1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高 考理科数学 第二次模拟考试 题 数学（理工类）试题 考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分 第卷 （选择题 共 60分） 注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3本卷共 12小题，每小题 5分 ，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 ,AB互斥，那
2、么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 如果事件 ,AB相互 独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 1 nkkknnP k C P P 球的表面积公式 24SR ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式 343VR ，其中 R 表示球的半径 一、选择题 1. cos( )46( ) A 6244 B 6244 C 2644 D 2644 2.计算 222()13ii的值为 ( ) A 13i B 2 2 3i C 13i D 3 i 3.“ 1a ”是“ 1 1a
3、”成立的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 4.函数 2( ) ( 1) 1( 1)f x x x 的反函数为（ ） A 1 ( ) 1 1 ( 1)f x x x B 1 ( ) 1 1 ( 1)f x x x C 1 ( ) 1 1 ( 1)f x x x D 1 ( ) 1 1 ( 1)f x x x 5.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ） A 16 种 B 18种 C 37种 D 48种 6.已知 | | 2 2 , | | 3 , ,
4、5 2 , 34p q p q a p q b p q 与 的 夹 角 为 则 以 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为 （ ） A 15 B 14 C 15 D 16 7.连续掷一枚均匀的正方体骰子 (6 个面分别标有 1， 2， 3， 4， 5， 6)。现定义数列1, 31, 3na 点 数 不 是 的 倍 数 ,点 数 是 的 倍 数 , 设 nS 是其前 n 项和，那么 5 3S 的概率是 ( ) A 80243 B 10243 C 20243 D 40243 8.各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为 nS ，若 32, 14nnSS，则 4nS 等于（ ） A 16 B 26
5、 C 30 D 80 9.已知球 O 的半径为 2cm， A、 B、 C 为球面上三点， A 与 B， B 与 C 的球面距离都是 cm ，A 与 C 的球面距离为 cm，那么三棱锥 O ABC 的体积为（ ） A B C D 10.已知函数 )(xf 的导数 axxfaxxaxf 在若 )(),)(1()( 处取到极大值，则 a 的取值范围是（） A ( , 1) B ( 1,0) C (0,1) D (0, ) 11.在 Rt ABC 中， AB=AC=1，若一个椭圆通过 A、 B 两点，它的一个焦点为点 C，另一个焦点在线段 AB 上，则这个椭圆的离心率为（ ） A 263 B 12 C
6、 2 36 D 36 12.对于函数 1( ) ,1xfx x 设 2 3 2 1( ) ( ) , ( ) ( ) , , ( ) ( ) nnf x f f x f x f f x f x f f x （ *nN 且 2n ），令集合 2009 ( ) ,M x f x x x R ，则集合 M 为（ ） A 空集 B.实数集 C.单元素集 D.二元素集 第 卷 注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码 .请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 . 2请用黑色签字笔在答 题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 . 3本卷共
7、 10小题，共 90分 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 设函数20() 0xexfx a x x ， （ ）， （ ）为 R 上的连续函数，则 a = 。 14. 已知 302 3 02 3 0xyxyxy ， 73z x y，则 z 取得最大值时的最优解为 。 15.若 6 2 60 1 2 6(1 )m x a a x a x a x 且 1 2 6 63a a ,则实数 m 的值为 16. 给出下列命题： 若 812484 , SSSSSnSa nn 则项和是前成等比数列 成等比数列； 已知函数 2),0()s i n (2 yxy 其图象与
