1、 2015-2016 学年江苏省南通市海安县高三（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1设集合 A=x|x 1， B=x|x2 9，则 AB= 2设 a， b R， i 为虚数单位，若（ a+bi） i=2 5i，则 ab 的值为 3在平面直角坐标系 xOy，已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个渐近线的方程为y= x，则该双曲线的离心率为 4已知一组数据 9.8， 10.1， 10， 10.2， 9.9，那么这组数据的方差为 5如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是 6若函数 是偶函数，则实数 a 的值为 7正四棱锥的底面边长为 2cm
2、，侧面与底面所成二面角的大小为 60，则该四棱锥的侧面积为 cm2 8将函数 f（ x） =sin（ 2x+）（ 0 ）的图象向右平移 2 个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数 的值为 9二次函数 y=f（ x） =ax2+bx+c（ x R）的部分对应如表： x 4 3 2 1 0 1 2 3 y 6 0 4 6 6 4 0 6 则关于 x 的不等式 f（ x） 0 的解集为 10在正五边形 ABCDE 中，已知 =9，则该正五边形的对角线的 长为 11用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5 个图案，并将这 8 个图案中的所有正六边形积木充分混合
3、后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是 12若函数 f（ x） = 的最小值为 f（ 0），则实数 a 的取值范围是 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（ 1， 0）， Q（ 2， 1），直线 l： ax+by+c=0，其中实数 a， b， c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是 14在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 y= （ x 0， 2）的图象绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转角 ，若 0， a，旋转后所得的曲线都是某个函数的图象，则 a 的最大值为 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分，解答应写出
4、文字说明、证明过程或演算步骤） . 15已知 （ ， ）， sin（ ） = （ 1）求 sin的值； （ 2）求 cos（ 2+ ）的值 16如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AC BC， BC=CC1，设 AB1 的中点为 D，B1CBC1=E 求证： （ 1） DE 平面 AA1C1C； （ 2） BC1 AB1 17在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦距为 2 （ 1）若椭圆 C 经过点（ ， 1），求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设 A（ 2， 0）， F 为椭圆 C 的左焦点，若椭圆 C 上存在点 P，满足 = ，求椭圆C 的
5、离心率的取值范围 18如图，扇形 AOB 是一个植物园的平面示意图，其中 AOB= ，半径 OA=OB=1km，为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观赏道路，道路由弧 ，线段CD，线段 DE 和弧 组成，且满足： = ， CD AO DE OB， OD ， （单位： km），设 AOC= （ 1）用 表示 CD 的长度，并求出 的取值范围； （ 2）当 为何值时，观赏道路最长？ 19已知公差不为 0 的等差数列 an的首项为 1，前 n 项和为 Sn，且数列 是等差数列 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）设 lgbn= （ n N*），问： b1， bk， bm
6、（ k， m 均为正整数，且 1 k m）能否成等比数列？若能，求出所有的 k 和 m 的值；若不能，请说明理由 20设 a 为正实数，函数 f（ x） =ax， g（ x） =lnx （ 1）求函数 h（ x） =f（ x） g（ x）的极值； （ 2）证明： x0 R，使得当 x x0 时， f（ x） g（ x）恒成立 四、选做题从 21-24 题中任选 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分 21如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点C，若 DB=DC，求证： CA=AO 22已知矩阵 A= ， B= ，求矩阵 A 1
7、B 23已知圆 C 的极坐标方程为 2+2 sin（ ） 4=0，求圆心的极 坐标 24设 a， b 是非负实数，求证： a3+b3 （ a2+b2） 25一批产品共 10 件，其中 3 件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取 2 件产品检验： 方式一：一次性随机抽取 2 件； 方式二：先随机抽取 1 件，放回后再随机抽取 1 件； 记抽取的不合格产品数为 （ 1）分别求两种抽取方式下 的概率分布； （ 2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由 26在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C： y2=4x，设点 A（ t， 0）， B（ t， 0）（ t 0），过点
