1、中国数学奥林匹克赛前培训练习 3一. 个实数 满足方程组 2012011,x ,.,1nknx试计算 的值.201k解：构作 次多项式： 20712120721xxfxx 1据条件，当分别取 时，皆有 ，因此有常数 ，使1, fc ，于 、 中，分别取 ，得207fxcx 2 1 2 12x，因此 ，于是140510745fxx 32071220721xx ，再于 中令 ， 1405 4 4 x得 .271kx21405二. 如图，四边形 中， ，自对角线 的ABCD90ADB, ACBD交点 ，作 于 ，线段 交于 ， 交于 ， 是线段NM,ME,FP上的任意一点.EF证明：点 到线段 的距
2、离等于 到线段 、 的距离之和.PPC FEMNBACDP证：易知，四边形 共圆， 共圆，因此，ABCDNM.ACDMN即 平分 ；又由 共圆，得 ，即平分 .B设 于 ， 于 ，PHPGD于 ，过点 作 ，TCDXYMCA交 于 ，交 于 ；过点 作MX，交 于 ，交 于 ；再作 于 于 ，则由YZAZPTR1YHC1,YTD1平行线及角平分线的性质得，.1PHTR为证 ，只要证 .GG由平行线的比例性质得， ，因此 ，由于 与EPYZFCDZPDFAXYZ的对应边平行，且 平分 ，故 是 的平分线.MCDMXY从而 ，即所证结论成立.PR三. 设 A 是一个由 m 个正整数组成的集合。证明
3、：存在一个由正整数组成的集合 B，使得B 的任意两个子集的元素和不等， ，并且对任意 ，从 B 中都可取出若干个不mBa同的数，使它们的和恰好等于 a。证明：设 A 中所有元素之和为 n，对 n 归纳予以证明，当 时，A 只能为 ，此时取 即可，现设命题对 都成立，考虑 n1n111,2n的情形。（1）若 A 中元素都是偶数，则将 A 中每个数都除以 ，得到的数组成集合 则 的所A有元素之和为 ，那么存在 与 对应，设 则 B 与 A 对应。12nB bB2（2）若 A 中有奇数，设其中最小的奇数为 a，将 A 中所有偶数都除以 ，将 中所a有奇数都减去 a 再除以 2，得到的数组成集合 。对 用归纳假设，可找到一个对 而言符合要求要求的 ，我们取 B，则 B 即为与 A 对应的集合，且 则对 n 命题也成立。xB G HH1RT1TXZYFEMNBACDP则原命题得证。四.设 ，满足 abc=1，证明：Rcba, 212121caba证明：看到 及 这样的式子，可得到c 11cabcab只需证明 121ab设 0,x则上式等价于 12x122xx上式成立。
