斜度为 m a x , , m in ,a b c at b c a b ,bcca （）若 ABC 为等腰三角 形，则 t _； 1 （） 设 1a ， 则 t 的取
6、值范围是 _ 151, )2 三、解答题 ：本大题 共 6小题，共 80 分 解答应写出 必要的 文 字说明 、证明过程或 演算步骤 15.（本小题共 14 分） 已知函数 ( ) ln ( 1)f x m x m x ()mR （） 当 2m 时，求曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ ） 讨论 ()fx的单调性； （ III）若 ()fx存在最大值 M ，且 0M ，求 m 的取值范围 （ 18） （共 14 分） 解： （）当 2m 时， ( ) 2 lnf x x x 22( ) 1 xfx xx 所以 (1) 3f 又 (1) 1f ， 所以曲线 ()y
7、f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程是 1 3( 1)yx ， 即 3 2 0xy （ ） 函数 ()fx的定义域为 (0, ) ， ( 1 )( ) 1m m x mf x mxx 当 0m 时，由 0x 知 ( ) 1 0mf x mx 恒成立， 此时 ()fx在区间 (0, ) 上单调递减 当 m 1 时，由 0x 知 ( ) 1 0mf x mx 恒成立， 此时 ()fx在区间 (0, ) 上单调递增 当 01m时，由 ( ) 0fx ，得 1mx m ，由 ( ) 0fx ，得 1mx m ， 此时 ()fx在区间 (0, )1mm 内 单调递增，在区间 ( , )1mm 内
8、单调递减 （ III）由 （ ） 知函数 ()fx的定义域为 (0, ) ， 当 0m 或 m 1 时， ()fx在区间 (0, ) 上单调， 此时函数 ()fx无最大值 当 01m时， ()fx在区间 (0, )1mm 内 单调递增，在区间 ( , )1mm 内单调递减， 所以当 01m时 函数 ()fx有最大值 最大值 ( ) ln11mmM f m m 因为 0M ，所以有 ln 01 mmmm ，解之得 e1em 所以 m 的取值范围是 e( ,1)1e 16 （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) sin co sf x x a x的一个零点是 4 （ ） 求 实数 a 的值 ；
9、 （ ） 设 ( ) ( ) ( ) 2 3 s i n c o sg x f x f x x x ，求 ()gx 的单调 递 增区间 （ ） 解：依题意，得 ( ) 04f ， 1 分 即 22sin c o s 04 4 2 2 aa ， 3 分 解得 1a 5 分 （） 解：由 （ ） 得 ( ) sin cosf x x x 6 分 ( ) ( ) ( ) 2 3 s i n c o sg x f x f x x x ( s i n c o s ) ( s i n c o s ) 3 s i n 2x x x x x 7 分 22( c o s s i n ) 3 s i n 2x x
10、 x 8 分 cos 2 3 sin 2xx 9 分 2sin(2 )6x 10 分 由 2 22 2 6 2k x k ， 得 36k x k ， kZ 12 分 所以 ()gx 的单调 递 增区间为 , 36kk， kZ 13 分 1 17. （本小题满分 13 分） 已知数列 bn是等差数列， b1=1,b1+b2+b 10=145. (1)求数列 bn的通项公式 bn; (2)设数列 an的通项 an=loga(1+nb1 )(其中 a 0 且 a1)记 Sn 是数列 an的前 n 项和，试比较 Sn 与31 logabn+1 的大小，并证明你的结论 . (1)解：设数列 bn的公差为
11、 d,由题意得311 4 52 )110(10101 111dbdbb , bn=3n 2 (2)证明：由 bn=3n 2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+41 )+log a(1+ 231n ) =loga (1+1)(1+41 )(1+ 231n ) 而 31 logabn+1=loga 3 13n ,于是，比较 Sn 与 31 logabn+1 的大小 比较 (1+1)(1+41 )(1+ 231n )与3 13n 的大小 . 取 n=1，有 (1+1)= 333 11348 取 n=2，有 (1+1)(1+ 333 12378)41 推测： (1+1)(1+41 )(1+
12、231n ) 3 13n (*) 当 n=1 时，已验证 (*)式成立 . 假设 n=k(k1)时 (*)式成立，即 (1+1)(1+41 )(1+ 231k ) 3 13k 则当 n=k+1 时， )13 11(13)2)1(3 11)(23 11()411)(11( 3 kkkk 3 1313 23 kkk 333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(kkkkkkkkkkkkkkk3 1)1(3)13 11)(23 11()411)(11( kkk从而 ,即当 n=k+1 时， (*)式成立 由 知， (*)式对
13、任意正整数 n 都成立 . 于是，当 a 1 时， Sn 31 logabn+1 ,当 0 a 1 时， Sn 31 logabn+1 18 （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) lnf x ax x， ( ) e 3axg x x， 其中 aR （ ） 求 )(xf 的 极值 ； （ ） 若 存在 区间 M ，使 )(xf 和 ()gx 在 区间 M 上 具有相同 的 单调性 ，求 a 的取值范围 18.（本小题满分 13 分） （）解： ()fx的定义域为 (0, ) ， 1 分 且 11() axf x a xx 2 分 当 0a 时， ( ) 0fx ， 故 ()fx在 (0,
