1、2015-2016 学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置1设集合 A=x|1x2，B=x|0x4，则 AB=_2某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200 名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为 50 的样本，已知样本中女生比男生多4 人，则该校参加春季高考的女生共有_名3如果复数 z= （i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=_4函数 f（x）=ln（x x2）的单调递减区间为_5如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值是_6若将甲、乙
2、、丙三个球随机放入编号为 1，2 两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是_7设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S36，S 520，则 a6 的最大值为_8若 ，（ 0， ） ，cos（ ）= ，sin（ ）= ，则 cos（+ ）的值等于_9设向量 =（sin ，cos ） ， =（sin ，cos ） （nN +） ，则（ ） =_10已知直线 l：x2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A（2，0） ，B（2，0）连线的斜率 kMA与 kMB 之积为 1，则实数 m 的取值范围是_11某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒
3、，并要求该圆柱纸筒的容积为 27cm3，设该圆柱纸筒的底面半径为 r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为_cm12已知等比数列a n，首项 a1=2，公比 q=3，a p+ap+1+ak=2178（kp，p，kN +） ，则p+k=_13设函数 f（x）= ，若函数 y=f（x） 2x+b 有两个零点，则参数 b 的取值范围是_14对任意实数 x1，y ，不等式 p + 恒成立，则实数 p 的最大值为_二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数 f（x）=2cos 2x+ sin2x（1）求函数 f
4、（x）的最小正周期；（2）在ABC 中，若 C 为锐角，f（A+B ）=0 ，AC=2 ，BC=3，求 AB 的长16如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是边 BC 上异于 C 的一点，AD C 1D（1）求证：AD平面 BCC1B1；（2）如果点 E 是 B1C1 的中点，求证：平面 A1EB平面 ADC117在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，且右准线方程为 x=4（1）求椭圆的标准方程；（2）设 P（x 1，y 1） ，M （x 2，y 2） （y 2y 1）是椭圆 C 上的两个动点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，如果直线 PM，
5、PN 与 x 轴交于（m ，0）和（ n，0） ，问 mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由18如图，某景区有一座高 AD 为 1 千米的山，山顶 A 处可供游客观赏日出坡角ACD=30，在山脚有一条长为 10 千米的小路 BC，且 BC 与 CD 垂直，为方便游客，该景区拟在小路 BC 上找一点 M，建造两条直线型公路 BM 和 MA，其中公路 BM 每千米的造价为 30 万元，公路 MA 每千米的造价为 60 万元（1）设AMC=，求出造价 y 关于 的函数关系式；（2）当 BM 长为多少米时，才能使造价 y 最低？19已知 a0，且 a1，函数 f（x）=a x1，g（x
6、）= x2+xlna（1）若 a1，证明函数 h（x）=f（x） g（x）在区间（0，+ ）上是单调增函数；（2）求函数 h（x）=f（x）g（x）在区间 1，1上的最大值；（3）若函数 F（x）的图象过原点，且 F（x）=g（x） ，当 ae 时，函数 F（x）过点A（1，m）的切线至少有 2 条，求实数 m 的值20已知等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，且数列b n的前 n 项和为Sn（1）若 a1=b1=d=2，S 3a 1006+5b22016，求整数 q 的值；（2）若 Sn+12Sn=2，试问数列b n中是否存在一点 bk，使得 bk 恰好可以表示为该数列中连
7、续 p（pN，p2）项的和？请说明理由？（3）若 b1=ar，b 2=asa r，b 3=at（其中 tsr ，且（s r）是（tr）的约数） ，证明数列b n中每一项都是数列a n中的项选修 4-1：几何证明选讲21如图所示，PA，PB 分别切圆 O 于 A，B，过 AB 与 OP 的交点 M 作弦 CD，连结PC，求证：选修 4-2：矩阵与变换22在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P（1，1）在矩阵 对应的变换下得到点Q（3，7） ，求 M1选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，设直线 l 过点 ，且直线 l 与曲线C：=asin（a 0）有且只有一个公共点，求实数 a 的值
8、选修 4-5：不等式选讲24求函数 的最大值25学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5人，现从中选 2 人设 为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且 （1）求文娱队的队员人数；（2）求 的分布列，并求其数学期望 E（） 26已知有穷数列a n共有 m 项（m 3，m N*） ，对于每个 i（i=1，2，3，m ）均有ai1，2，3，且首项 a1 与末项 am 不相等，同时任意相邻两项不相等记符合上述条件的所有数列a n的个数为 f（m） （1）写出 f（3） ，f（4）的值；（2）写出 f（m）的表达式，并说明理由2015-2016 学年江苏省南通市启
9、东市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置1设集合 A=x|1x2，B=x|0x4，则 AB= x|0x2 【考点】交集及其运算【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x| 1x2，B=x|0x4，AB=x|0x2，故答案为：x|0x22某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200 名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为 50 的样本，已知样本中女生比男生多4 人，则该校参加春季高考的女生共有 108 名【考点】分层抽样方法【分析】根据样本容
