1、道正高中数学解题思维(2)1.已知 在0, 2 上是 x 的减函数，求 a 的取值范围。)3(logaxy解： ， 是减函数1,0且在0, 2上是 x 的减函数)(lxya 10230231a本题改为：已知 在0, 5上是 x 的减函数，求 a 的取值范围。更理想一)(logxya点解题： ， 是减函数1,0a且3在0, 5 上是 x 的减函数)3(logxy5305051aa2.求和 21() nnT解： 2211()() ()2132 nn nn由（2）（1）得 221 12() nnnnnT3. 已知数列的第 n+1 项等于第 n 项加上第 n 项的倒数，求通项公式。由 求通项可能很困难
2、nna11求通项是有办法的)(21nna，nnna21)(1nnn aa2)1(21相除得nnn )(1 21)(nna124221 )()()(aannn 故 an 可解出已知 求通项得一般方法是否被发现了，不太清除nb1可以肯定的是已知 （字母全正） 。bnnnn kabakaka 111 ,是可以求通项的bkcann15.设 ，0,2|),(axyxA 0,)3()1(|,22ayxyB且 ，求 A 的最大值和最小值。B解：集合 A 是半圆 ，半径为 ；2xyaR26.集合 B 是圆 ，半径为 。2)3()1(axr（1）当 B 的圆心 在半圆 A 内部时，即 时，只要，两圆的圆心距,
3、即可相交，arR22 22,2a此时， ；（2）当 B 的圆心 在半圆 A 上时，即 时，显然相交；)3,1( ,a（3）当 B 的圆心 在半圆 A 外部时，即 时，只要，两圆的圆心距2即可相交，arR2 2,2 aa此时， ，综上可得 7、设圆满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3:1，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线 的距离最小的圆的方程。02:yxl解：设圆的圆心为 ，半径为 r，则点 P 到 x 轴，y 轴到距离分别为),(baP .|,|ab由题意设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对对圆心角为 90，知圆 P 截 x 轴所得对弦长为 ，r2故。P 截
4、 y 轴所得的弦长为 2， 。从而得 。点2br 12ar12ab到直线 的距离为),(a0x5|2|d 当且仅当,12)(44| 22222 abababa时上式等号成立，此时 ，从而 d 取得最小值。故解得b15d.,12, ba或由于 知 。所求圆的方程是2brr.2)1()(,)()( 2yxyx或8、在 的展开式中， 的系数是 的系数的等差中项，若实数 ，那么7)1(a342x和 1aa 为多少?解： 2257233473 1)(5)( aCxaxCx 项项 441项依题意，35a 3 是 21a2 和 21a4 的等差中项故 70a3 21a2 21a 4 由 得 10a 33a
5、2解得： )(舍 去或 9、 除以 100 的余数为多少？21解： 9209219902() 1CC018NN故 除以 100 的余数为 81。92110、桶内原有纯酒精为 64L，现从中倒出一部分后用水填满，然后从桶中倒出与前面的等量的混合酒精溶液，再用水填满，最后桶内纯酒精为 49L，问每次倒出的液体多少升？混合后的体积不变。解：设每次倒出 x 升则 （升）264(1)98推广：一般地桶内原有纯酒精为 aL，现从中倒出一部分后用水填满，然后从桶中倒出与前面等量的混合酒精溶液，再用水填满，共倒了 n 次，最后桶内纯酒精为 bL，设每次倒出倒液体为 x 升，则有(1)nab11.若集合 P=x
6、x=3m+1,mN，Q=xx=5n+2,nN ，求 PQ.解：集合 P 表示被 3 除余 1、即 3 个 3 个数余 1 个集合 Q 表示被 5 除余 2、即 5 个 5 个数余 2 个先写下 1、然后加 3 得 4、再加 3 得 7、被 5 除余 2被 3 除余 1，同时 5 除余 2、的自然数最小一个是 7因此，P Q.=xx=15m+7,m N12.偶尔看到新鲜名词:插值公式构造，似乎可以用于解决数列问题,不知大家能否举个简单的例子呢？答：1、插值公式构造是找一个函数 f(x)它在给定的 n 个 x 的值时，函数取到给定的 n 个值的公式。例如找一函数 f(x)使 ，适合这一条件的函数有
7、很多其中123(),(),()fxyffy之一是 31213123321()()()yxxxf这个函数叫做插值函数，也叫做插值公式。2、自己想一想 的插值公式。1234(),(),(),()fxyffxyf3、为什么适合条件 的函数有无穷多个呢？12331231231233121()()() ()()yxyxyxf axx当 a 取任意实数时都行4、数列是定义在正整数集上的函数，因此数列也有插值公式的。13.解不等式： 22|3|xx解：当 时， ， ，此时0|3|23012xx12x当 时， ， ，化为0320x22|3|xx223xx解得 。综上，原不等式当解集为 |0,1、14.设定义在
