1、 2015-2016 学年江苏省南通市平潮高中高二（下）期末数学模拟试卷 （理科） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1若复数 z=（ x+i）（ 1+i）是纯虚数，其中 x 为实数， i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 = 2随机变量 的概率分布如表： 1 0 1 P a b c 其中 a， b， c 成等差数列，则 b= 3用反证法证明命题 “若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0 （ a， b 为实数） ”， 其反设为 4若抛物线 y2=8x 的焦点 F 与双曲线 =1 的一个焦点重合，则 n 的值为 5已知直线 l1：
2、 ax+（ a+2） y+1=0， l2： ax y+2=0则 “a= 3”是 “l1 l2”的 条件 6有 4 名优秀学生 A， B， C， D 全部被保送到甲，乙，丙 3 所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种 7若圆柱的侧面积和体积的值都是 12，则该圆柱的高为 8曲线 y=x cosx 在点（ ， ）处的切线方程为 9二项式（ x2） 10 的展开式中的常数项是 10设 ， ， 是三个不重合的平面， l 是直线，给出下列四个命题： 若 ， l ，则 l ； 若 l ， l ，则 ； 若 l 上有两点到 的距离相等，则 l ； 若 ， ，则 其中正确命题的序号是 11记等差
3、数列 an得前 n 项和为 Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将 Sn 表示成首项 a1，末项 an 与项数的一个关系式，即 Sn= ；类似地，记等比数列 bn的前 n 项积为Tn， bn 0（ n N*），类比等差数列的求和方法，可将 Tn 表示为首项 b1，末项 bn 与项数的一个关系式，即公式 Tn= 12已知椭圆 + =1（ a b 0），点 A， B1， B2， F 依次为其左顶点 、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB2 与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 13已知可导函数 f（ x）（ x R）的导函数 f（ x）满足 f（ x） f（ x），则不等式 e
4、f（ x） f（ 1） ex 的解集是 14在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（ 5， a）作圆 x2+y2 2ax+2y 1=0 的两条切线，切点分别为 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），且 + =0，则实数 a 的值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知，圆 C： x2+y2 8y+12=0，直线 l： ax+y+2a=0 （ 1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； （ 2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、 B 两点，且 AB=2 时，求直线 l 的方程 16如图，四棱锥 P
5、 ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，平面 PBD 平面 ABCD， PB=PD，PA PC， CD PC， O， M 分别是 BD， PC 的中 点，连结 OM求证： （ 1） OM 平面 PAD； （ 2） OM 平面 PCD 17某校开设 8 门校本课程，其中 4 门课程为人文科学， 4 门为自然科学，学校要求学生 在高中三年内从中选修 3 门课程，假设学生选修每门课程的机会均等 （ 1）求某同学至少选修 1 门自然科学课程的概率； （ 2）已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文科学， 2 门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是 ，自然科学课程的概率都是 ，且各门课
6、程通过与否相互独立用 表示该同学所选的 3 门课程通过的门数，求随机变量 的概率分布列和数学期望 18如图所示，有一块半径长为 1 米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件 ABCD 的面积为 y 平方米 （ I）设 CD=2x（米），将 y 表示成 x 的函数关系式； （ II）求梯形部件 ABCD 面积 y 的最大值 19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 + =1（ a b 0）的两焦点分别为 F1（， 0）， F2（ ， 0），且经过点（ ， ） （ 1）求椭圆的方程及离心率； （ 2）设点 B， C， D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点
7、D 关于原点 O 对称设直线 CD， CB， OB， OC 的斜率分别为 k1， k2， k3， k4，且 k1k2=k3k4 求 k1k2 的值； 求 OB2+OC2 的值 20已知函数 f（ x） =lnx ax2+x （ 1）若 f（ 1） =0，求函数 f（ x）的单调减区间； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） ax 1 恒成立，求整数 a 的最小值； （ 3）若 a= 2，正实数 x1， x2 满足 f（ x1） +f（ x2） +x1x2=0，证明： x1+x2 数学附加题部分 .本部分共 4 题，每小题 0 分，计 40 分 选修 4-2：矩阵与变换 21在直角标系 xO
8、y 中，点（ 2， 2）在矩阵 M=（ ）对应变换作用下得到点（ 2， 4），曲线 C： x2+y2=1 在矩阵 M 对应变换作用下得到曲线 C，求曲线 C的方程 选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合若直线 l 的极坐标方程为 cos（ ） =3 （ 1）把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）已知 P 为曲线 C： =1 上一点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 23用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式成立 24已知 p（ p 2）是给定的某个正整数，数列 an满足： a1=1，（ k+1）
