1、高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高 2010 级数学高考总复习 第 1 页 共 33 页 高三年级数学组高高 中中 数数 学学 总总 复复 习习 知知 识识 要要 点点1. 集合与简易逻辑1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.2. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为 ； 空集是任何集合的子集，记为 ；AA空集是任何非空集合的真子集；如果 ，同时 ，那么 A = B； 如果 .BAC， 那 么，注 ：Z= 整数（） Z =全体整数 （）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（） （例：S=N； A= ，则 CsA= 0）N 空集的补集是全集； 若
2、集合 A=集合 B，则 CBA = ， CAB = CS（C AB） = S （ 注 ： CAB = ） .3. （x ， y）|xy =0，xR ，y R坐标轴上的点集；（x ， y） |xy0，xR，yR 二、四象限的点集；（ x， y）|xy 0，xR ，yR 一、三象限的点集.注 ：对方程组解的集合应是点集. 例： 解的集合 (2，1).132yx点集与数集的交集是 . （例：A =(x，y )| y =x+1 B=y|y =x2+1 则 AB = ） 4. n 元素集的子集有 2n 个. n 元素集的真子集有 2n 1 个. n 元素集的非空真子集有 2n2 个.5. 一个命题的否命
3、题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.例：若 应是真命题.35bab或， 则解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. .，且1yxyx解：逆否：x + y =3 x = 1 或 y = 2.,故 是 的既不是充分，又不是必要条件.2且 321yx且小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若 . 命题的充要关系可以用集52x ， 或 合的观点来理解，即“若 ，则 的充分条件” ；“若 ，则 ABB是 ABxB是的充分不必要条件” ；“若 ，则 的充要条件” ，等等.x是（3）可从逻辑关系
4、上来理解充要条件：如“ 是 的充分不必要条件 是 的充分不必要条件”pqqp.2. 函数1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高 2010 级数学高考总复习 第 2 页 共 33 页 高三年级数学组在 上为减函数 .），（），（ 2103. 反函数定义：只有满足 ，函数 才有反函数. 例： 无反函数.yx 唯 一 )(xf2xy函数 的反函数记为 ，习惯上记为
5、 . 在同一坐标系，函数 与它的)(fy)(1f1y )(xfy反函数 的图象关于 对称.1注 ：一般地， 的反函数. 的反函数是 ；而x3)不 是 1=f(3)3f的反函数是 .(3)fx1(yf4. 单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.设函数 y = f（x）定义域，值域分别为 X、Y. 如果 y = f（x）在 X 上是增（减）函数，那么反函数在 Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. )(1f一般地，如果函数 有反函数，且 ，那么 . 这就是说点（ ）在函数)(
6、fbaf)(af)(1 ba,图象上，那么点（ ）在函数 的图象上.ab,15. 指数函数： （ ） ，定义域 R，值域为（ ）.xay0 ,0当 ，指数函数： 在定义域上为增函数；1 xay当 ，指数函数： 在定义域上为减函数.0 当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.a xayy01a 6. 对数函数：如果 （ ）的 次幂等于 ，就是 ，数 就叫做以 为底的 的对数，0,1 bNbaN记作 （ ，负数和零没有对数） ；其中 叫底数， 叫真数.bNalog对数运算： nanaaacbNanaaaaNMN1121 logl.logllllog1loglll og)(3)12)1(
7、推 论 ：换 底 公 式 ：（以上 ）2n0,0,b,c.01 且注：当 时， .b )log()l()log(ba：当 时，取“+” ，当 是偶数时且 时， ，而 ，故取“”.M nM n 例如： 中 x0 而 中 xR）.xaaal2(llog22la （ ）与 互为反函数.xy0,1 ylog yxO1=x0高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高 2010 级数学高考总复习 第 3 页 共 33 页 高三年级数学组当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.1a xyalogx01a 7. 奇函数，偶函数：偶函数： ；设（ ）为偶函数上一点，则（ ）也是图象上一点.)(ffb,
8、b,偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于 轴对称，例如： 在 上不是偶函数.y12xy),满足 ，或 ，若 时， .)(xff0)(ff 0(f 1)(xf奇函数： ；设（ ）为奇函数上一点，则（ ）也是图象上一点.ba, ba,奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如： 在 上不是奇函数.3xy)1,满足 ，或 ，若 时， .)(xff0)(ff 0(f 1)(xf8. 对称变换：y = f（x） ；y =f（x）（轴 对 称 fyy ）（轴 对 称 xfy y =f （ x） ）（原 点 对 称 xf9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理
9、化，例如：再进行讨论.10. 熟悉常用函数图象：例： （ 关于 轴对称. ） （ ）|2xy|y |21xy|1xy|2xy x x(0,) x(-,)（ 关于 轴对称.）|12|y|yx熟悉分式图象：例： 定义域 ，3721xy,3|Rx值域 值域是 前的系数之比.,|Rx212122121 )()( bxxbff ）（ xy23高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高 2010 级数学高考总复习 第 4 页 共 33 页 高三年级数学组3. 数列数列1. 等差、等比数列：看数列是不是等差数列有以下四种方法： ； 2 ( )； ( 为常数) ；),2(1为 常 数dnan 1nna2bkna