8、直线为偶函数 的交点的横坐标为 2,2,|.,2121 的值为的值为则的最小值为若 xxxx ； 函数 axxfy 的图象与直线)( 至多有一个交点； 函数 ).0,12()62s in (2 的图象的一个对称点是 xy 其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分） 在 ABC 中，角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，且 tan 21tan AcBb （ 1）求角 A； （ 2）若 m (0, 1)， n 2cos , 2 cos 2CB ，试求 |mn|
9、的最小值 18（本题满分 12 分） 盒 子中装着标有数字 1,2,3,4,5 的卡片各张，从盒子中任取张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 张卡片上的最大数字，求： （ 1）取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率； （ 2）随机变量 的概率分布和数学期望； 19（本题满分 12 分） 已知矩形 ABCD 中， AB= 2 ， AD=1. 将 ABD 沿 BD 折起，使点 A 在平面 BCD 内的射影落在 DC 上 . （ ）求证：平面 ADC 平面 BCD； （ ）求点 C 到平面 ABD 的距离； （ ）若 E 为 BD 中点，求二面角 B-AC-E 的大小 . 20
10、（本题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项之和为 nS ，点 ( , )nSnn 在直线 21yx上，数列 nb 满足 nnn abbb 3 13 13 1 221 ( *nN )。 （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）求数列 nb 的前 n 项之和 nT ； （ 3）是否存在常数 ( 1)pp ，使数列 )3(3 pnTnn是等比数列？若存在，求出 p 的值 ；若不存在，请说明理由。 21（本题满分 12 分） 已知椭圆 C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 32yx 与椭圆 C 在第一象限内的交点是M ，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 2F ，另一个焦
11、点是 1F ，且1294MF MF。 （ 1）求椭 圆 C 的方程； （ 2）直线 l 过点 ( 1,0) ，且与椭圆 C 交于 ,PQ两点，求 2FPQ 的内切圆面积的最大值。 22（本题满分 12 分） 已知函数 2( ) lnf x x a x 在区间 (1,2 上是增函数， ()g x x a x 在区间 (0,1) 上为减函数 （ 1）求实数 a的值； （ 2）设函数21( ) 2x bx x 是区间 (0,1 上的增函数，且对于 (0,1 内的任意两个变量,st， ( ) ( )f s t 恒成立，求实数 b 的取值范围； A B C D BDACE（ 3）设 3( ) ( ) (
12、 ) 2h x f x g x x x ，求证： * ( ) 2 ( ) 2 ( )n n nh x h x n N 数学 参考 答案 一、选择题（ 12 5=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A D C C B C A B D A 二、填空题 （ 4 5=20 分） 13.1 14.(3,3) 15.1或 -3 16. 三、解答题： 17（本题满分 10 分） （ 1） t a n 2 s i n c o s 2 s i n11t a n s i n c o s s i nA c A B CB b B A B ， 即 s i n c o s
13、 s i n c o s 2 s i ns i n c o s s i nB A A B CB A B ， sin( ) 2 sinsin cos sinA B CB A B ， 1cos2A -3 分 0 A， 3A -4 分 （ 2） mn 2( c o s , 2 c o s 1 ) ( c o s , c o s )2CB B C ， -5 分 |mn| 2 2 2 2 2 2 1 c o s c o s c o s c o s ( ) 1 s i n ( 2 )3 2 6B C B B B -7 分 3A， 23BC， 2(0, )3B 从而 726 6 6B -8 分 当 sin(
14、2 )6B 1，即 3B时， |mn|2 取得最小值 12 所以， |mn|min 22 -10 分 18. （本题满分 12 分 ） 解：（）记一次取出的张卡片上的数字互不相同的事件为， 则 .32)( 31012121235 C CCCCAP-4 分 （）由题意 有可能的取值为：， )2(P .30131022121222 C CCCC )3(P .15231022141224 C CCCC )4(P .10331022161226 C CCCC )5(P .15831022181228 C CCCC所以随机变量 的概率分布为： 301 152 103 158 所以 的数学期望为 2 30
15、1 3 152 4 103 5 158 313 -12 分 19. （本小题满分 12 分） 方法 1： （ ）证明： 点 A 在平面 BCD 上的射影落在 DC 上，即平面 ACD 经过平面 BCD 的垂线， 平面 ADC 平面 BCD. -2 分 （ ） DA 平面 ABC. 平面 ADB 平面 ABC.过 C做 CH AB 于 H， CH 平面 ADB，所以 CH 为所求。且 CH= 22 即点 C 到平面 ABD 的距离为 22 . -7 分 （ ）解： 取 AB 中点 F ，连 EF E 为 BD 中点 /EF AD 由（ ）中结论可知 DA 平面 ABC， EF 平面 ABC. 过
