1、 2015-2016 学年江苏省盐城市东台市创新学校高一（下）第二次月考数学试卷 一填空题（共 14 小题） 1直线 x y+3=0 的倾斜角为 2过点（ 1， 2）且倾斜角为 45的直线方程是 3已知直线 y=2x+b 过点（ 1， 2），则 b= 4若直线经过点 A（ 2， 3）、 B（ 1， 4），则直线的斜截式方程为 5已知直线 l 过点 P（ 3， 2）与点 Q（ 1， 4），则直线 l 的直线方程是 6过点 A（ 2， 1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 7点 M（ 2， 1）关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标是 8直线 l 过点（ 1， 1），且与圆（ x 2） 2
2、+（ y 2） 2=8 相交于 A， B 两点，则弦 AB 最短时直线 l 的方程为 9若直线 l 过点（ 1， 1），且与直线 l： x+2y 3=0 垂直，则直线 l 的方程为 10已知 ABC 的三个顶点分别为 A（ 1， 2）， B（ 4， 1）， C（ 3， 6），则 AC 边上的中线BM 所在直线的方程为 11直线 l 与直线 3x y+2=0 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为 12已知直线 y=kx（ k 0）与圆 C：（ x 2） 2+y2=1 相交于 A， B 两点，若 AB= 则k= 13若直线 l1： y=x+a 和直线 l2： y=x+b 将圆（ x 1） 2+（
3、 y 2） 2=8 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= 14如果圆（ x a） 2+（ y a） 2=8 上总存在两个点到原点的距离为 ，则实数 a 的取值范围是 二解答题（共 6 小题） 15如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABC= ACD=90， BAC= CAD=60， PA 平面ABCD， E 为 PD 的中点， AB=1， PA=2 （ ）证明：直线 CE 平面 PAB； （ ）求三棱锥 E PAC 的体积 16如图，已知斜三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB=AC， D 为 BC 的中点 （ 1）若平面 ABC 平面 BCC1B1，求证： AD DC1； （ 2）求证：
4、 A1B 平面 ADC1 17已知直线 l1 的方程为 3x+4y 12=0 （ 1）若直线 l2 与 l1 平行，且过点（ 1， 3），求直线 l2的方程； （ 2）若直线 l2 与 l1 垂直，且 l2 与两坐标轴围成的三角形面积为 4，求直线 l2 的方程 18（ I）求两条平行直线 3x+4y 12=0 与 mx+8y+6=0 之间的距离； （ ）求两条垂直直线 2x+y+2=0 与 nx+4y 2=0 的交点坐标 19在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆与直线 x y 4=0 相切 （ ）求圆 O 的方程； （ ）若已知点 P（ 3， 2），过点 P 作圆 O 的切线，求
5、切线的方程 20已知点 P 为圆 C1：（ x 3） 2+（ y 4） 2=4 上的动点 （ 1）若点 Q 为直线 l： x+y 1=0 上动点，求 |PQ|的最小值与最大值； （ 2）若 M 为圆 C2：（ x+1） 2+（ y 1） 2=4 上动点，求 |PM|的最大值和最小值 2015-2016 学年江苏省盐城市东台市创新学校高一（下）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一填空题（共 14 小题） 1直线 x y+3=0 的倾斜角为 45 【考点】 直 线的倾斜角 【分析】 求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角 【解答】 解：直线 x y+3=0 的斜率为 1；所以直线的倾斜角为 4
6、5 故答案为 45 2过点（ 1， 2）且倾斜角为 45的直线方程是 x y+3=0 【考点】 直线的点斜式方程 【分析】 由直线的倾斜角求出斜率，直接代入点斜式方程得答案 【解答】 解：由直线的倾斜角为 45，得其斜率为 k=tan45=1 又过点（ 1， 2）， 方程为 y 2=1（ x+1）， 即 x y+3=0 故答案为 x y+3=0 3已知直线 y=2x+b 过 点（ 1， 2），则 b= 0 【考点】 直线的斜截式方程 【分析】 将（ 1， 2）代入 y=2x+b，解出即可 【解答】 解：将（ 1， 2）代入 y=2x+b， 得： 2=2+b， 解得： b=0， 故答案为： 0