9、 ak+1=p（ k p） ak，其中 k=1， 2， 3， ， p 1 （ ）设 p=4，求 a2， a3， a4； （ ）求 a1+a2+a3+ +ap 2015-2016 学年江苏省南通市平潮高中高二（下）期末数学模拟试卷 （理科） 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1若复数 z=（ x+i）（ 1+i）是纯虚数，其中 x 为实数， i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 = 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数 形式的乘法运算展开并整理，由复数为纯虚数求得 x 值，则 z 可求，可
10、求 【解答】 解：由 z=（ x+i）（ 1+i） =（ x 1） +（ x+1） i 是纯虚数， 得 ，即 x=1， z=2i，则 故答案为： 2i 2随机变量 的概率分布如表： 1 0 1 P a b c 其中 a， b， c 成等差数列，则 b= 【考点】 离散型随机变量及其分布列 【分析】 利用分布列的特征，概率和为 1，以及等差数列求解即可 【解答】 解：由题意可知： ，可得 b= 故答案为： 3用反证法证明命题 “若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0 （ a， b 为实数） ”，其反设为 a， b 不全为 0 【考点】 反证法与放缩法 【分析】 把要证的结论否定之后，即得 所
11、求的反设 【解答】 解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立， 所以用反证法证明命题 “若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0 （ a， b 为实数） ”，其反设为 a， b 不全为 0， 故答案为： a， b 不全为 0 4若抛物线 y2=8x 的焦点 F 与双曲线 =1 的一个焦点重合，则 n 的值为 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点为（ 2， 0），由双曲线的 a， b， c 的关系，可得 =2，解方程可得 n=1 【解答】 解：抛物线 y2=8x 的焦点 F 为（ 2， 0）， 双曲线 =1 的右焦点为（ ， 0）， 由题意可得， =2， 解得
12、n=1， 故答案为： 1 5已知直线 l1： ax+（ a+2） y+1=0， l2： ax y+2=0则 “a= 3”是 “l1 l2”的 充分不必要 条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 对 a 分类讨论，利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出 【解答】 解：当 a= 2 时，两条直线分别化为 2x+1=0， 2x y+2=0， 此时两条直线不平行，舍去， 当 a 2 时，两条直线分别化为： y= x ， y=ax+2， l1 l2， =a， 2， 解得 a=0，或 a= 3， 则 “a= 3”是 “l1 l2”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 6有
13、4 名优秀学生 A， B， C， D 全部被保送到甲，乙，丙 3 所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 36 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 分两步进行，先把 4 名学生分为 2 1 1 的三组，再将 3 组对应 3 个学校，有 A33=6种情况，进而由分步计数原理，计算可得答案 【解答】 解：分两步进行，先把 4 名学生分为 2 1 1 的三组，有 C42=6 种分法， 再将 3 组对应 3 个学校，有 A33=6 种情况， 则共有 6 6=36 种保送方案 故答案为： 36 7若圆柱的侧面积和体积的值都是 12，则该圆柱的高为 3 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆
14、台） 【分析】 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 2rh=r2h=12，即可求出圆柱的高 【解答】 解：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 2rh=r2h=12， r=2， h=3， 故答案为： 3 8曲线 y=x cosx 在点（ ， ）处的切线方程为 2x y =0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程 【解答】 解： y=x cosx 的导数为 y=1+sinx， 即有在点（ ， ）处的切线斜率为 k=1+sin =2， 则曲线在点（ ， ）处的切线方程为 y =2（ x ）， 即为 2x y =0
15、故答案为： 2x y =0 9二项式（ x2） 10 的展开式中的常数项是 45 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 利用二项式的通项公式即可得出 x 的指数幂为 0，即可得出 r 的值，就能够求解常数项 【解答】 解：由通项公式 Tr+1= （ ） r（ x2） 10 r= （ 1） 10 r（ x） ， 令 20 =0=0，解得 r=8 常数项为 T8= （ 1） 2=45 故答案为： 45 10设 ， ， 是三个不重合的平面， l 是直线，给出下列四个命题： 若 ， l ，则 l ； 若 l ， l ，则 ； 若 l 上有两点到 的距离相等，则 l ； 若 ， ，则 其中正确命题的序号
16、是 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 根据直线与 平面平行的判断定理及其推论对 、 、 、 四个命题进行一一判断； 【解答】 解： 错误， l 可能在平面 内； 正确， l ， l， =nl nn ，则 ； 错误，直线可能与平面相交； ， ， ，故 正确 故答案为 ； 11记等差数列 an得前 n 项和为 Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将 Sn 表示成首项 a1，末项 an 与项数的一个关系式，即 Sn= ；类似地，记等比数列 bn的前 n 项积为Tn， bn 0（ n N*） ，类比等差数列的求和方法，可将 Tn 表示为首项 b1，末项 bn 与项数的一个关