8、B 的直线与抛物线 C 交于 P， Q 两点，（ P 在 Q 的上方） （ 1）若 t=1，直线 PQ 的倾斜角为 ，求直线 PA 的斜率； （ 2）求证： PAO= QAO 2015-2016 学年江苏省南通市海安县高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1设集合 A=x|x 1， B=x|x2 9，则 AB= x|1 x 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用交集的性质和不等 式的性质求解 【解答】 解： 集合 A=x|x 1， 集合 B=x|x2 9=x| 3 x 3， 集合 AB=x|1 x 3 故答案为： x|
9、1 x 3 2设 a， b R， i 为虚数单位，若（ a+bi） i=2 5i，则 ab 的值为 10 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由（ a+bi） i=2 5i，得 b+ai=2 5i，即可求出 a、 b 的值，则答案可求 【解答】 解：由（ a+bi） i=2 5i， 得 b+ai=2 5i，即 a= 5， b= 2 则 ab= 5 （ 2） =10 故答案为： 10 3在平面直角坐标系 xOy，已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个渐近线的方程为y= x，则该双曲线的离心率为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线方程 y= x，由题意可
10、得 b= a，由 a， b， c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= x， 由一条渐近线的方程为 y= x，可得 b= a， 即有 c= =2a， 即有 e= =2 故答案为： 2 4已知一组数据 9.8， 10.1， 10， 10.2， 9.9，那么这组数据的方差为 0.02 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 先计算数据的平均数，代入方差公式，可得答案 【解答】 解： 9.8， 10.1， 10， 10.2， 9.9 的平均数为 10， 故方差 s2= （ 9.8 10） 2+（ 10.1 10） 2+（ 10 1
11、0） 2+（ 10.2 10） 2+（ 9.9 10） 2=0.02， 故答案为： 0.02 5如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是 25 【考点】 程序框图 【分析】 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出 【解答】 解：经过第一次循环得到结果为 s=1， n=3，此时满足判断框的条件 经过第二次循环得到结果为 s=4， n=5，此时满足判断框的条件 经过第三次循环得到结果为 s=9， n=7，此时满足判断框的条件 经过第四次 循环得到结果为 s=16， n=9，此时满足判断框的条件， 经过第四次循环得到结果为 s=2
12、5， i=11，此时不满足判断框的条件， 执行输出 s，即输出 25， 故答案为： 25 6若函数 是偶函数，则实数 a 的值为 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 由题意可得， f（ ） =f（ ），从而可求得实数 a 的值 【解答】 解： f（ x） =asin（ x+ ） + sin（ x ）为偶函数， f（ x） =f（ x）， f（ ） =f（ ）， 即 =a， a= 故答案为： 7正四棱锥的底面边长为 2cm，侧面与底面所成二面角的大小为 60，则该四棱锥的侧面积为 8 cm2 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 在正四棱锥 V ABCD 中，底面正
13、方形 ABCD 边长为 2cm，侧面 VAB 与底面 ABCD所成二面角的大小为 60，过 V 作平面 ABC 的垂线 VO，交平面 ABC 于 O 点，过 O 作 OE AB，交 AB 于 E，连结 VE，则 VEO 是二面角 V AB C 的 平面角，由此示出 VE=2，由此能求出该四棱锥的侧面积 【解答】 解：如图，在正四棱锥 V ABCD 中，底面正方形 ABCD 边长为 2cm， 侧面 VAB 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 60， 过 V 作平面 ABC 的垂线 VO，交平面 ABC 于 O 点， 过 O 作 OE AB，交 AB 于 E，连结 VE， 则 VEO 是二面角
14、V AB C 的平面角， VEO=60， OE=AE=BE=1， VE= =2， cos = ， 该四棱锥的侧面积 S=4 （ ） =8 故答案为： 8 8将函数 f（ x） =sin（ 2x+）（ 0 ）的图象向右平移 2 个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数 的值为 4 【考点】 函数 y=Asin（ x+）的图象变换 【分析】 由条件利用 y=Asin（ x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论 【解 答】 解：将函数 f（ x） =sin（ 2x+）（ 0 ）的图象向右平移 2 个单位后， 得到 y=sin2（ x 2） +=sin（ 2x 4+）的图象，
15、 再根据得到的函数图象关于原点对称， 4+=k， k Z， 则实数 的值为 4 ， 故答案为： 4 9二次函数 y=f（ x） =ax2+bx+c（ x R）的部分对应如表： x 4 3 2 1 0 1 2 3 y 6 0 4 6 6 4 0 6 则关于 x 的不等式 f（ x） 0 的解集为 3， 2 【考点】 二次函数的性质 【分析 】 由表中数据可看出 f（ x）过点（ 3， 0），（ 0， 6），（ 2， 0），将这三点的坐标分别带入 f（ x）便可得出关于 a， b， c 的方程组，可解出 a， b， c 的值，从而可以解一元二次不等式 f（ x） 0，这样即可得出该不等式的解集 【
