1、 绝密启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 注： 解析 仅代表个人观点 ，错误 在所 难免，谨此就教于各位。 参考公式： 样本数据 12, , , nx x x 的方差 221111( ) ,nniiiis x x x x 其 中一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。 请把答案填写在 答题卡相应的位 置上 . 1.若复数 124 2 9 , 6 9z i z i ，其中 i 是虚数单位，则复数 12()z z i 的实部为 . 20 。 2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ， | | 2,| | 3ab，则向量 a 和向量 b 的
2、数量积ab . 32 3 32 ab 。 3.函数 32( ) 1 5 3 3 6f x x x x 的单调减区间为 . 2( ) 3 3 0 3 3 3 ( 1 1 ) ( 1 )f x x x x x ，由 ( 11)( 1) 0xx 得单调减区间为( 1,11) 。 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题 第 14 题）、解答题（第 15 题 第 20 题）。本卷满分160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填
3、写在试卷及答题卡的规定位置 。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 4.函数 s i n ( ) ( , ,y A x A 为常数， 0, 0)A 在闭区间 ,0 上的图象如图所示，则 . 32T ， 23T ，所以 3 ， 5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m）分别为 2.5， 2.6，
4、 2.7，2.8， 2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 0.2。 6.某校甲、乙两个班级各 有 5 名编号为 1， 2， 3， 4， 5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表： 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s . 25 。 7.右图 是一个算法的流程图，最后输出的 W . 228.在平面上，若两个正三角形的 边 长的比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4，类似地，在 空间 ，若两个正四面体的棱长的比为 1： 2，则它
5、们的体积比为 . 1： 8。 9.在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 在曲线 3: 1 0 3C y x x 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P的坐标为 . ( 2,15) 。 10. 已知 512a ， 函数 () xf x a ，若实数 ,mn 满足( ) ( )f m f n ，则 ,mn的大小关系为 . mn 。 11.已知集合 2| lo g 2A x x， ( , )Ba ，若 AB 则实数 a 的取值范围是 ( , )c ，其中 c . 4 由 2log 2x 得 04x， (0,4A ；由 AB 知 4a ，所以 c 4。 1 1 23
6、3 O x y 开始 0S 1T 2S T S 10S 2TT W S T 输出 W 结束 Y N 12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： （ 1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； （ 2）若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行； （ 3）设 和 相交于直线 l ， 若 内有一 条直线垂直于 l ，则 和 垂直； （ 4）直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直 . 上面命 题中， 真命题 的序号 （写出所有真命题的序号） . （ 1 ）（ 2 ）。 13 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中， 1
7、 2 1 2, , ,A A B B为椭圆2222 1 ( 0)xy abab 的四个顶点， F 为其右焦点，直线 12AB 与直线 1BF 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 . 2 7 5e。 14 设 na 是公比为 q 的等比数列， | |1q ，令1 ( 1 , 2 , )nnb a n 若数列 nb 有 连 续 四 项 在 集 合 5 3, 2 3,1 9 , 3 7 , 8 2 中，则 6q . 69q 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤 . 15（本小
8、题满分 14 分） 设向量 ( 4 c o s , s i n ) , ( s i n , 4 c o s ) , ( c o s , 4 s i n ) a b c （ 1）若 a 与 2bc垂直，求 tan( ) 的值； （ 2）求 |bc的最大值 ; （ 3）若 tan tan 16，求证： a b . x y A1 B2 A2 O T M 所以 a b . 16（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， E,F 分别是 11AB,AC 的中点，点 D 在 11BC 上，11AD BC 求证：（ 1） EF ABC平 面 （ 2 ）1 1 1A F D
9、 B B C C平 面 平 面17（本小题满分 14 分） 设 na 是公差不为零的等差数列， nS 为其前 n 项和，满足 2 2 2 22 3 4 5 7 7a a a a , S （ 1）求数列 na 的通项公式及前 n 项和 nS ； （ 2）试求所有的正整数 m ，使得 12mmmaaa 为数列 na 中的项 . （ 1） 设公差为 d ，则 2 2 2 22 5 4 3a a a a，由性质得 4 3 4 33 ( ) ( )d a a d a a ，因为 0d ，所以 430aa，即 12 5 0ad，又由 7 7S 得1 76772ad，解得 1 5a ， 2d A B C A
10、1 B1 C1 E F D 18（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 221 : ( 3 ) ( 1 ) 4C x y 和圆 222 : ( 4 ) ( 5 ) 4C x y （ 1）若直线 l 过点 (4,0)A ，且被圆 1C 截得的弦长为 23，求直线 l 的方程； （ 2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线 12ll和 ，它们分别与圆 1C 和圆 2C 相交，且直线 1l 被圆 1C 截得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标 . 0y 或 7 ( 4)24yx ， 点 P 坐标为 3 1
11、3( , )22 或 51( , )22 。 19.(本小题满分 16 分 ) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为 mma ；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为nna .如果一个人对两种交易 (卖出或买进 )的满意度分别为 1h 和 2h ，则他对这两种交易的综合满意度为 12hh . x y O 1 1 . . 现假设甲生产 A、 B 两种 产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、 B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元，甲买进
12、A 与卖出 B的综合满意度为 h甲 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙 (1) 求 h甲 和 h乙 关于 Am 、 Bm 的表达式；当 35ABmm时，求证： h甲 =h乙 ； (2) 设 35ABmm，当 Am 、 Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3) 记 (2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 0hh甲 和0hh乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 (4) 求 h甲 和 h乙 关于 Am 、 Bm 的表达式；当 35ABmm时，求证： h甲 =h乙 ； (5) 设 35ABmm，当
13、Am 、 Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (6) 记 (2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 0hh甲 和0hh乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 (2) 当 35ABmm时，2211=,2 0 5 1 1( 2 0 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 0 0 ( ) 2 5 1BBBB B B Bmhmmm m m m 甲由 1 1 1 5 , 2 0 , 2 0 5B Bm m得，故当 1120Bm 即 20, 12BAmm时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 105 20 (本小题
14、满分 16 分 ) 设 a 为实数，函数 2( ) 2 ( ) | |f x x x a x a . (1) 若 (0) 1f ，求 a 的取值范围； (2) 求 ()fx的最小值； (3) 设函数 ( ) ( ) , ( , )h x f x x a ， 直接写出 (不需给出演算步骤 )不等式 ( ) 1hx 的解集 . (4) 若 (0) 1f ，则20| | 1 11aa a aa (5) 当 xa 时， 22( ) 3 2 ,f x x a x a 22m i n( ) , 0 2 , 0() 2( ) , 0 ,03 3f a a a afx a afa a 当 xa 时， 22( ) 2 ,f x x a x a 2m i n 2( ) , 0 2 , 0() ( ) , 0 2 , 0f a a a afx f a a aa 综上 22m in2 , 0() 2 ,03aafx a a (3) ( , )xa 时， ()1hx 得 223 2 1 0x a x a ，2 2 24 1 2 ( 1 ) 1 2 8a a a 当 6622aa 或 时， 0, ( , )xa ； 本资料来源于七彩教育网 http:/
