1、大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理1 / 69交通大学 2000 年保送生数学试题一、选择题(本题共 15 分，每小题 3 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1若今天是星期二，则 31998 天之后是 ( )A星期四 B星期三 C星期二 D星期一2用 13 个字母 A，A，A，C，E，H，I ，I，M，M，N，T，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN” 一词的概率是 ( )A B C D4813!2163!17283!813!3方程 cos2xsin2x+sinxm+1 有实数解，则实
2、数 m 的取值范围是 ( )A Bm 3 Cm 1 D m4若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x2+px+q0 的两个根，则此数列各项的积是( )Ap m Bp 2m Cq m Dq 2m5设 f (x0)2，则 ( )00()()lihfxfhA2 B2 C4 D4二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）1设 f(x)的原函数是 ，则 _1x0()fxd2设 ，则函数( 的最小值是_0,22221sincos)ix3方程 的解 x_68536xx4向量 在向量 上的投影 _2aij4bij()ba5函数 的单调增加区间是_3yx6两个等差数列 200，203，206
3、，和 50，54，58都有 100 项，它们共同的项的个数是_7方程 7x2(k+13)x+k2k20 的两根分别在区间(0,1) 和(1,2) 内，则 k 的取值范围是_8将 3 个相同的球放到 4 个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有 3 个盒子各放一个球”的概率是_三、证明与计算（本题 61 分）1(6 分) 已知正数列 a1，a 2，a n，且对大于 1 的 n 有 ， 123na 121na试证：a 1，a 2，a n 中至少有一个小于 12(10 分) 设 3 次多项式 f(x)满足：f (x+2)f (x)，f (0)1，f(3)
4、4，试求 f(x)大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理2 / 693(8 分) 求极限 12lim(0)ppnn4(10 分) 设 在 x0 处可导，且原点到 f(x)中直线的距离为 ，原点到 f(x)中2,()xbcflm 13曲线部分的最短距离为 3，试求 b，c，l ，m 的值(b,c 0)5(8 分) 证明不等式： ， 341sincos2x0,x6(8 分) 两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 若射手甲先射，谁先12命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率7(11 分) 如图所示，设曲线 上的点与 x 轴上的点顺次1y构成等腰
5、直角三角形 OB1A1， A1B2A2，直角顶点在曲线 上试求 An 的坐标表达式，并说明这些三角1yx形的面积之和是否存在OyxB1A2A1B2大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理3 / 69复旦大学 2000 年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题 10 分，共 60 分）1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第 n 组含 n 个数，即 1；2，3；4，5，6；令 an 为第 n 组数之和，则 an_2 _2sini()si()33 _222lm)log1log(logn4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于 6
6、0 度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成 60 度角，则两对角面面积之比为_5正实数 x,y 满足关系式 x2xy40，又若 x1，则 y 的最小值为_6一列火车长 500 米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台 1000 米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了_米二、解答题（每小题 15 分，共 90 分）1数列a n适合递推式 an+13a n+4，又 a11，求数列前 n 项和 Sn2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知
7、道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明3正六棱锥的高等于 h，相邻侧面的两面角等于 ，12arcsin(326)求该棱锥的体积( )1cos(6244设 z1,z2,z3,z4 是复平面上单位圆上的四点，若 z1+z2+z3+z4=0求证：这四个点组成一个矩形大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理4 / 695设 ，其中 xn,yn 为整数，求 n时， 的极限(12)2nnxy nxy6设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过 1问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点请证明你的结论大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理5 / 69
8、2000 年交大联读班试题1. 直线 关于 的对称直线为_。yaxbyx2. 已知 是 的三边， ， ，且满足 ，,cABC1abclogl2loglbccbbcbaa则 是_的三角形。3. 已知 ，则 _。871031xax 86420a4. 已知 满足： ，则 的最小正周期是_。ffffx5. 已知 是偶函数， 是奇函数，且 ，则fx2fx0198f_。206. 是 的三边，且 ，则,abcABC:4:56bcab_。sin:si7. 是十进制的数， 是 的各个数字之和，则使 成立的最小的 是fn20fnn_。8. _。7sini12cos9. 函数 的反函数是_。332211fxxxR1
