1、 辽宁省庄河市高级中学 2015-2016 学年高一下学期期末考试数学（理） 一、选择题：共 12 题 1 已知集合，那么集合的子集个数为 A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 B 【解析】本题主要考查集合的元素与子集、三角函数 .当 x是第一象限角时，当 x是第二或第三或第四象限角时，则 ,所以集合的子集个数为 4 个 . 2 关于函数，下列说法正确的是 A.为奇函数，值域为 B.为偶函数，值域为 C.为非奇非偶函数，值域为 D.为非奇非偶函数，值域为 【答案】 C 【解析】本题主要考查函数的性质、三角函数性质 .因为，所以函数是非奇非偶函数，又因为，所以，即值域为，故选 C. 3 平面
2、直角坐标系中，不等式组为常数 )表示的区域面积等于 3，则的值为 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查二元一次不等式组，考查了分类讨论思想与数形结合思想 . 当 a0 时，作出不等式组所表示的平面区域，如图 (1)所示，根据题意可得 ,则 a=5；当 a0,所以 恒成立； 恒成立； 恒成立 . 7 阅读如下程序框图 ,如果输出 i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是 _. A.S8 B.S9 C.S10 D.S11 【答案】 B 【解析】本题主要考查程序框图的概念、循环结构程序框图的应用 ,考查算法的基本思想 . 程序框图的运行过程为 : i=1,S=0i=1+1=2i
3、 不是奇数 S=22+1=5 符合条件 i=2+1=3i 是奇数S=23+2=8 符合条件 i=3+1=4i 不是奇数 S=24+1=9 不符合条件 输出 i=4 结束 .根据以上步骤 ,知应填入条件 S9. 【备注】【梳理总结】 1.算法是解决某一类问题的明确和有限的步骤 ,算法框图主要包括三部分 :(1)表示相应操作的框 ;(2)带箭头的流程线 ;(3)必要的文字说明 .读懂流程图要从这三个方面研究 ,流程线反映了流程执行的先后顺序 ,主要看箭头方向 ,文字说明表明了操作内容 .在求解时 ,我们可以对算法 的运行逐一验证 ,直至满足条件为止 . 2.解决循环结构框图问题 ,要先找出控制循环
4、的变量的初值、步长、终值 (或控制循环的条件 ),然后看循环体 ,循环次数比较少时 ,可依次列出 ,循环次数较多时 ,可先循环几次 ,找出规律 ,要特别注意最后输出的是什么 ,不要出现多一次或少一次循环的错误 . 8 函数的最大值是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查函数的性质与值域，考查了计算能力 .因为 =,所以，则的最大值是 . 9 已知， ()那么 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查诱导公 式与求值，考查了计算能力 .因为，所以 =. 10 已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本
5、题主要考查平面向量的数量积、基本定理、点到直线的距离公式，考查了化归与转化思想、逻辑思维能力 .因为 ,且 ,则 =,所以，要得到的最小值，只需要求出的最小值即可，当 PC与直线垂直时取得最小值，所以点 C(1,0)直线的距离为 ,所以的最小值是 . 11 已知 ,，则大小关系为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查指数与对数的运 算性质，考查了逻辑思维能力与计算能力 .因为 =,且=,所以 . 12 能够把圆 :的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的 “和谐函数 ”，下列函数中不是圆的和谐函数是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查自定义问
6、题、函数的性质、圆的性质，考查了逻辑思维能力 .由题意可知，圆的和谐函数一定是奇函数，且过原点，因此，不是圆的和谐函数是 cosx. 二、填空题：共 4 题 13 函数为奇函数，时，那么 . 【答案】 【解析】本题主要考查函数的性质、三角函数求值 .因为函数为奇 函数，时，所以 =. 14 已知，则的最大值为 。 【答案】 【解析】本题主要考查对数的运算性质、基本不等式，考查了计算能力 .因为，所以 ,则 ,当且仅当 x=y=时，的最大值为 . 15 锐角满足，则的取值范围为 。 【答案】 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、函数的性质，考查了逻辑思维能力与计算
