1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高考文科数学 第 四 次 模拟 考试 数学试卷 （ 文 ） 命题人 ： 高三数学组 考试 时间 ： 2009.5 第 卷 （选择题 共 60 分） 一 、选择题 ： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 设集合 2| 1 | 1 , 0A x x x B x x x ，则 AB 等于 （ ） .A 1,0 .B ( 1,0) .C 1,0 .D 1,0 2若曲线 4yx 的一条切线 l 的斜率为 4 ，则切线 l 的方程是 （ ） .A 4 3 0xy .B 4 5 0x
2、y .C 4 3 0xy .D 4 3 0xy 3已知三条不重合的直线 ,mnl ，两个不重合的平面 ,，有下列命题 /mn， n /m ； l ， m ， /lm /； , , / , /m n m n /； ， m ， n ， nm n . 其中正确的命题个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 4从圆 222 2 1 0x x y y 外一点 3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） .A 0 .B 12 .C 35 .D 32 5 若关于 x 的不等式 xk )1( 2 4k 4 的解集是 M ，则对任意实常数 k ，总有（ ） .A 2 ,0MM .B
3、 2 ,0MM .C 2 ,0MM .D 2 ,0MM 6已知 22 ，且 sin cos a，其中 (0,1)a ，则 tan 的值有可能是（ ） .A 3 .B 3 或 13 .C 13 或 12 .D 3 或 13 7设 P 为 ABC 所在平面内一点，且 025 ACABAP ，则 PAB 的面积与 ABC 的面积之比为 （ ） .A 15 .B 25 .C 14 .D 53 8 二项式 1012 xx展开式中，所有有理项（不含 x 的项）的系数之和为 （ ） .A 10312 .B 10312 .C 102 .D 92 9 , , , ,A B C D E 五人争夺某项比赛的前三名，
4、组织者对前三名发给不同的奖品，若 A 获奖，B 不是第一名，则不同的发奖方式共有 （ ） .A 72 种 .B 30 种 .C 24 种 .D 14 种 10 数列 na 满足： 1 1a ，221114nnaa ， 2 2 2 21 2 3 ,nnS a a a a 若21 30nnmSS 对于任意 nN 都成立，则正整数 m 的最小值为 ( ) .A 10 .B 9 .C 8 .D 7 11 在直角坐标系 xOy 中，过双曲线 )0,0(12222 babyax 的左焦点 F 作圆222 ayx 的一条切线（切点为 T ）交双曲线右支于点 P ，若 M 为 FP 的中点。则OM MT 等于
5、（ ） .A 2ba .B ab .C ba .D ab 12若实数 ,xy满足 22( 1 ) ( 1 ) 1x x y y ，则 （ ） .A 0xy .B 0xy .C 0xy .D 0xy 第卷 （非选择题 共 90 分） 二、填 空题 ： 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在题中横线上 . 13将函数 sin2yx 按向量 ( , 3)6a 平移后得到的函数表达式是 ； 14 已知点 A， B， C， D 在同一球面上， AB 平面 BCD ， BC CD ，若 6AB ，2 13AC ， 8AD ， 则 B、 C 两点间的球面距离是 ； 15 如果点 (1
6、,1) 在不等式组 02 4 033m nx ymx nynx y m 所表示的平面区域内 ，则 22mn 的 取值范围是 ； 16 已知函数 ()y f x 与 ( 0, 1)xy a a a 的图象关于直线 yx 对称， 设 2( ) ( ) ( 2 ) 1 ( )g x f x f f x ，若 ()y g x 在区间 1,22上是增函数，则实数 a 的取值范围是 三、解答题 ： 本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本题满分 12 分 ） 已知四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 SC 的中点 E 在底面内的射影恰好是
7、正方形 ABCD 的中心 O ，顶点 A 在截面 SBD 内的射影恰好是 SBD 的重心 G （ 1）求直线 SO 与底面 ABCD 所成角的正切值； （ 2）设 ABa ，求此四棱锥过点 ,CDG, 的截面面积 A B C D S O G E 18 （本题满分 12 分 ） 某工厂由于工作失误，未贴标签前，把 3 箱含“三聚氰胺”的问题牛奶与合格的 3 箱牛 奶混到了一起。对这 6 箱牛奶逐箱进行检测，到确定出 3 箱问题奶粉为止。 （ 1）求通过 3 次检测，就可以把 3 箱含“三聚氰胺”的牛 奶全部筛选出来的概率； （ 2）求最多通过 4 次检测，就可以把 3 箱含“三聚氰胺”的牛奶全部