7、4若直线经过点 A（ 2， 3）、 B（ 1， 4），则直线的斜截式方程为 y= 7x+11 【考点】 直线的斜截式方程 【分析】 求出斜率，可得点斜式，化为斜截式即可 【解答】 解：直线的斜率 k= = 7 点斜式为： y 4= 7（ x 1）， 化为 y= 7x+11 故答案为： y= 7x+11 5已知直线 l 过点 P（ 3， 2）与点 Q（ 1， 4），则直线 l 的直线方程是 x+y 5=0 【考点】 直线的两点式方程 【分析】 根据直线的两点式方程求出方程即可 【解答】 解：代入两点式方程得： = ，整理得： x+y 5=0， 故答案为： x+y 5=0 6过点 A（ 2， 1）
8、，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 x 2y=0，或 x+y 3=0 【考点】 直线的截距式方程 【分析】 当直线过原点时，用点斜式求得直线方程当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点 A（ 2， 1）代入直线的方程可得 k 值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论 【解答】 解：当直线过原点时，方程为 y= x，即 x 2y=0 当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y=k，把点 A（ 2， 1）代入直线的方程可得 k=3， 故直线方程是 x+y 3=0 综上，所求的直线方程为 x 2y=0，或 x+y 3=0， 故答案为 x 2y=0，或 x+y 3=0 7点 M（ 2， 1）
9、关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标是 （ 2， 3） 【考点】 中点坐标公式；点到直线的距离公式 【分析】 设所求对称点的坐标为（ a， b），由对称关系可得 a 和 b 的方程组，解方程组可得 【解答】 解：设所求对称点的坐标为（ a， b）， 则由对称关系可得 ， 解方程组可得 ，即对称点为（ 2， 3） 故答案为：（ 2， 3） 8直线 l 过点（ 1， 1），且与圆（ x 2） 2+（ y 2） 2=8 相交于 A， B 两点，则弦 AB 最短时直线 l 的方程为 x+y 2=0 【考点】 直线的一般式方程；直线与圆相交的性质 【分析】 由题意得，点在圆的内部，故当弦 AB 和点
10、（ 1， 1）与圆心（ 2， 2）的连线垂直时，弦 AB 最短， 由点斜式求得弦 AB 所在的直线的方程，再化为一般式 【解答】 解：因为点（ 1， 1）到圆心（ 2， 2）的距离等于 ，小于半径，故此点在圆（ x 2） 2+（ y 2） 2=8 的内部， 故当弦 AB 和点（ 1， 1）与圆心 （ 2， 2）的连线垂直时，弦 AB 最短 弦 AB 的斜率为 = 1，由点斜式求得弦 AB 所在的直线的方程为 y 1= 1（ x 1）， 即 x+y 2=0， 故答案为： x+y 2=0 9若直线 l 过点（ 1， 1），且与直线 l： x+2y 3=0 垂直，则直线 l 的方程为 y=2x 1
11、【考点】 直线的一般式方程与直线的性质 【分析】 由于直线 l 与直线 l： x+2y 3=0 垂直，可设 l 的方程为： 2x y+m=0，把点（ 1，1）代入方程即可解出 【解答】 解： 直线 l 与直线 l： x+2y 3=0 垂直， 可设 l 的方程为： 2x y+m=0， 把点（ 1， 1）代入方程可得： 21 1+m=0，解得 m= 1 直线 l 的方程为 y=2x 1 故答案为： y=2x 1 10已知 ABC 的三个顶点分别为 A（ 1， 2）， B（ 4， 1）， C（ 3， 6），则 AC 边上的中线BM 所在直线的方程为 3x 2y+2=0 【考点】 待定系数法求直线方程
12、 【分析】 由 AC 的中点 M（ 2， 4），利用两点式方程能求出 AC 边上的中线所在的直线方程 【解答】 解： AC 的中点 M（ 2， 4）， AC 边上 的中线 BM 所在的直线方程为： = ， 整理，得 3x 2y+2=0， 故答案为： 3x 2y+2=0 11直线 l 与直线 3x y+2=0 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为 3x+y 2=0 【考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程 【分析】 由题意求出直线 l 的斜率，再求出直线 3x y+2=0 所过的定点，由直线方程的斜截式得答案 【解答】 解：由题意可知，直线 l 的斜率与直线 3x y+2=0 斜率互为相 反
13、数， 3x y+2=0 的斜率为 3， 直线 l 的斜率为 3， 又直线 3x y+2=0 过点（ 0， 2）， 直线 l 的方程为 y= 3x+2，即 3x+y 2=0 故答案为： 3x+y 2=0 12已知直线 y=kx（ k 0）与圆 C：（ x 2） 2+y2=1 相交于 A， B 两点，若 AB= 则 k= 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 求出圆心到直线 的距离 d= ，利用勾股定理，建立方程，即可求出 k 【解答】 解：圆心到直线的距离 d= ， AB= ， （ ） 2+（ ） 2=1， k= ， k 0， k= 故答案为： 13若直线 l1： y=x+a 和直线 l2：