10、, （A、B 为常数）2S看数列是不是等比数列有以下五种方法： )0,(1且为 常 数qnan ( ， )221na注：i. ，是 a、 b、 c 成等比的既不充分又不必要条件，即 a、 b、 c 等比数列；cb cbii. （ac0）为 a、 b、 c 等比数列的充分不必要条件； iii. 为 a、 b、 c 等比数列a 的必要不充分条件； iv. 且 为 a、 b、 c 等比数列的充要条件.0注意：任意两数 a、 c 不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个. ( 为非零常数)； 正数列 成等比的充要条件是数列 （ ）成等比数列.nqa, n nxalog1等差数列 等比数列
11、定义 dan1 )0(1qan递推公式 ； mdan；1mna通项公式dnan)1(（ ）nqa0,中项（2kA）0,*nNk （)(knknaG）0,*Nkn前 项和n)(21aSdnn11()()nnnqSaaq重要性质 ),(*qpmNqpmaa ),(*qpmNqpaaqpnm 高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高 2010 级数学高考总复习 第 5 页 共 33 页 高三年级数学组 =A +B(其中 A+B=0)nSq数列 的前 项和 与通项 的关系：nanSna)2(11nsan注 ： （ 可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等dd11差数列）若 不为 0，则是等差
12、数列充分条件）.等差 前 n 项和 可以为零也可不为零为等差的充要条a ndaBnAS212件若 为零，则是等差数列的充分条件；若 不为零，则也是等差数列的充分条件. d非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2 倍，即 ；.,232kkkSS若等差数列的项数为 2 ，则 ；Nn，奇偶 ndS1na偶奇若等差数列的项数为 ，则 ，且 ，121 na偶奇 1S偶奇. 得 到 所 求 项 数到代 入 2n3. 常用公式：1+2+3 +n = ； 2n621322n 1321注 ：熟悉常用通项：9，9
13、9，999， ； 5，55， 555， .10na 1095na4. 等比数列的前 项和公式的常见应用题：n生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，ar公比为 . 其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为：r11)(nra.)()(.)()( 12 rann银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 元，利息为 ，每月利息按复利计算，则ar每月的 元过 个月后便成为 元. 因此，第二年年初可取款：annra)1(= .)(.)()1()( 02rr )1(2ra分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全
14、部付清； 为年利率.a r1111.112 mmmm raxxrxrrxrxra5. 数列常见的几种形式： （P 、 r 为常数） 用转化等差，等比数列；逐项选代；n1高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高 2010 级数学高考总复习 第 6 页 共 33 页 高三年级数学组转化等差，等比： .1)(11 PrxPaxaPnnn选代法： rra2 xPann11 )()(.Pn216. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前 项和为 ，在 时，有最大值. 如何确定使 取最大值时的 值，有两种方法：nS0d nSn一是求使 ，成立的 值；二是由 利用二次函数的性质求 的值.10,na daSn
15、)2(12如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： ,.),.(4321n两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差 的最小公倍数.21d，4.三角函数1. 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三xkcot)2cot(ananssi)i(xcot)ct(anassi)i(公式组四 公式组五 公式组六 xcot)ct(anassi)i(xcot)2t(ansi)i(xcot)t(ansii（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二si
16、ncs)cs( csin2ioo 222sin1cosiocs sincsin)si( 2tan1taotan1t)ta( tat)t(公式组三公 式 组 一sinxc=1taxcosini2x+s=1oeitaeta2 sin)21cos(coint)21tan(si)2cs(coi高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高 2010 级数学高考总复习 第 7 页 共 33 页 高三年级数学组, , ,42675cos1in 42615cos7in 3275cot1tan.3tta5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质（略自己看书）： 注意： 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同样相
17、反.一般xysixysinxycosxycs地，若 在 上递增（减） ，则 在 上递减（增）.)(f,ba)(xf,ba 与 的周期是 .inco 或 （ ）的周期 .)s(xy)s(xy02T的周期为 2 （ ，如图，翻折无效）. ta2T 的对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ； 的对称轴方程是sinyxkxZ0,kcosyx（ ） ，对称中心（ ） ； 的对称中心（ ）.kZ0,21tanyx2ycos)s(2cos 原 点 对 称当 ； .tan,1)Zkta,1)(Zk 与 是同一函数,xycs2i函数 在 上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，ta