16、解答】 解：根据条件知， f（ x）过点（ 3， 0），（ 0， 6），（ 2， 0）； ； 解得 ； f（ x） =x2+x 6； 解 x2+x 6 0 得， 3 x 2； f（ x） 0 的解 集为 3， 2 故答案为： 3， 2 10在正五边形 ABCDE 中，已知 =9，则该正五边形的对角线的长为 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 设该正五边形的边长为 x，由于 =9，可得 x2xcos36cos36=9，即可得出该正五边形的对角线的长 2xcos36 【解答】 解：设该正五边形的边长为 x， =9， x2xcos36cos36=9， x= ， 该正五边形的对角线的长 2x
17、cos36= 故答案为： 3 11用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5 个图案，并将这 8 个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是 【考点】 归纳推理 【分析】 由图形可知各图形中的黑色积木和白色积木分别成等差数列，求出积木总个数，使用古典概型的概率计算公式计算概率 【解答】 解：由图可知第 1 个图形由 1 个黑色积木， 6 个 白色积木，第二个图形有 2 个黑色积木， 10 个白色积木，第三个图形有 3 个黑色积木， 14 个白色积木， 依此类推，故图形中的黑色积木数组成一个等差数列，
18、公差为 1，白色积木数组成一个等差数列，公差为 4 从而前 8 个图形共有黑色积木个数为 8 1+ =36，共有白色积木个数为 86+ =160 取出黑色积木的概率 P= = 故答案为 12若函数 f（ x） = 的最小值为 f（ 0），则实数 a 的取值范围是 0，3 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 若 f（ 0）为 f（ x）的最小值，则当 x 0 时，函数 f（ x） =（ x a） 2 为减函数，当x 0 时，求出函数 f（ x）的最小值 f（ 1） f（ 0），进而得到实数 a 的取值范围 【解答】 解：若 f（ 0）为 f（ x）的最小值， 则当 x 0 时，函数 f（
19、 x） =（ x a） 2 为减函数，故 a 0； 当 x 0 时， f（ x） =1 = ，由 f（ x） 0 得 x 1，由 f（ x） 0 得 0 x 1，即当x=1 时函数取得极小值同时也是最小值 f（ 1） =1 ln1+5+a=6+a， 则满足 f（ 1） f（ 0）， 即 6+a a2，得 a2 a 6 0， 解得： 2 a 3， a 0， 0 a 3 综上所述实数 a 的取值范围是 0， 3， 故答案为： 0， 3 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（ 1， 0）， Q（ 2， 1），直线 l： ax+by+c=0，其中实数 a， b， c 成等差数列，若点 P 在直
20、线 l 上的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是 【考点】 点到直线的距离公式 【分析】 直线 l： ax+by+c=0，其中实数 a， b， c 成等差数列，可得 a（ 2x+y） +c（ y+2） =0，令 ，可得直线 l： ax+by+c=0，恒经过定点 M（ 1， 2）由于 PH l，可得点 H 在以 PM 为直径的圆上 ，其圆心 C（ 0， 1）圆的方程为： x2+（ y+1） 2=8则 |QC| r |QH| |QC|+r 【解答】 解：直线 l： ax+by+c=0，其中实数 a， b， c 成等差数列， ax+ y+c=0，化为 a（ 2x+y） +c（ y+2） =0，令
21、，解得 x=1， y= 2 直线 l： ax+by+c=0，恒经过定点 M（ 1， 2） PH l， 点 H 在以 PM 为直径的圆上，其圆心 C（ 0， 1） 圆的方程为： x2+（ y+1） 2=8 |QC|=2 |QC| r |QH| |QC|+r， 线段 QH 的取值范围是 故答案为： 14在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 y= （ x 0， 2）的图象绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转角 ，若 0， a，旋转后所得的曲线都是某个函数的图象，则 a 的最大值为 60 【考点】 曲线与方程 【分析】 确定函数在 x=0 处，函数图象的切线斜率，可得倾斜角，从而可得结论 【解答】 解：由
22、题意，函数图象如图所示，函数在 0， 1上为增函数，在 1， 2上为减函数 设函数在 x=0 处，切线斜率为 k，则 k=f（ 0） f（ x） = ， k=f（ 0） = ，可得切线的倾斜角为 30， 因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转 后的切线倾斜角最多为 90，也就是说，最大旋转角为 90 30=60，即 的最大值为 60 故答案为： 60 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） . 15已知 （ ， ）， sin（ ） = （ 1）求 sin的值； （ 2）求 cos（ 2+ ）的值 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 （ 1）由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式求得 sin的值 （ 2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，两角和的余弦，求得要求式子的值
