1、1高二数学竞赛班一试讲义第 6 讲 平面向量与空间向量班级 姓名 一、知识要点：1. 叫做 在 方向上的投影； 叫做 在 方向上的投影。cosbacosab 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上的投影 的乘积abacosb2.向量处理方法：（建系、几何、取基底）3.向量的插点： ,ABCBCA4. 三点共线, (1)OOB5.点 是 内任一点，则有：O0BCOCAABSS点 在 外时，面积有正负，则等式仍成立6.可以进行合情推理，空间中也有点 是四面体 内任一点，则有：D0OBCDOCAODABOABCVVD7. 内各种心的向量关系A利用第5点结论有：1） 是重心 ： G02） 是
2、内心 ：IabIc3） 是外心 ： ，sin2sisin20AB另有 ， ，1AOB1OCA 221OCAB4） 是垂心 ： ，HtatataH二、例题精析例 1已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 120，,(0,)1求 的取值范围。例2已知 是锐角 的外心， ， ，若 ，OABC610ACOxAByC且 ，则 = 105xycos2例3在ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上若ABC的面积为2，则 的最小值是_CB例 4(1)已知 是棱长为 的正方体内切球的直径， 是该正方体表面上一点，NM,2P则 的最大值为 P(2)若 满足 ， ，且 ，cba,|b1|c0)
3、(cba则 的取值范围是 |例 5(1)在 中， ， 是 的中点若 ，ABC90MBC1sin3BAM则 tan(2)在正 中，已知 ，则 与 的夹角是_230APPC例 6已知直线 与抛物线 交于 两点， 为 的中点， 为抛物线上一AB24yx,ABMAC个动点，若 满足 ，则下列一定成立的是 （ 0C0minC）A. B. 其中 是抛物线过 的切线0M0,l0C. D. AB12AB例 7已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过 作动直线 与椭圆 交于 两点，213xyFl,AB点 在椭圆上运动， 为坐标原点，若点 满足 ，则称点 为“好COCOAC点” ，则椭圆上“好点”的个数有 （ ）（A）0
4、个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个3三、精选习题1已知非零向量 满足 ，且 , 则ABC 为( )ACB, 0)(BCA21ACA.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形2已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则，ab c()0abc的c最大值是 （ ）A B C D12223已知ABC 平面内一点 O 满足 , 则 O 一定22ABOCAB为ABC 的 ( )A外心 B内心 C重心 D垂心4若非零向量 满足 ，则 （ ），abb 22a2ab2ab5已知向量 ， ， ， 。则01(,)31(,)c31(,)xyzc(1,)的最小值
5、为 （ ）22xyz（A） （B ） （C） （D ）43226如图，在直角梯形 ABCD 中，ABAD，AB/CD，ADCD 1，AB3，动点 P 在BCD 内运动( 包含边界 )，设 ，则 的取值范围是 ( )ABPA. 1， B. ， C. ， D. 1， 353453447已知向量 满足 ， ，则 的最小值为( ),abc|2ba()20cb|bcA B C D21728设 是边 上一定点，满足 ，且对于边 上任一点 ，0,PBCABP40 P恒有 。则 （ 0）A. B. C. D.9A09BACCBCA9已知向量 ， ， ,则 是（ O(1,sin)(cos,1)()2O面 积 的
6、 最 小 值）A B CD81410在直角三角形 C中， 90A， B，点 P是斜边 AB上的一个三等分点，则 P 11在直角坐标系 中，已知点 和点 ，若点 在 的平分线上且xOy)1,()4,(O，则 24POBA12在ABC 中，若 ，则 ABCBA213 tan13如图 2, , 点 在由射线 , 线段 及 的延长线围成的区域内 (不OM/POM含边界)运动, 且 ,则 的取值范围是_; 当 时, 的ByAxx21xy取值范围是_. 14如上右图所示，O、A、B 是平面上的三点，向量 a， b 点 P 是线段 AB 的OAB垂直平分线上任意一点， p ，若| a|=4，|b|=2，则
7、OP)(p15在 中， ， 设 是 的内心，若 ，则C2BA3ACCACqpqp的值为 来源:学_科_网16若等边 的边长为 ，平面内一点 M 满足 ，32B3261则 MBA17设 为单位向量，非零向量 ，若 的夹角为 ，则21,e Ryxeb,21 21,e6的最大值等于_。|bx18已知ABC 中， ， ，点 是线段 （含端点）上的一 点，ABC|AMBC且 ，则 的最小值为 ()119已知 中，点 是 外心 ， ，O45，则 _。cossinimC20设向量 满足| |=| |=1, , ，则 的最大值是 ab、 、 ab1=23=2cbc21已知向量 a = ( 1, 2)，又点 A
8、 ( 8, 0), B ( n, t ),C(ksin, t)，(0 ).(1) 若 a ，且| |= | |，求向量 ;AB5O(2) 若向量 与向量 a 共线，当 k4 时，且 tsin取最大值为 4 时，求 .COAC图2O ABPM5高二数学竞赛班一试讲义第 6 讲 平面向量与空间向量例1 【解】方法一：几何，圆周角 表示 ， 表示 ， 表示OBAB与 的夹角为 12060故点 在图示圆弧（半径为 ）上运动3故 23方法二： 法令 ， 与 的夹角为120t1cos20t221t tt2210t2234(1)故 30例2 AOxByC221AOBxyACB136()0cos同理： 22x
9、y16cs0()2xy联立 得36180coss52Axy 3cos(,53BAC舍 去 ） 或例3 【解】方法一 如图，设PD ，BDx，DCy则 h(xy)412h 2()()PCBPD2CB21()4hxyOBAAB CPE FD62221()()4hxy3221()4hxy3方法二 设PBC中点P，B，C所对的边分别为 ,pbc由题设知 ，sinbc 222cos(os)cosPbPbPin设 ，则 ，即 (s)infP21cs()0f1s2此时 的最小值为 2CB3方法三 如图建立平面直角坐标系，过点P作PD垂直BC于D，则设 ， ，(,0)Ba(,)C1(,)xa2 21()4ax
10、a2223xa例 4(1)2(2) ） 设 ，点 在以 为直径的圆上，设 的17,OABbCcABAB中点为 ，则有 ，则M22M，解不等式得2 24()4()AB 7171例 5(1) (2)150o例 6B 提示： 2()()()CCBCABM。22 minminMAl例 7C 提示：由 知四边形 为平行四边形，则 相互平分，OO,OCA设 中点为 ，有点差法得 ，即B0(,)xy0203MFxyk，00231xy又 ，解得2()()001,4xy71D 2C 3D 4A 5B 6D 7A 8D 9D 104 11 0(,)512 提示：由已知得： )()(21)(31 222 acbabac 得： ： ： 5：3：4，由余弦定理得：2ab2 31osA13 , 146 15 12 (0)1172 18 19 20. 221.(1) 或 (4,8)OB(,)（2） ，sin16tk2 243sisin16si(sin)tkkk， 3,2AC