14、y=x+b 将圆（ x 1） 2+（ y 2） 2=8 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= 18 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据直线将圆分成长度相等的四段弧，转化为圆心 C 到直线 l1： y=x+a 或 l2： y=x+b的距离相等，且为 2，利用点到直线的距离公式进行求解即可 【解答】 解： 直线 l1： y=x+a 和直线 l2： y=x+b 为平行线， 若直线 l1： y=x+a 和直线 l2： y=x+b 将圆（ x 1） 2+（ y 2） 2=8 分成长度相等的四段弧， 则圆心为 C（ 1， 2），半径为 =2 ， 则圆心 C 到直线 l1： y=x+a 或 l2
15、： y=x+b 的距离相等，且为 2， 即 d= = =2， 即 |a 1|=2 ， 则 a=2 +1 或 a=1 2 ， 即 a=2 +1， b=1 2 或 b=2 +1， a=1 2 ， 则 a2+b2=（ 2 +1） 2+（ 1 2 ） 2=9+4 +9 4 =18， 故答案为： 18 14如果圆（ x a） 2+（ y a） 2=8 上总存在两个点到原点的距离为 ，则实数 a 的取值范围是 （ 3， 1） （ 1， 3） 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由已知得圆上点到原点距离 d= ，从而 |d r| | a|或 d+r | a|，由此能求出实数 a 的取值范围 【解答】 解
16、：圆心（ a， a）到原点的距离为 | a|，半径 r=2 ， 圆上点到原点距离为 d， 圆（ x a） 2+（ y a） 2=8 上总存在两个点到原点的距离为根号 ， d= ， |d r| | a|或 d+r | a| | | |a| ，即 1 |a| 3， 解得 1 a 3 或 3 a 1 实数 a 的取值范围是（ 3， 1） （ 1， 3） 故答案为 ：（ 3， 1） （ 1， 3） 二解答题（共 6 小题） 15如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABC= ACD=90， BAC= CAD=60， PA 平面ABCD， E 为 PD 的中点， AB=1， PA=2 （ ）证明：直线 C
17、E 平面 PAB； （ ）求三棱锥 E PAC 的体积 【考点】 平面与平面平行的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 AD 中点 F，连接 EF、 CF，利用三角形中位线，得出 EF PA，从而 EF平面 PAB在平面四边形 ABCD 中，通过内错角相等，证出 CF AB，从而 CF 平面 PAB最后结合面面平行的判定定理，得到平面 CEF 平面 PAB，所以 CE 平面 PAB； （ 2）由 PA 平面 ABCD 且 AC CD，证出 CD 平面 PAC，从而平面 DPC 平面 PAC过E 点作 EH PC 于 H，由面面垂直的性质定理，得 EH 平面
18、PAC，因此 EH CD，得 EH是 PCD 的中位线，从而得到 EH= CD= ，最后求出 Rt PAC 的面积，根据锥体体积公式算出三棱锥 E PAC 的体积 【解答】 解：（ 1）取 AD 中点 F，连接 EF、 CF PAD 中， EF 是中位线，可得 EF PA EF平面 PAB， PA平面 PAB， EF 平面 PAB Rt ABC 中， AB=1， BAC=60， AC= =2 又 Rt ACD 中， CAD=60， AD=4，结合 F 为 AD 中点，得 ACF 是等边三角形 ACF= BAC=60，可得 CF AB CF平面 PAB， AB平面 PAB， CF 平面 PAB
19、EF、 CF 是平面 CEF 内的相交直线， 平面 CEF 平面 PAB CE面 CEF， CE 平面 PAB （ 2） PA 平面 ABCD， CD平面 ABCD， PA CD 又 AC CD， PA、 AC 是平面 PAC 内的相交直线 CD 平面 PAC CD平面 DPC， 平面 DPC 平面 PAC 过 E 点作 EH PC 于 H，由面面垂直的性质定理，得 EH 平面 PAC EH CD Rt ACD 中， AC=2， AD=4， ACD=90，所以 CD= =2 E 是 CD 中点， EH CD， EH= CD= PA AC， SRt PAC= =2 因此，三棱锥 E PAC 的体
20、积 V= S PACEH= 16如图，已知斜三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB=AC， D 为 BC 的中点 （ 1）若平面 ABC 平面 BCC1B1，求证： AD DC1； （ 2）求证： A1B 平面 ADC1 【考点】 平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）由 D 为等腰三角形底边 BC 的中点，利用等腰三角形的性质可得 AD BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出 （ 2）证法一：连接 A1C，交 AC1于点 O，再连接 OD，利用三角形的中位线定理，即可证得 A1B OD，进 而再利用线面平行的判定定理证得 证法二：取 B1C1 的中点 D1，连接 A
