1、北京安通学校 电话：69537323第 1 页 共 5 页 中国考试在线 http:/难点 1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.难点磁场() 已知集合 A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且 0x2,如果AB ,求实数 m 的取值范围 .案例探究例 1设 A=(x,y)|y2x 1=0,B =(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y )|y=kx+b,是否存在k
2、、bN,使得( AB)C= ，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(AB) C = 转化为 AC= 且 BC= ，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到 b、k 的范围，又因 b、kN ,进而可得值.解：(A B) C= ，A C= 且 BC= k 2x2+(2bk 1)x+b21=0y12AC
3、= 1=(2bk1) 24k 2(b21)0,即 b21 xyy054x 2+(22k)x +(5+2b)=0BC= , 2=(1k )24(52b)0,b0,当 AB 只有一个元素时，a,b 的关系式是_.三、解答题5.()集合 A=x|x2ax+a 219=0,B=x|log 2(x2 5x+8)=1，C =x|x2+2x8=0,求当 a 取什么实数时，AB 和 AC = 同时成立.6.()已知 an是等差数列，d 为公差且不为 0，a 1 和 d 均为实数，它的前 n项和记作 Sn,设集合 A=(an, )|nN *,B=(x,y)| x2y 2=1,x,yR.S41北京安通学校 电话：
4、69537323第 3 页 共 5 页 中国考试在线 http:/试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)AB 至多有一个元素；(3)当 a10 时，一定有 AB .7.() 已知集合 A=z|z2|2,zC ,集合 B=w|w= zi+b,bR,当 AB=B 时，21求 b 的值.8.() 设 f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff (x)=x.(1)求证：A B;(2)如果 A=1，3，求 B.参考答案难点磁场解：由 得 x2+(m1) x+1=0 )0(12yxmA
5、B 方程在区间0，2上至少有一个实数解.首先，由 =(m1) 240,得 m3 或 m1,当 m3 时，由 x1+x2=( m1)0 及x1x2=10 知，方程 只有负根，不符合要求.当 m1 时，由 x1+x2=(m1)0 及 x1x2=10 知，方程 只有正根，且必有一根在区间(0， 1内，从而方程 至少有一个根在区间0，2内 .故所求 m 的取值范围是 m1.歼灭难点训练一、1.解析：对 M 将 k 分成两类：k=2n 或 k=2n+1(nZ),M =x|x=n + ,nZ x|x=4n + ,nZ, 对 N 将 k 分成四类， k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n
6、Z ),43N=x|x=n + ,nZx |x=n + ,nZ x|x=n + ,nZ x|x=n + ,nZ.243 45答案：C2.解析：AB=A，B A,又 B , 即 2m4.172答案：D二、3.a=0 或 a 894.解析：由 AB 只有 1 个交点知，圆 x2+y2=1 与直线 =1 相切，则 1= ,byax2ba即 ab= .2ba北京安通学校 电话：69537323第 4 页 共 5 页 中国考试在线 http:/答案：ab= 2ba三、5.解：log 2(x25x +8)=1,由此得 x25x+8=2，B=2,3.由x2+2x8=0，C=2,4,又 AC= ，2 和4 都
7、不是关于 x 的方程 x2ax+a 219=0的解，而 AB ,即 AB ,3 是关于 x 的方程 x2ax +a219=0 的解，可得 a=5 或 a=2.当 a=5 时，得 A=2，3，AC =2，这与 AC = 不符合，所以 a=5(舍去)；当a= 2 时，可以求得 A=3，5 ，符合 AC = ，AB ，a=2.6.解：(1)正确.在等差数列a n中，S n= ,则 (a1+an),这表明点( an, ）2)(1n2SS的坐标适合方程 y (x+a1),于是点( an, )均在直线 y= x+ a1 上.2(2)正确.设(x,y)AB,则(x ,y)中的坐标 x,y 应是方程组 的解，
8、由方程组142yx消去 y 得：2a 1x+a12=4( *)，当 a1=0 时，方程( *)无解，此时 AB= ；当 a10 时，方程(*)只有一个解 x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一141214ay解.AB 至多有一个元素.(3）不正确.取 a1=1,d=1,对一切的 xN *,有 an=a1+(n1) d=n0, 0,这时集合 A 中的S元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于 a1=10.如果 AB ,那么据(2）的结论，AB 中至多有一个元素( x0,y0）,而 x0= 0,y 0= 0,52414301xa这样的( x0,y0） A,产生矛盾，故 a1
9、=1,d=1 时 AB= ，所以 a10 时，一定有 AB是不正确的.7.解：由 w= zi+b 得 z= ,21ib2zA,|z2|2,代入得| 2|2,化简得| w(b+i)|1.w集合 A、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合 A 表示以点(2，0）为圆心，半径为 2 的圆面，集合 B 表示以点(b,1) 为圆心，半径为 1 的圆面.又 AB=B，即 B A，两圆内含.因此 21,即(b2) 20，b=2.2)01()(b8.(1)证明：设 x0 是集合 A 中的任一元素，即有 x0A.A=x|x=f( x),x 0=f(x0).即有 ff(x 0)= f(x0)=x0,x 0B,故 A B.北京安通学校 电话：69537323第 5 页 共 5 页 中国考试在线 http:/(2)证明：A= 1,3= x|x2+px+q=x,方程 x2+(p1) x+q=0 有两根 1 和 3，应用韦达定理，得3)1(),(f(x)=x 2x3.于是集合 B 的元素是方程 ff(x)=x,也即( x2x3) 2(x 2x3) 3=x( *)的根.将方程( *)变形，得( x2x 3） 2x 2=0解得 x=1,3, , .故 B= ，1， ，3.3