9、0. 已知数列 （ 是不等于 1 的常数） ，则 _。nak123naa11. 从自然数 1 至 100 中任取 2 个相乘，其结果是 3 的倍数的情况有种_。 （取出的数不分先后）12. 己知 在 处可导，则 _。fx0200limhfxhfx13. 已知 为整数， 为非负整数， ，则整点 的个数为_。,ynyn,y14. 抛物线 上，点 坐标为 ，抛物线在 点的切线与 轴及直线 夹20xA1,03PyPA角相等，求点 P 的坐标。15. 在 中， ， ，求证： 求 。na1416na13nnalimna16. 已知 ， ，2uyxvy大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmarti
10、n 整理6 / 69若点 在单位圆上以 为起点按顺时针方向转一圈，求点 的轨迹；,xy0,1,uv若点 在直线 上运动，而点 在过点 的直线上运动，求 ， 的值。yaxb,uv1, ab17. 若 满足 ，求下列函数的最小值： ； ；,xy223120yxy。318. 若方程 有 3 个不同实根，求实数 的取值范围。270xmm19. 己知函数 满足 ，又 ，求函数 的解ffxyffyxy01ffx析式。20. 口袋中有 4 个白球，2 个黄球，一次摸 2 个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第 次两个黄球都被摸出，即第 次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概n1n率是 ，求 。P2
11、3,n大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理7 / 692001 复旦基地班数学试题1. 设函数 的反函数是它自身，则常数 _。xyaa2. 不等式 的解集是_。22loglogx3. 直线 与 间的距离是_。2780xy760y4. 如果 的展开式的系数和是 的展开式的系数和的 512 倍，那么自然数 与3n1m n的关系为_。m5. 椭圆 的焦距是_。42cos6. 己知 ，那么 的最小值为_。350xy2213xy7. 与正实轴夹角为 的直线的斜率记为 ，则 _。 （结果arsin3karctnk用数值表示）8. 从 个人中选出 名正式代表与若干名非正式代表，其
12、中非正式代表至少 1 名且名额不nm限，则共有_种选法 。mn9. 正方体 中， 与截面 所成的角为_。1ABCD1BC1D10. _。 （结果用数值表示）sec50ot11. 函数 的最小正周期是（ ）3sc2gxxA B C2 D1212. 设函数 的反函数为 ，则对于 内的所有 值，一定成立的是（ ff0,1x）A B C D1fxf1fxf1ff1fxf13. 除以 9 所得的余数是（ ）138A6 B C8 D114. 抛物线 的准线方程为（ ）24yxA B C D13x4x15. 由参数方程 所表示的曲线是（ ）tytA椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆大学自主招生数学试题 专供中学
13、试卷网 shcnmartin 整理8 / 6916. 己知抛物线 与 关于点 对称，则 的值为（ 25yx2yaxbc3,2abc）A1 B2 C3 D417. 作坐标平移，使原坐标下的点 ，在新坐标下为 ，则 在新坐标下的方,00,byfx程为（ ）A B C Dyfxabyfxafabf18. 设有四个命题：两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。 是平面 外的两条直线，且 ，则 是 的必要而不充分条件，其中真命题,ab/a/b/
14、的个数是（ ）A3 B2 C1 D019. 集合 各有四个元素， 有一个元素， ，集合 含有三个元素，且其中, ABCABC至少有一个 的元素，符合上述条件的集合 的个数是（ ）A55 B52 C34 D3520. 全面积为定值 （其中 ）的圆锥中，体积的最大值为（ ）2a0A B C D 331316a36a21. 已知： ， ，求 及 。sinacossincos22. 设复数 满足： ， ，其中 是虚数单位， 是非零实数，12,z12z13zaa求 。123. 已知椭圆 与抛物线 在第一象限内有两个公共点 ，线段 的21xay21yx,AB中点 M 在抛物线 上，求 。24xa24. 设
15、数列 满足 ， ， 其前 项乘积 ，证nb10nb2,3 n1nnTab,2明 是等比数列。求 中所有不同两项的乘积之和。25. 己知棱柱 的底面是等腰三角形， ，上底面的项点 在下底面的射1ABCABC1A大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理9 / 69影是 的外接圆圆心，设 ， ，棱柱的侧面积为 。ABCBCa13A23a证明:侧面 和 都是菱形， 是矩形。11求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。求棱柱的体积。26. 在直角坐标系中， 是原点， 是第一象限内的点，并且 在直线 上（其O,ABAtanyx中 ） ， ， 是双曲线 上使 的面积最小的点，,4212c
16、os21xyOB求：当 取 中什么值时， 的面积最大，最大值是多少?, AB大学自主招生数学试题 专供中学试卷网 shcnmartin 整理10 / 692001 年交大联读班数学试卷1. 数 的位数是_。1285N2. 求234342423logllogllogl0xyz_。xyz3. ， ，则用 表示 _。8lp3l5q,pql54. ， ，求 _。2sinicos2insicos25. ，求 的最小值为_。0,xifxx6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多 2 个小球，球数为_。7. 数列 中， ，求 _。1,32 21nna10ia8. 展开式中 系数为_。4x7x9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为 ，角的两边一边长 ，一边长 ，排版时把60 x9cm长 的那边错排成 长，但发现角和对边长度没变，则 _。110. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列 的概率为_。1d11. ，则 （ ）12abarctnrtab12. A B C D34613. 某人向正东走 ，再左转 朝新方向走了 ，结果离出发点 ，则 （ xkm1503km3kmx）A B C 3 D不确定3214. （ ）111262A B C D13213213213215. ， ，则（ ）0t,Sxytyt