21、1D1， DD1， D1B，可得四边形 BDC1D1 及 D1A1AD是平行四边形进而可得平面 A1BD1 平面 ADC1再利用线面平行的判定定理即可证得结论 【解答】 （本小题满分 14 分） 证明：（ 1）因为 AB=AC， D 为 BC 的中点，所以 AD BC 因为平面 ABC 平面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1=BC， AD平面 ABC， 所以 AD 平面 BCC1B1 因为 DC1平面 BCC1B1，所以 AD DC1 （ 2）（证法一） 连接 A1C，交 AC1 于点 O，连接 OD，则 O 为 A1C 的中点 因为 D 为 BC 的中点，所以 OD A1B 因为
22、 OD平面 ADC1， A1B平面 ADC1， 所以 A1B 平面 ADC1 （证法二） 取 B1C1 的中点 D1，连接 A1D1， DD1， D1B则 D1C1 BD 所以四边形 BDC1D1是平行四边形所以 D1B C1D 因为 C1D平面 ADC1， D1B平面 ADC1， 所以 D1B 平面 ADC1 同理可证 A1D1 平面 ADC1 因为 A1D1平面 A1BD1， D1B平面 A1BD1， A1D1D1B=D1， 所以平面 A1BD1 平面 ADC1 因为 A1B平面 A1BD1，所以 A1B 平面 ADC1 17已知直线 l1 的方程为 3x+4y 12=0 （ 1）若直线
23、l2 与 l1 平行，且过点（ 1， 3），求直线 l2的方程； （ 2）若直线 l2 与 l1 垂直，且 l2 与两坐标轴围成的三角形面积为 4，求直线 l2 的方程 【考点】 两条直线垂直的判定；直线的一般式方程 【分析】 利用平行直线系方程特点设出方程，结合条件，用待定系数法求出待定系数 【解答】 解：（ 1）由直线 l2与 l1平行，可设 l2 的方程为 3x+4y+m=0，以 x= 1， y=3 代入，得 3+12+m=0，即得 m= 9， 直线 l2 的方程为 3x+4y 9=0 （ 2）由直线 l2 与 l1 垂直，可设 l2的方程为 4x 3y+n=0， 令 y=0，得 x=
24、，令 x=0，得 y= ， 故三角形面积 S= | | |=4 得 n2=96，即 n=4 直线 l2 的方程是 4x 3y+4 =0 或 4x 3y 4 =0 18（ I）求两条平行直线 3x+4y 12=0 与 mx+8y+6=0 之间的距离； （ ）求两条垂直直线 2x+y+2=0 与 nx+4y 2=0 的交点坐标 【考点】 两条平行直线间的距离；两条直线的交点坐标 【分析】 （ I）先利用平行条 件求出 m，再由平行线的距离公式，可得结论； （ ）由 2x+y+2=0 与 nx+4y 2=0 垂直，得 n 的值，再联立方程组成方程组，求出交点坐标 【解答】 解：（ I）由平行知斜率相
25、等，得 m=6， mx+8y+6=0 为 3x+4y+3=0； 再由平行线的距离公式，可得 d= =3 （ ）由 2x+y+2=0 与 nx+4y 2=0 垂直，得 2n+4=0， n= 2， nx+4y 2=0 为 x 2y+1=0； 由 得 ， 交点为（ 1， 0） 19在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆与直线 x y 4=0 相切 （ ）求圆 O 的方程； （ ）若已知点 P（ 3， 2），过点 P 作圆 O 的切线，求切线的方程 【考点】 直线与圆相交的性质；圆的切线方程 【分析】 （ ）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径 r 的值，可得所求的圆的方程 （ ）由题意可得
26、点 P 在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径 ，求得斜率 k 的值，可得所求切线方程 【解答】 解：（ ）设圆的方程为 x2+y2=r2，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故 r=2， 圆的方程是 x2+y2=4 （ ） |OP|= = 2， 点 P 在圆外 显然，斜率不存在时，直线与圆相离 故可设所求切线方程为 y 2=k（ x 3），即 kx y+2 3k=0 又圆心为 O（ 0， 0），半径 r=2， 而圆心到切线的距离 d= =2，即 |3k 2|=2 ， k= 或 k=0，故所求切线方程为 12x 5y 26=0 或 y 2=0 20已知点 P 为圆 C1：（ x 3） 2+（ y 4） 2=4 上的动点 （ 1）若点 Q 为直线 l： x+y 1=0 上动点，求 |PQ|的最小值与最大值； （ 2）若 M 为圆 C2：（ x+1） 2+（ y 1） 2=4 上动点，求 |PM|的最大 值和最小值 【考点】 圆方程的综合应用