8、 R 上的偶函数 f(x)恒满足 f(x+3)f(x)+3，且 f(x+2)f(x)+2;若 f(4)=1,试求 f(610)的值解：因 f(x+3)f(x)+3，且 f(x+2)f(x)+2故 f(x+1)+2f(x+3)f(x)+3得 f(x+1）f(x)+1因 f(x+1）f(x)+1 ，且 f(x+2)f(x)+2故 f(x)+1f(x+2)-1f(x+1)得 f(x+1）f(x)+1f(610）f(609）+1f(608）+2607也可以由 f(x+1）f(x)+1 ，得 f(x)x+a，由 f(4)1，得 a=-3，f(610 ）610-7=607R 上的偶函数 f(x)这个条件可
9、能有问题15.若函数 在区间a, b 上的最小值为 2a，最大值为 2b，求 a, b 的值。213()fx解：分散三种情况讨论区间a, b 。(1) 若 ，则 f(x) 在a, b上单调递减，故 f(a)=2b, f(b)=2a 于是有0ab213解得 a=1,b=3(2) 若 ，f(x)在a, 0上单调递增，在0, b上单调递减，因此 f(x)在 x=0 处取最大0ab值 2b，在 x=a 或 x=b 处取最小值 2a. 故 . 由于 a0, 又132,4b故 f(x)在 x=a 处取最小值 2a, 即2139()()0,4f 213,a解得 于是得7;a217,4a(3) 当 时, f(
10、x) 在a, b上单调递增,故 f(a)=2a, f(b)=2b, 即0b. 由于方程 的两根异号,故满足22133,b2130x的区间不存在. a综上所述,所求 .1734ab、16.22,1, ?yxyRxy、解:由公式 得2ab222211321(14xyxyxyAA当且仅当 ,即 时上式取等号23,2故 得最大值为21xy417、 当 时，则12()(0),xfmxR12x12()fxf数列 ，已知 ，求 anna()(n nfff解：当 时，则12x12)x(0),(fffn、1)(24n naf18、函数 有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任何 x，(yfxg、有 且当
11、时， ，则()0,)(1,f x0()1gx2()()1fFfg判断 F(x)奇偶性解： ，()()fxfxf()()xx21()()1()()() 1()1()()ffgFfgfxfxgfgfxFxF(x)是偶函数。50、函数 f(x)的定义域为 D，如果对于任何一个 ，都有唯一的 和它对应，并1xD2xD使 （c 为常数）成立，则称函数 在 D 上的均值为 c；给出下列12()fxf()yf四个函数： ，则满足在定义域上均值为 23()4sin(3)lg4xyxx的函数是_解 1：化为几何语言对任意 ，做直线 （垂直于 y 轴）关于直线 y=2 的对称直线 ，xD1()yfx 14()yf
12、x若都有此直线 于函数 有唯一交点则函数 为均值函数，故14()f()f ()fx（1） ， （3）为均值函数。解 2：化为方程语言对任意 ，关于 x2 的方程 都有唯一的解，则函数 为均值1xD21()4()fxf()yfx函数，故（1） ， （3）为均值函数。51、 029098 供题http:/ 两方程的四根成等差数列，等差数列的首项为 1/4，则220,0xaxba+b=?解：设 1/4 是方程 的根，则另一根是 3/4，所以 a=3/162设方程 的两根分别为 ，20xb12,x1234x由于 是等差数列的四项，由等差数列的加法对称性可知这个等差数列为1234、，由此得公差12x、
13、123574,641dxx35751.42ba52、淘淘 供题 http:/ x 得不等式 |1|1xxaa解：即 ，即01 100x当 时， 解集0a10x|1x当 时， 解集a|xa当 时， 解集0a10x1|、53、供题人淘淘 http:/ 772(lg3)(llg30xx解： )(l)x设 ，则原不等式就是7()fx(lg)ff由于函数 时 上的增函数，故xR3(l)lg3lfxx32lg10x54、3220876 供题http:/ 中，A60， ，求：1,3bS(1) sinsinabcBC、(2) ABC 的内切圆的半径长解：(1) o1ii603,42Sc2 2cos143abA39sinsiniaABC(2)设半径为 r可求出 r1()32abc55、3220876 供题http:/ ABCD 的边长分别是 AB=2, BC=6, CD=DA=4.求四边形 ABCD 的面积解：由余弦定理 BD24+36 226cos A 4024cosABD216+16 244cosC 32+32cosA4024cosA32+32cosA，cos A 1/7， 43sin7112sini 822SDBB