8、筛选很出来的概率。 19 （本题满分 12 分 ） 在锐角 ABC 中，已知 060B ，且 A B C ， (1 c o s 2 ) (1 c o s 2 )AC 312 . （ 1）求角 A 与 C 的大小； （ 2） PQ 是以 B 为圆心， 2 为半径的圆的直径，已知 6AC ，求 APCQ 的最大值 . 20 （本题满分 12 分 ） 已知函数 321( ) ( ) ( 2 )3f x a x a d x a d x d ， 2( ) 2 ( 2 ) 4g x a x a d x a d ，其中0a ， 0d ，设 0x 为 ()fx的极小值点， 1x 为 ()gx 的极值点， 23
9、( ) ( ) 0g x g x，并且 23xx ，将点 00( , ( )x f x ， 11( , ( )x g x ， 2( ,0)x ， 3( ,0)x 依次记为 , , ,ABC D （ 1）求 0x 的值； （ 2）若四边形 APCD 为梯形且面积为 1，求 ad， 的值 21 （本题满分 12 分 ） 已 知椭圆 1C 的方程为 2 2 14x y，双曲线 2C 的左、右焦点分别为 1C 的左、右顶点，而 2C 的左、右顶点分别是 1C 的左、右焦点 （ 1）求双曲线 2C 的方程； （ 2）若直线 :2l y kx 与椭圆 1C 及双曲线 2C 都恒有两个不同的交点，且 l 与
10、 2C 的两个交点 A 和 B 满足 6OA OB(其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围 22 （本题满分 14 分 ） 数列 na 的通项是关于 x 的不等式 2 ()x x n x n N 的解集中整数的个数， 1 1 1() 12n n nfn a a a n （ 1）求数列 na 的通项公式； (2) 若 2nn nab，求 12 nb b b 的和 nS ； (3) 求证：对 2n 且 nN 恒有 7 ( ) 112 fn HGF EOABCDS抚州一中 2009 届高三 第 四 次 模拟 考试 数学 参考答案（ 文 ） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11、 11 12 答案 B A B D D C A A B A C D 二、填空题 13. sin(2 ) 33yx ； 14.43 ； 15. 9,6110； 16. 10,2 . 三、解答题 7（ 1） OE 、 分 别 是 、 的 中 点 ， 面 S O A S O 是 与 面 所 成 的 角 , SA AB,AD两两相互垂直 , 连结 DG 并延 长交 SB 于 F S O S B D G SO是 的 中 线 ， 点 在 上 D F SBSB 面 FAD面 SDBAD 面 SAB AD SBAG AG SB同理可得 , B G S DS O B D G S B D是 的 垂 心 S B D
12、 又 是 等 边 三 角 形 SA AB AD tan 2SO A - (6 分 ) （ 2） G 是 SBD 的重心 , F 是 SB 的中点 C D A B C D S A B C D G S A B F H 面 过 的 平 面 交 面 于 C D S A D C D H F面 四 边 形 是 直 角 梯 形 梯形的高 221542D H a a a 25 3 52 2 2 8C D H Fa aS a a 梯 形 - (12 分 ) 【注】可以用空间向量的方法 18 解： （ 1）设 通过 3 次检测，就可以把 3 箱 含“ 三聚氰胺 ”的牛奶全部筛选出来的事件为 A 1 分 P（ A）
13、 = 33362 110AA 5 分 所以通过 3 次检测，就可以把 3 箱 含“ 三聚氰胺 ”的牛奶全部筛选出来的概率为 110 .6 分 （ 2）设最多通过 4 次检测，就可以把 3 箱 含“ 三聚氰胺 ”的牛奶全部筛选出来的事件为 B 7 分 P（ B） = 3 1 1 33 3 3 3346622 25A C C AAA11 分 所以最多通过 4次检测，就可以把 3箱 含“ 三聚氰胺 ”的牛奶全 部筛选出来的概率为 25 . 12 分 19 （ 1） 3 1 3 1( 1 c o s 2 ) ( 1 c o s 2 ) c o s c o s24A C A C . 又 1c o s c
14、 o s ( ) s i n s i n c o s c o s 2B A C A C A C 31sin sin 4AC . 3 1 3 1 3c o s ( ) 2 4 2CA 0 0 03 0 7 5 , 4 5C A C A . 6 分 （ 2） ( ) ( )( ) 22A P CQ A B B P CB B QA B CB A B B Q B P CB B P B QA B CB B P CB B AA B CB B P CA 又006 2 2 3 1sin 7 5 sin 6 0AB AB ， 006 2 2 2sin 4 5 sin 6 0AB BC .从而 c o s 231