7、能力 .由余弦定理可得 ,所以 (1),又 ,所以 (2),由，联立 (1)(2)可得 ,由正弦定理，化简可得 ,由题意可得 B=2A，由是锐角三角形可 得 ,则 =在 ()上是减函数，所以的取值范围为 . 16 已知 ,，且，则 。 【答案】 【解析】本题主要考查三角函数求值、函数的性质，考查了逻辑思维能力 .由可得 ,设函数 ,显然是奇函数，所以 x与 2y互为相反数，即 x+2y=0，所以 =. 三、解答题：共 6 题 17 已知向量 , (1)若为直角三角形，且为直角，求实数的值 (2)若点能构成三角形，求实数应满足的条件 【答案】 (1) , 即 ,. (2)若点能构成三角形，则不共
8、线 . . 实数应满足的条件是 . 【解析】 本题主要考查平面向量的基本定理与坐标运算、平面向量的共线定理与垂直的性质、平面向量的数量积 .(1)求出 ,，根据题意，即可求出结果； (2)由题意，不共线，易得，求解可得结果 . 18 已知函数。 (1)求在上的单调区间； (2)设 ,求的值 . 【答案】 (1)因为 =， 当，在上的单调增区间为，单调减区间为 . (2)因为即由于则 , 所以 . 又因为即，因为 , 所以，因为，所以， . 所以 =. 【解析】本题主要考查三角函数的性质、诱导公式、二倍角公式、两角和与差公式，考查了逻辑思维能力与计算能力 .(1)利 用诱导公式可得 =，再利用二
9、倍角公式即可求出 =，则易求单调性； (2)由可得角，由已知条件求出 ,又，利用两角和与差公式即可结果 . 19 在三棱锥中， ,，为的三等分点。 (1)求证：面面 ; (2)求： 【答案】 (1)取中点，连接和 ,因为，所以， 所以，又，所以， 在中ACPH,所以面 .又面，所以面面 . (2)中，则，高， 所以 . 【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了等价转化思想、逻辑思维能力与空间想象能力 .(1) 取中点，连接和 ,根据题意，易证，面，则结论 易证； (2)易知，则易求结果 . 20 在中，分别是角所对的边，且满足 . (1)求的值； (2)
10、若，求的面积 . 【答案】 (1)由正弦定理可得： . ，即 . ，故 . (2)由得 , 即 , 将代入得：， 解得或，根据得同正， 所以 , 又因为 ,所以， , 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差公式，考查了逻辑思维能力与计算能力 .(1)由正弦定理可得，即 ,再两角和与差公式，化简即可求出结果；(2)由 (1)的结论，结合，即可求出，由已知易得，则，则结果易得 . 21 已知圆，直线，且直线与圆交于两点 . (1)若，求直线的倾斜角； (2)若点满足，求此时直线的方程 . 【答案】 (1)由圆，得圆的半径，又， 故弦心距 . 再由点到直线的距离公式可得
11、 , ，解得 . 即直线的斜率等于，故直线的倾斜角等于或 . (2)设，由题意可得 ， ，即 . 再把直线方程代入圆， 化简可得， 由根与系数关系可得 ， 由 解得，故点的坐标为 . 把点的坐标代入圆的方程可得，即， 故直线的方程为或 . 【解析】本题主要考查点线圆的位置关系、点到直线的距离公式、直线方程、平面向量的共线定理，考查了方程 思想与计算能力 .(1)求出圆心到直线的距离，再由垂径定理即可求出结果； (2) 设，由可得，再把直线方程代入圆的方程，由韦达定理，求出点 A坐标，代入圆的方程，即可求出直线方程 . 22 函数满足： (1)， (2)在区间内有最大值无最小值， (3)在区间内
12、有最小值无最大值， (4)经过 . (1)求的解析式 ; (2)若，求值 ; (3)不等式的解集不为空集，求实数的范围 . 【答案】 (1)由条件 (1)(2)(3)可知，和为相邻对称轴，且在处取得最大值，在处取得最小值 ,所以得 . 由在处取得最大值得且 . 过，所以，解得 . 所以 . (2)因为，所以； . (3)(其中 ). ，所以，解得： . 【解析】本题主要考查三角函数的解析式、图像与性质，考查了分析问题与解决问题的能力 .(1)由可知，周期 T=，则，又和为相邻对称轴，又在区间内有最大值无最小值，在区间内有最小值无最大值，所以由在处取得最大值得且，再由图像经过点 M，求出 A，可得函数解析式； (2)利用诱导公式，结合，即可求出结果； (3)设，则原不等式可化为，求出的最大值，则易求结果 .