10、量和女生比男生多 4 人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数【解答】解：样本容量为 50，女生比男生多 4 人，样本中女生数为 27 人，又分层抽样的抽取比例为 = ，总体中女生数为 274=108 人故答案为：1083如果复数 z= （i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|= 【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得 a，再利用复数模的计算公式即可得出【解答】解：复数 z= = = 的实部与虚部互为相反数， + =0，解得 a=0z= |z|= = 故答案为： 4函数 f（x）=ln（x x2）的单调递减区间为 ，1） 【考点】
11、复合函数的单调性【分析】令 t=xx20，求得函数的定义域， f（x）=g（t ） =lnt，本题即求函数函数 t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论【解答】解：令 t=xx20，求得 0x1，可得函数的定义域为（ 0，1） ，f（x）=g（t）=lnt 本题即求函数 t 在定义域内的减区间，函数 t 在定义域内的减区间为 ，1） ，故答案为： ，1） 5如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值是 4 【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，
12、s=5，k=1 ，第二次循环，s=13 ，k=2 ，第三次循环，s=13 ，k=3 ，第四次循环，s=29 ，k=4 ，退出循环，输出 k=4故答案为：46若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1，2 两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是 【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1，2 两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是 1 号盒中放 1 个，2 号盒中放 2 个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1
13、，2 两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数 n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是 1 号盒中放 1 个，2 号盒中放 2 个，有 =3 种放法，每个盒子中球数不小于其编号的概率：p= 故答案为： 7设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S36，S 520，则 a6 的最大值为 10 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由等差数列的前 n 项和公式得到 ，由此能求出 a6 的最大值【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S36，S 520， ， ，a 6=a1+5d=3（a 1+d）+4（a 1+2d）32+44=10，a 6 的最大值为 10故答案
14、为：108若 ，（ 0， ） ，cos（ ）= ，sin（ ）= ，则 cos（+ ）的值等于 【考点】两角和与差的正弦函数【分析】根据题意可得 = ， = ，由此求得 + 的值，可得 cos（+ ）的值【解答】解：，（0， ） ，cos （ ）= ，sin（ ）= ， = ， = ，= 或 +=0（舍去） cos（+）= ，故答案为： 9设向量 =（sin ，cos ） ， =（sin ，cos ） （nN +） ，则（ ） = 1 【考点】平面向量数量积的运算【分析】化简 =cos 于是根据诱导公式可得 + = += + = + =0，所以 （ ）= +=cos +cos=1【解答】解：
15、=sin sin +cos cos =cos（ ）=cos + =cos +cos =0，同理， + =0， +=0， + =0 （ ）= + =cos +cos=1故答案为110已知直线 l：x2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A（2，0） ，B（2，0）连线的斜率 kMA与 kMB 之积为 1，则实数 m 的取值范围是 2 ，2 【考点】圆方程的综合应用【分析】设出 M 的坐标，由 kMA 与 kMB 之积为 3 得到 M 坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于 x 的一元二次方程后由判别式大于等于 0 求得实数 m 的取值范围【解答】解：设 M（x，y） ，由 kMAkMB=3，
16、得 =1，即 x2+y2=4联立 ，得 5y24my+m24=0要使直线 l：x2y+m=0 上存在点 M 满足与两点 A（2，0） ，B（2，0）连线的斜率 kMA 与kMB 之积为 1，则=（4m） 220（m 24） 0，即 m220解得 m2 ，2 实数 m 的取值范围是：2 ，2 故答案为：2 ，2 11某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为 27cm3，设该圆柱纸筒的底面半径为 r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为 3 cm 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】设底面半径为 r，高为 h，则由题意得 S=2
17、rh+r2= ，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值【解答】解：设底面半径为 r，高为 h，则由题意得 h= ，S=2rh+r 2= ，S= ，当 0r3 时，S0，当 r3 时，S0，故 r=3 时，取得极小值，也是最小值，制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为 3故答案为：312已知等比数列a n，首项 a1=2，公比 q=3，a p+ap+1+ak=2178（kp，p，kN +） ，则p+k= 10 【考点】数列的求和【分析】通过 an=23n1 可知 ap+ap+1+ak=3p1（3 kp+11） ，利用 2178=32（3 51）比较即得结论【解答】解：依题意，a
18、n=23n1，则 2178=ap+ap+1+ak=3p1（3 kp+11） ，又2178=9=3 2（3 51） ， ，即 ，p+k=10，故答案为：1013设函数 f（x）= ，若函数 y=f（x） 2x+b 有两个零点，则参数 b 的取值范围是 （， 2（0，2ln21） 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由 y=f（x）2x+b=0 得 f（x）=2xb，作出函数 f（x）和 y=2xb 的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图：，由 y=f（x）2x +b=0 得 f（x）=2xb，当 g（x）=2x b 经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时b=2 ，即 b=2，当 b2，即 b2 时，满足条件，当 g（x）=2x b 与 f（x）=e x1 相切时，由 f（x）=e x=2 得 x=ln2，y=e ln21=21=1，即切点坐标为（ln2，1） ，此时 2ln2b=1，即 b=2ln21，当直线 g（x）=2x b 经过原点时，b=0，要使两个函数有两个交点，则此时 0b2ln21，综上 0b2ln21 或 b 2，故实数 b 的取值范围是（， 2（0，2ln21） ，