17、系式，即公式 Tn= 【考点】 类比推理 【分析】 由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积 【解答】 解：在等差数列 an的前 n 项和为 Sn= ， 因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积， 所以各项均为正的等比数列 bn的前 n 项积 Tn= = ， 故答案为： 12已知椭圆 + =1（ a b 0），点 A， B1， B2， F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB2 与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 作简图，结合图象可得 CD= =
18、 （ a+ ），从而解得 【解答】 解：作简图如下，则 = ， = ； 即 CD= = （ a+ ）， 即 =1+ ； 即（ ） 2 2=0； 即（ 2）（ +1） =0； 故 =2；故离心率 e= ； 故答案为： 13已知可导函数 f（ x）（ x R）的导函数 f（ x）满足 f（ x） f（ x），则不等式 ef（ x） f（ 1） ex 的解集是 （ 1， +） 【考点】 导数的运算 ；其他不等式的解法 【分析】 由题目要求解的不等式是 ef（ x） f（ 1） ex，变性后得： ，由此想到构造函数 g（ x） = ，求导后结合 f（ x） f（ x），可知函数 g（ x）是实数集上的
19、增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集 【解答】 解：令 g（ x） = ， 则 = ， 因为 f（ x） f（ x），所以 g（ x） 0， 所以，函数 g（ x） = 为（ ， +）上的增函数， 由 ef（ x） f（ 1） ex，得： ，即 g（ x） g（ 1）， 因为函数 g（ x） = 为（ ， +）上的增函数， 所以， x 1 所以，不等式 ef（ x） f（ 1） ex 的解集是（ 1， +） 故答案为（ 1， +） 14在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（ 5， a）作圆 x2+y2 2ax+2y 1=0 的两条切线，切点分别为 M（ x1， y1）， N（ x2
20、， y2），且 + =0，则实数 a 的值为 3或 2 【考点】 圆的切线方程 【分析】 两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为 1，可得 P， Q， R， T 共线，即可求出实数 a 的值 【解答】 解：设 MN 中点为 Q（ x0， y0）， T（ 1， 0），圆心 R（ a， 1）， 根据对称性， MN PR， = = = ， kMN= ， + =0 kMNkTQ= 1， MN TQ， P， Q， R， T 共线， kPT=kRT， 即 ， a2 a 6=0， a=3 或 2 故答案为： 3 或 2 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区
21、域内作答 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知，圆 C： x2+y2 8y+12=0，直线 l： ax+y+2a=0 （ 1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； （ 2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、 B 两点，且 AB=2 时，求直线 l 的方程 【 考点】 直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质 【分析】 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径 r， （ 1）当直线 l 与圆相切时，圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离 d，让 d 等于圆的半径 r，列出关于 a 的方程，求出方程的解即可得到 a
22、的值； （ 2）联立圆 C 和直线 l 的方程，消去 y 后，得到关于 x 的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出 AB 的长度，列出关于 a 的方程，求出方程的解即可得到 a 的值 【解答】 解：将圆 C 的方程 x2+y2 8y+12=0 配方得标准方程为 x2+（ y 4） 2=4， 则此圆的圆心为（ 0， 4），半径为 2 （ 1）若直线 l 与圆 C 相切，则有 解得 （ 2）联立方程 并消去 y， 得（ a2+1） x2+4（ a2+2a） x+4（ a2+4a+3） =0 设此方程的两根分别为 x1、 x2， 所以 x1+x2= ， x1x2= 则 AB= = =2 两边平方并代
23、入解得： a= 7 或 a= 1， 直线 l 的方程是 7x y+14=0 和 x y+2=0 16如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，平面 PBD 平面 ABCD， PB=PD，PA PC， CD PC， O， M 分别是 BD， PC 的中点，连结 OM求证： （ 1） OM 平面 PAD； （ 2） OM 平面 PCD 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）连结 AC，由三角形中位线的性质可得 OM PA，由 OM平面 PAD， PA平面 PAD，即可判定 OM 平面 PAD （ 2）连结 PO，可证 PO BD，由面面垂直的性质
24、可证明 PO 平面 ABCD，可得 PO CD，又 CD PC， PCPO=P， PC平面 PAC， PO平面 PAC，可证 CD 平面 PAC从而证明CD OM， OM PC，又由 CD平面 PCD， PC平面 PCD， CDPC=C，即可判定 OM 平面 PCD 【解答】 证明：（ 1）连结 AC， 因为 ABCD 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点 在 PAC 中，因为 O， M 分别是 AC， PC 的中点， 所以 OM PA 因为 OM平面 PAD， PA平面 PAD， 所以 OM 平面 PAD （ 2）连结 PO因为 O 是 BD 的中点， PB=PD， 所以 PO BD 又因为平面 PBD 平面 ABCD，平面 PBD平 面 ABCD=BD， PO平面 PBD 所以 PO 平面 ABCD 从而 PO CD 又因为 CD PC， PCPO=P， PC平面 PAC， PO平面 PAC， 所以 CD 平面 PAC 因为 OM平面 PAC，所以 CD OM 因为 PA PC， OM PA，所以 OM PC 又因为 CD平面 PCD， PC平面 PCD， CDPC=C， 所以 OM 平面 PCD