14、) 上单调递减 从而 )(xf 没有极大值，也没有极小值 3 分 当 0a 时， 令 ( ) 0fx ，得 1x a ()fx和 ()fx 的情况 如下： x 1(0, )a 1a 1( , )a ()fx 0 ()fx 故 ()fx的单调减区间为 1(0, )a ；单调增区间为 1( , )a 从而 )(xf 的极小值为 1( ) 1 lnfaa ；没有极大值 5 分 （）解： ()gx 的定义域为 R ， 且 ( ) e 3axg x a 6 分 当 0a 时，显然 ( ) 0gx ，从而 ()gx 在 R 上单调递增 由 （）得，此时 ()fx在 1( , )a 上单调递增 ，符合题意
15、8 分 当 0a 时 ， ()gx 在 R 上单调递增， ()fx在 (0, ) 上单调递减 ，不合题意 9 分 当 0a 时，令 ( ) 0gx ，得0 13ln( )x aa ()gx 和 ()gx 的情况 如下 表 ： x 0( , )x 0x 0( , )x ()gx 0 ()gx 当 30a 时， 0 0x ，此时 ()gx 在 0( , )x 上单调递增，由于 ()fx在 (0, ) 上单调递减 ，不合题意 11 分 当 3a 时， 0 0x ，此时 ()gx 在 0( , )x 上单调递减，由于 ()fx在 (0, ) 上单调递减 ，符合题意 综上， a 的取值范围 是 ( ,
16、3) (0 , ) 13 分 19 （本小题满分 14 分） 如图， 椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的左焦点为 F ，过点 F 的直线交椭圆于 A ， B 两点 当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60 （）求 该 椭圆的 离心率 ； （） 设线段 AB 的中点为 G ， AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 ,DE两点记 GFD 的面积 为 1S ， OED （ O 为原点） 的面积 为 2S ，求 12SS 的取值范围 19 （本小题满分 14 分） （） 解： 依题意， 当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, )b 时，其倾斜角为 60 1 分 设 ( ,0
17、)Fc ， 则 tan 60 3bc 2 分 将 3bc 代入 2 2 2a b c， 解得 2ac 3 分 所以 椭圆的离心率为 12ce a 4 分 （）解：由 （）， 椭圆的方程可设为 22143xycc 5 分 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 依题意，直线 AB 不能与 ,xy轴垂直，故设直线 AB 的方程为 ()y k x c，将其代入 2 2 23 4 12x y c，整理得 2 2 2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x c k x k c c 7 分 则 212 2843ckxx k ，1 2 1 2 26( 2 ) 43cky y k
18、x x c k ， 22243( , )4 3 4 3ck ckG kk 8 分 因为 GD AB ， 所以 222343 1443 Dckk kck xk ， 2243D ckx k 9 分 因为 GFD OED ， 所以 222222 2 212222243( ) ( )| 4 3 4 3 4 3| ()43c k c k c kS GD k k kckS O Dk 11 分 2 2 2 2 4 2 22 2 2 4 2( 3 ) ( 3 ) 9 9 999()c k c k c k c kc k c k k 13 分 所以 12SS 的取值范围是 (9, ) 14 分 （ 20） （本小
19、题共 13 分） 设 A 是由 n 个有序实数构成的一个数组，记作： 12( , , , , , )inA a a a a .其中 ia ( 1,2, , )in称为数组 A 的“元”， i 称为 ia 的下 标 . 如果数组 S 中的每个“元”都是来自 数组 A 中不同下 标的“元”， 则称 S 为 A 的子数组 . 定义两个数组 12( , , , )nA a a a ， 12( , , , )nB b b b 的关系数为1 1 2 2( , ) nnC A B a b a b a b . （） 若 11( , )22A ， ( 1,1,2,3)B ，设 S 是 B 的含有两个“元”的子数
20、组，求 ( , )CAS 的最大值； （） 若 333( , , )333A ， (0, , , )B a b c ，且 2 2 2 1abc， S 为 B 的含有三个“元”的子数组，求 ( , )CAS 的最大值 . （ 20） （共 13 分） 解： （） 依据题意，当 )3,1(S 时， ( , )CAS 取得最大值为 2 （） 当 0 是 S 中的“元”时，由于 A 的三个“元”都相等，及 B 中 cba, 三个“元”的对称性，可以只计算 3( , ) ( )3C A S a b的最大值，其中 1222 cba 由 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2a b a b a b a b a b c ， 得 22ab 当且仅当 0c ，且 22ab 时， ba 达到最大值 2 ， 于是 36( , ) ( )33C A S a b 当 0 不是 S 中的“元”时，计算 3( , ) ( )3C A S a b c 的最大值， 由于 1222 cba ， 所以 bcacabcbacba 222)( 2222 3)(3 222 cba ， 当且仅当 cba 时，等号成立 即当 33 cba 时， cba 取得最大值 3 ，此时 3( , ) ( ) 13C A S a b c 综上所述， ( , )CAS 的最大值为 1
