1、1高中数学专题复习之分类讨论思想浅析(应城二中 张红超 刘辉 432400)分类讨论思想是高中数学教学中一种重要的思想方法，在高中数学的各知识环节中得到广泛应用。近几年来高试题中，分类讨论思想被列为一种重要的思维方法来考查，几乎是每年高考的必考内容。而对于这类问题，通常是考查一些含参数的问题，一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围） ，去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。解决高中数学中的含参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，即根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质以及运算
2、的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易。化繁为简的解题策略和方法。一、明确科学合理的分类对于在解题过程中遇到不能统一研究的问题时，需要对其进行分类研究，也就是我们所说的分类讨论，然后对每一个分类进行研究，得出每一类的分析结果，并通过综合各类结果得出整个问题的解答。那么首先我们应该选择科学合理的分类，也就是要弄清问题所包含的各种可能性和不同的层次，然后再逐一分类研究。我们可以用集合语言符号来表达这一过程：把一个集合 分成若干个非空的真子集AiA，使集合 中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。
3、即)321(ni、),2(NA ；An3 .ji),(jiji且以上过程我们称为对集合 进行了一次科学的分类（或称为一次逻辑划分） 。科学的分类满足两个条件：条件保证分类不遗漏；条件保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。二、合理分析并确定分类标准在需要用分类讨论思想解决的问题中，许多学生关键在于不知道如何分类，或者是分类不全，换句话说就是没有找到分类的精髓-分类的标准。只有找到了分类的标准，知道了按照什么去分类，才不至于无从下手，或是出现分类时遗漏、重复的情况。一般来讲，比较常见的分类标准的确定通常有三种：（1）根据数学概念、定义来进行分类讨论.许多数学概念是分类定
4、义的，或是受到一些条件限制，解题时遇到这类包含概念的问2题，就要进行分类讨论。如绝对值、偶次根式、分段函数、函数单调性、解析几何中二次曲线的分类等。 例如：绝对值的定义是： )0(|xx所以在解含有绝对值的不等式 时，就必须根据确定 和 正4211x2负于是分情况讨论 与 、 的大小关系，即分 ， 和 三种情形x21分类讨论。 例 1.集合 ， ，且 ,求实数 的值.01|aA03|2xBBAa解析：由 可知 ,此时很容易遗漏 的情况；而 ,对于方A21程 的根要分 和 两种情况讨论.01ax解：因为 ,所以 , 而 .,023|2x当 时, 方程 无实根, 此时 ,01axA满足 ,所以 符
5、合题意BA当 时, 方程 有实根 , 此时0axax1a1要使得 ,则 或 , 解得 或 .1a22综上可知, 所求的实数 或 或 .01（2）根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准。数学中的某些公式，定理，性质在不同条件下有不同的结论，当解题过程中需要突破某些限制条件时,就必然要进行分类讨论，分类的依据可能就是是公式中的一些限制条件。例如，对数函数 的单调性是分 和 两种情况给出的，所以在解xyalog10a底数中含有字母的不等式，如 就应以底数 和 进行分类讨论，即：31x x1当 时， ，, 当 时， . 10x3又如，等比数列前几项和公式是分别给出的： )1(1)(qanSn3所以在
6、解这类问题时，如果 是可以变化的量，就要以 为标准进行分类讨论。qq还有分段函数，本身就是一种分类讨论，需对函数的每一段情况分别进行研究。例 2.已知函数 在 上是减函数，求 的取值范围.fxax()321Ra分析：本题是以导数为工具，研究函数单调性的问题，所以求导数是必不可少的步骤。求出 恒小于零时 的范围，因已知 ，故需对 的取值范围分类讨论。f() a解：求函数 的导数，得 fx()fxx()3612当 时， 是减函数.R0.36102032axxaa()且 所以当 时，由 ，知 是减函数.ffxR()所求范围 只是所求取值范围的一部分，是它的充分条件。还需对 的取值范)(， a围进行分
7、类，再对每一类研究 是否是 上的减函数。 因为由已知解析式可知 的取fx()值范围是全体实数，所以再划分为3 与 两类来讨论。)3，（1）当 时， .a3fxxx()()13892由函数 的单调性及图象的平移变换，可知当 3 时， 是减函数；y afxR()（2）当 时，在 R上总存在一个区间，其上有 ，所以当 时，函a3f()0a3数 不是减函数.fx()综上可知，所求 a的取值范围是（ .， 3本题的分类与整合完全是由教材中学习的函数单调性与导数的关系定理是非充要的所引发的，先求出所求取值范围的一个充分条件，然后再分类研究。应当注意的是，本题是对 的取值范围的分类，而不是对 的正、负、零的
8、分类，弄清楚分类对象是至关重要afx()的。（3）根据运算的需要确定分类标准。有的数学运算有严格的限制，解题时必须按要求进行。如除法运算中除式不能为零；在实数范围内开偶次方被开方数必为非负数；解方程、不等式时，两边分别乘同一个数是4否为零、是正数还是负数等都需要按不同的运算要求分类讨论。例如：解不等式组 ， 显然，应以 , 为标准将 分为 ，ax14334a31， 三种情况进行讨论。43a例 5.解不等式 .)10(29log， 且ax分析：因未知数出现在指数位置时常取对数（这里显然以 为底） ，但不等号的方向如a何确定？需要分类讨论。解：因 ，则原不等式等价于 . （*）20axa292lo
9、g（1）当 时， （*）的两边取以 为底的对数，得a，92402(log)l(l)laaax x解得 ，所以 或 .ogax14或 0（2）当 时，则有 0(l)(log)1aax解得 ，所以 .lax4综上可知原不等式的解集为：；aa104时 ， 或| .4x时 ， |当然，以上所提到的三种是一些常见的分类讨论问题的分类标准，对于高中数学中的许多问题，可能还有一些问题需要其他的分类标准。三、掌握分类讨论的方法和步骤(1)确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围；(2)确定分类标准科学合理分类；(3)逐类进行讨论得出各类结果；(4)归纳各类结论。例 6.已知函数 ,试求以 表示
10、的最大值 .2sini)(2xaxf),(Raa)(xfb解：原函数化为 f 16)(co2令 ，则xtcos1t5记 （ , ,)(tgt16)4()22at1因为二次函数 的最大值的取得与二次函数 的图象的顶点的横坐标相对于(t )(tgy定义域 , 的位置密切相关，所以以 相对于区间 , 的位置分三种情况讨论：14a1(1) 当1 1，即4 4 时， , 此时 ；4amax)(tgb6)42t4a(2) 当 1, 即 4 时， , 此时 ；t1(3) 当 1, 即 4 时， 0, 此时, 1；ab综上所述： b)4(,16)()(02a例 7.解关于 的不等式： y xxx23略解：运用数形结合的思想解题如图： 在同一坐标系内作出 和y2的图象，xay以 , , 在 轴上的截距作为分类标准， -1 0 3 x 1L23知: 当 1 时；1 3 L 1 L2 L3 x当1 3 时； 3 a27aax当 3 时；2 2711 aa当 1+2 时，不等式无解。a总而言之，分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想，函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论，从而达到迅速、准确的解题效果。3