16、 F 作 FG AC，垂足为 G，连结 EG， 则 GF 为 EG 在平面 ABC 的射影， EG AC EGF 是所求二面角的平面角 . 在 ABC 中 ,FG AC BC AC/FG BC FG 12 BC 12 , 又 EF/ 12 AD， EF 12 在 Rt EFG 中容易求出 EGF=45. 即二面角 B-AC-E 的大小是 45. . -12 分 20. （ 本小题满分 12 分 ） （ 1） 由已知条件得 nSn =2n+1 S n=n(2n+1) . -2 分 当 n=1 时 ,a1=S1=3; 当 n 2 时 , an=Sn-Sn-1=4n-1 a1符合上式 an=4n-1
17、; -4 分 （ 2）nnn abbb 3 13 13 1 221 111221 3 13 13 1 nnn abbb 43 11 nnnn aab bn=4 3n+1 Tn=6(3n-1)+n; -8 分 (3)设ppnTc nnnnn 3 )13(2)3(3，假设存在常数 p(p -1)使数 列 nc 为等比数列 ,则有 3122 ccc 解得 p=-81 当 p=-81 时， 4c 不存在，不存在常数 (p -1)使数列 nc 为等比数列 . -12 分 21.（本小题满分 12 分） （ 1）设椭圆方程为 22 1( 0 )xy abab ，点 M 在直线 32yx 上，且点 M 在
18、x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 2( ,0)Fc ， 则点 M 为 3( , )2cc。 -1 分 12 2M F M F a ，而 12MFF 为 Rt ，则有 2 2 21 2 2 2M F M F F F 则有 12 4MF MF c ，所以 2ac -2 分 又因为12 3 3 9( 2 , ) (0 , )2 2 4M F M F c c c 所以 1, 2, 3c a b -3 分 所以椭圆方程为： 22143xy -4 分 （ 2）由（ 1）知 1( 1,0)F ,过点 1( 1,0)F 的直线与椭圆 C 交于 ,PQ两点，则 2FPQ 的周长为 48a ，则 2 1 4
19、2F PQS a r （ r为三角形内切圆半径），当 2FPQ 的面积最大时，其内切圆面积最大。 -5 分 设直线 l 方程为： 1x ky， 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y，则 12 2222212 26134( 4 3 ) 6 9 0914334kx k y yykk y k yxyyy k -7 分 所以221 2 1 2 21 1 2 12 3 4F P Q kS F F y y k -9 分 令 2 1kt ，则 1t ，所以21213F PQS t t ，而 13t t 在 1, ) 上单调递增， 所以212 313F PQS t t ，当 1t 时取
20、等号，即当 0k 时， 2FPQ 的面积最大值为 3，结合21 432F PQS a r ，得 r的最小值为 34 -12 分 22.解： (1) ( ) 2 ( 0 )af x x xx ，依题意 ( ) 0, (1, 2f x x， 22 , (1, 2a x x， 2a 1 分 又 ( ) 1 ( 0 )2 ag x xx ，依题意 ( ) 0, (0 ,1)g x x 2 , (0,1)a x x， 2a 2 分 2a 3 分 （ 2）由（ 1）可知 2 2 ( 1 ) ( 1 )( ) 2 0 , (0 , 1 )xxf x x xxx ()fx在 (0,1)x 上为减函数，且 (
21、) (1) 1f x f ()x 在 (0,1x 上为增函数，32( ) 2 0 , (0 ,1 x b xx 31 , (0,1bxx ， 1b 5 分 又在 (0,1x 上 ( ) (1) 2 1xb ，依题意有 2 1 11bb 11b 6 分 （ 3）证明： 31( ) ( ) ( ) 2 ( 0 )h x f x g x x x xxx 7 分 当 1n 时， 11 ( ) 2 2 , ( ) 2 2n n nh x x h x xxx ，原式成立 8 分 当 2n 时， 11 ( ) ( ) nn n nnh x h x x xxx 20 1 1 2 21 1 1 1. nn n
22、n n nn n n n nC x C x C x C xx x x x 211 1 2 2 11 1 1. nn n nn n nC x C x C xx x x 1 2 2 4 3 6 1 21.n n n nn n n n nC x C x C x C x 9 分 1 2 2 4 3 6 1 22 4 6 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) . . ( )2 n n n n nn n n nn n n nC x C x C x C xx x x x 10 分 由已知 0x ， 1 2 3 1 ( ) ( ) . . . 2 2n n n nn n n nh x h x C C C C ，原不等式成立 综上所述， * ( ) 2 ( ) 2 ( )n n nh x h x n N 12 分