18、R为增函数，同样也是错误的.n定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原)(xf点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： ，奇函数： ）)(xf)(xff奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 是奇函数， 是非奇非偶.（定义域不关xytan)31tany于原点对称）奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 .（ 的定义域，则无此性质）x0)(f0)(fx xysin不是周期函数； 为周期函数（ ） ；ysinT是周期函数（如图） ； 为周期函数（ ） ；coxco的周期为 （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 21sxy.Rkff
19、),(5)( 有 .abbabay cos)sin(sinco2 2yb5.平面向量1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.Oyx yx=cos|图 象 1/2yx|cos+图 象高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高 2010 级数学高考总复习 第 8 页 共 33 页 高三年级数学组注意：若 为单位向量，则 . （ ） 单位向量只表示向量的模为 1，并未指明向ba, ba量的方向； 若 ，则 . （）2. = ba设 Ryxbyxa,21 21,yxba21,yx（向量的模，针对向量坐标求模） 2, 21ya平面向量的数量积： cosb abbaba cbac注意： 不一定成立；
20、. cbaa向量无大小（“大于” 、 “小于”对向量无意义） ，向量的模有大小.长度为 0 的向量叫零向量，记 ， 与任意向量平行， 的方向是任意的，零向量与零00向量相等，且 .若有一个三角形 ABC，则 0；此结论可推广到 边形.n若 （ ） ，则有 .（ ）当 等于 时， ，而 不一定相anmR, nma00amn,等. = ， = （针对向量非坐标求模） ， .2|2 |b|当 时，由 不能推出 ，这是因为任一与 垂直的非零向量 ，都0a0ba0bab有 =0.b若 ， ，则 （）当 等于 时，不成立.c3. 向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 （平行向量a a
21、b或共线向量）.当 与 共线同向：当 与 共线反向；当 时，则 为 与任何向量0,a b0, b00,共线. 注意：若 共线，则 （）,a若 是 的投影，夹角为 ，则 （） ， （）ccoscaos设 = ，a1,yx2,yxb b02abba12xy设 ，则 A、 B、 C 三点共线 = （ ）31,CByxA 0高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高 2010 级数学高考总复习 第 9 页 共 33 页 高三年级数学组（ ）= （ ） （ ）12,yx13,yx0（ ）（ ）=（ ）（ ）3 12y两个向量 、 的夹角公式： ab1cosx线段的定比分点公式：（ 和 ）0设 = （或 =
22、 ） ，且 的坐标分别是 ，则P12121,P),(,21yxy）（推广：当 时，得线段 的中点公式：21P三角形重心坐标公式：ABC 的顶点 ，重心坐标 ：321, yxCByxAyxG,注意：在ABC 中，若 O 为重心，则 ，这是充要条件.0O平移公式：若点 P 按向量 = 平移到 P ，则yx,akh, ,yxkyhx若函数 y=f(x)的图象按向量 = 平移，则平移后的解析式为：y - k=f(x- h),4. 正弦定理：设ABC 的三边为 a、 b、c ，所对的角为 A、 B、 C，则.RCcBbAa2sinisin余弦定理： CabcBcAaos22三角形面积计算公式：设ABC
23、的三边为 a， b， c， 其高分别为 ha， hb， hc， 半周长为 P，外接圆、内切圆的半径为 R， r. S = aha= bhb= chc S =Pr S =abc/4R1212S = ab sinC = acsinB= bcsinA 注：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心.如图： 图 1 中的 I 为 SABC 的内心， S =Pr图 2 中的 I 为 SABC 的一个旁心，S =1/2（b+c - a）r a图 图 图图BCOabcIABCDEFIBEFraracabc ACNEF21xy 12xyBPM高 三 数 学 总 复 习 .南川三中高
24、2010 级数学高考总复习 第 10 页 共 33 页 高三年级数学组附：三角形的五个“心”：重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点（即三角形外接圆圆心）.内心：三角形三内角的平分线相交于一点（即三角形内切圆圆心）.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.在ABC 中，有下列等式成立 .CBACBAtanttanttan证明：因为 所以 ，所以 ， 结论！,CBAtat1ABC 的判定：ABC 为直角 A + B =22bac 2 ABC 为钝角 A + B22 ABC 为锐角 A + Bcba 2附：证明： ，得在
25、钝角ABC 中，abcC2cos 22cos00,Cabcabc 平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(6. 不不 等等 式式1. 平方平均算术平均几何平均调和平均（a 、 b 为正数）：（当 a = b 时取等）221ba特别地， （当 a = b 时， ）2()2()ab绝对值不等式： 123123(0)ab时 ,取 等常用不等式的放缩法： 21(2)(nnn 11 1n 2. 常用不等式的解法举例（x 为正数）： |()2x与 同 号 ， 故 取 等7. 直线和圆的方程直线和圆的方程 一、直线 方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与 轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是 .x 018(0) D