15、A P C Q A B C B B B P C AB P C A 当 /BP CA 且同向时， m a x 2 6 3 1 3 3 1A P C Q . 12 分 A B C P Q 20.解： (1) 2( ) 2 ( ) 2 ( 1 ) ( 2 )f x a x a d x a d x a x a d , 令 ( ) 0fx ，由 0a 得 1x 或 21 dx a . 0, 0ad. 211da . 当 211d xa 时， ( ) 0fx ，当 1x 时 , ( ) 0fx ,所以 ( ) 1f x x在 处取极小值，即01.x 4 分 （ 2） 2( ) ( 2 4 ) 4g x a
16、 x a d x a d 0, ,a x R 2 4 2( ) 12a d dg x x aa 在 处取得极小值，即 1 21.dx a 由( ) 0,gx 即 ( 4 )( 1) 0 ,a x a d x 210 , 0 , ,a d x x 2141 , 1,dxxa 0 11( ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ,33f x f a a d a d d a 220 2 2 2 4( ) ( 1 ( 1 ) ( 2 4 ) ( 1 ) 4 ,d d d dg x g a a d a da a a a 21 2 4 4( 1 , ) , ( 1 , ) , ( 1 , 0 ) , ( 1
17、, 0 ) .3 d d dA a B C Da a a 由四边形 ABCD 是梯形及 BC 与 AD 不平行，得 /AB CD .有 24 ,3ada 即 2212 .ad 由四边形 ABCD 的面积为 1，得 1 ( ) 1,2 A B C D A D 即 1 4 2( ) 1,23d d aaa 得 1d ，从而 2a 得2 3.a 12 分 21 （ 1）设双曲线 C2 的方程为 22xyab= 1，则 a2 = 4 1 = 3，再由 a2 + b2 = c2 得 b2 = 1故C2 的方程为 223x y= 1 （ 5 分） （ 2）将 y = kx + 2 代入 2 2 14x y
18、得 (1 + 4k2)x2 + 8 2 kx + 4 = 0，由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得 1(8 2 )2k2 16 (1 + 4k2) = 16(4k2 1) 0，即 k2 14 (7 分 ) 将 y = kx + 2 代入 22 13x y得 (1 3k2)x2 6 2 kx 9 = 0由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A、 B 得 22 2 221 3 0 ,( 6 2 ) 3 6 (1 3 ) 3 6 (1 ) 0k k k k 即 k 13且 k2 1（ 9 分） 设 A (xA， yA)， B (xB， yB)，则 xA + xB = 26213kk
19、， xA， xB = 2913k，由 6OAOB 得 xA xB + yA yB 6，而 xA xB + yA yB = xA xB + (kxA + 2 ) (kxb + 2 )= (k2 + 1) xA xB + 2 k (xA + xB) + 2 = (k2 + 1) 22 2 29 6 2 3 7221 3 1 3 3 1kkkk k k ，于是 223731kk 6，即将2215 13 031kk 解 此 不 等 式 得2 1315k 或2 13k （ 11 分） 由 、 、得221 1 1 3 14 3 1 5kk 或， 故 k 的取值范围为 1 3 3 1 1 3( 1 , )
20、( , ) ( , )1 5 3 2 2 3 13( 1)15 （ 12 分） 22 （ 1） nan （） 2nn nab 12 231 2 32 2 2 2nn nnS b b b ， 则2 3 1 11 1 1 1 1 1122 2 2 2 2 2 2n n n n nnnS ， 112 22n nnnS （） 1 1 1 1 1 1()1 2 1 2 2n n nfn a a a n n n n 1 1 1 1nn n n 项， 即 ( ) 1fn 又由于 1 1 1 1 1 1( ) ( 2 )1 2 1 2 2n n nf n na a a n n n n ， 则 1 1 1 1 1( 1 )2 3 2 2 1 2 2fn n n n n n ， 两式相减得 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) 02 1 2 2 1 2 2 2 2 1f n f n n n n n n n ， ( 1) ( )f n f n ， ()fn 当 2n 且 nN 时是增函数， ()fn 的最小值是 7(2) 12f ， 由得： 7 ( ) 112 fn成立
