1、 专题 9.3：数列应用题 【拓展探究】 1. 在金融危机中 ,某钢材公司积压了部分圆钢 ,经清理知共有 2009根 .现将它们堆放在一起 . （ 1） 若堆放成纵断面为正三角形 (每一层的根数比上一层根数多 1 根 )， 并使剩余的圆钢尽可能地少 ,则剩余了多少根圆钢 ？ （ 2） 若堆成纵断面为等腰梯形 (每一层的根数比上一层根数多 1根 ),且不少于七层， （ ）共有几种不同的方案 ? （ ）已知每根圆钢的直径为 10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于 4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？ 【 解 】 （ 1）当 纵断面为 正三角形时， 设共堆放 n 层 ,则从上到下每层圆钢根数
2、是以 1为首项、 1为公差的等差数列，且 剩余的圆钢一定小于 n 根，从而由 且 *Nn 得，当 62n 时， 使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了 56根圆钢； （ 2）（ ） 当 纵断面为等腰梯形时， 设共堆放 n 层 ,则从上到下每层圆钢根数是以 x 为首项、 1为公差的等差数列，从而 2 0 0 9)1(21 nnnx ，即 417722 0 0 92)12( nxn ，因 1n 与 n 的奇偶性不同，所以 12 nx 与 n 的奇偶性也不同，且 12 nxn ，从而由上述等式得： 57412 7nxn或 28712 14nxn或 9812 41nxn或 8212 49nxn， 共有 4
3、种方案可供选择 . （ ） 因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（ 2）可知：若 41n ，则 29x ，说明最上层有 29根 圆钢，最下层有 69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为 400 cm，上下底之长为 280 cm和 680cm，从而梯形之高为 3200 cm， 而 40010103200 ，所以符合条件； 若 49n ，则 17x ，说明最上层有 17根圆钢，最下层有 65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为 480 cm，上下底之长为 160 cm和 640cm，从而梯形之高为 3240 cm，显然大于 4m，不合条件，舍去； 综上所述， 选择堆放 41层这个方案，最能
4、节省堆放场地 .高考 2. 某 啤酒 厂为适应市场需要， 2011 年起引进 葡萄酒 生产线，同时生产 啤酒 和 葡萄酒 ， 2011 年 啤酒 生产 量为 16000吨 ， 葡萄酒 生产 量 1000吨 该厂计划从 2012年起每年 啤酒 的生产量 比上一年 减少 50%， 葡萄酒生产量 比上一年 增加 100%，试问： （ 1） 哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？ （ 2）从 2011年起（包括 2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于 该厂 啤酒与葡萄酒生产总量之和的 23 ？（生产总量是指各年年产量之和） 【解 】设从 2011年起，该车第 n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为
5、na 吨和 nb 吨，经过 n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为 nA 吨和 nB 吨 （ 1）设第 n 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为 nD 吨，根据题意，得 11 6 0 0 0 (1 5 0 % ) nna = 320002n ， 11 0 0 0 (1 1 0 0 % ) nnb =500 2n ，（ *nN ）， 则 n n nD a b= 320002n+500 2n = 64500( 2 )2 nn 645 0 0 2 2 8 0 0 02 nn ， 当且仅当 64 22 nn，即 3n 时取等号， 故 2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为 8000吨 （ 2）依题意， 23nnnBAB，得 2nnBA ， 11 6 0 0 0 1 ( ) 212 320001 212n nn nA ， 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ( 2 1 )12 n nnB ， 1000(2 1)n 2132000 22nn， 2 1 0n ， 62 64 2n ， 6n 答：从第 6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的 23 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
