1、 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿2009 年全国中考数学压轴题精选精析（浙江）1（2009 年浙江杭州）24. （本小题满分 12 分）已知平行于 x 轴的直线 )0(ay与函数 xy和函数 xy1的图象分别交于点 A和点 B，又有定点 P（2，0） .来源:Zxxk.Com（1）若 a，且 tanPOB= 91，求线段 AB 的长；（2）在过 A，B 两点且顶点在直线 xy上的抛物线中，已知线段 AB= 38，且在它的对称轴左边时，y 随着 x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；（3）已知经过 A，B，P 三点的抛物线，平移后能得到 259xy的图象，求点 P 到直线 A
2、B 的距离 .（2009 年浙江杭州 24 题解析） （1）设第一象限内的点 B（m,n） ，则 tanPOB91mn，得 m=9n，又点 B 在函数 xy的图象上，得 mn1，所以 m=3（3 舍去） ，点 B 为 )3,(，而 ABx 轴，所以点 A（ 31， ） ，所以 38AB；（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点 A（a , a） ， B（ 1，a） ，则 AB= a1 a = 38,所以 032a，解得 31a或 .当 a = 3 时，点 A（3，3） ，B（ ，3） ，因为顶点在 y = x 上，所以顶点为一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿（ 35， ） ，所以可设二次函
3、数为 35)(2xky，点 A 代入，解得 k= 43,所以所求函数解析式为 )35(42xy .同理，当 a = 1时，所求函数解析式为 )(42xy；（3）设 A（a , a） ，B（ ，a） ，由条件可知抛物线的对称轴为 ax21 .设所求二次函数解析式为： )21()2(59axy .点 A（a , a）代入，解得 31a， 62，所以点 P 到直线 AB 的距离为 3 或 162.（2009 年浙江湖州）已知抛物线 2yxa（ 0）与 y轴相交于点 A，顶点为M.直线 12yxa分别与 轴， 轴相交于 BC， 两点，并且与直线 M相交于点 N.(1)填空：试用含 的代数式分别表示点
4、M与 N的坐标，则 ， ， ， ； (2)如图，将 NAC 沿 y轴翻折，若点 的对应点 恰好落在抛物线上， A与x轴交于点 D，连结 ，求 a的值和四边形 ADC的面积；(3)在抛物线 2x（ 0）上是否存在一点 P，使得以 CN， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求出 点的坐标；若不存在，试说明理由.（2009 年浙江湖州 24 题解析）第（2）题xyBCODAMN NxyBCOAMN备用图（第 24 题）一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿（1） 4113MaNa， ， ， .4 分（2）由题意得点 与点 关于 y轴对称， N13a， ，将 N的坐标代入 2yxa得 21
5、6839，10a（不合题意，舍去） ， 24.2 分34， 点 到 y轴的距离为 3.90A， N ， ， 直线 AN的解析式为 94yx，它与 x轴的交点为 04D， ， 点 到 y轴的距离为 .1991832246ACNASS 四 边 形.2 分（3）当点 P在 y轴的左侧时，若 PN是平行四边形，则 PN平行且等于 AC，把 向上平移 2a个单位得到 ，坐标为 73a， ，代入抛物线的解析式，得： 2716839来源:Zxxk.Com10a（不舍题意，舍去） ， 238a，2P7， 8.2 分当点 在 y轴的右侧时，若 APCN是平行四边形，则 AC与 PN互相平分，OAC，P与 N关于
6、原点对称， 413a， ，将 点坐标代入抛物线解析式得： 26893a，10a（不合题意，舍去） ， 215a， 5P， 2 分一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿存在这样的点 1728P， 或 258， ，能使得以 PACN， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形3.（2009 年浙江嘉兴）24如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN， 1A，1MB以 A 为 中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设 x（1）求 x 的取值范围；（2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值；（3）探究：ABC 的最大面积？来源:学科网（2
7、009 年浙江嘉兴 24 题解析） （1）在ABC 中， 1AC， xB， xC3 x31，解得 2x 4 分（2）若 AC 为斜边，则 2)3(1x，即 043x，无解若 AB 为斜边，则 )(22x，解得 5，满足 21若 BC 为斜边，则 13x，解得 3，满足 x 35x或 4 9 分（3）在ABC 中，作 ABCD于 D，设 hCD，ABC 的面积为 S，则 xh21若点 D 在线段 AB 上，则 xh22)3(1 21)( hx，即 4312xhx 624912hx，即 68 4xS 2)3(（ x ） 11 分CA B NM（第 24 题）CA B NM（第 24 题-1）D一切
8、为了学生的发展 一切为了家长的心愿当 23x时（满足 42x ） ， S取最大值 21，从而 S 取最大值 2 13 分若点 D 在线段 MA 上，则 xhx221)3( 同理可得， 464S2)(x（ 3x ） ，易知此时 S综合得，ABC 的最大面积为 2 14 分4.（2009 年浙江丽水）24 . 已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图，C，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3). 现有两动点 P,Q 分别从 A,C 同时出发，点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动，点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动，设运动时间为 t 秒.(1)填空：菱形 ABCD 的边长是 、面积是
9、、 高 BE 的长是 ；(2)探究下列问题：若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度为每秒 2 个单位.当点 Q 在线段 BA 上时，求 APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，以及 S 的最大值； 若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度变为每秒 k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的 k 值，使得APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当 t=4 秒时的情形，并求出 k 的值.（2009 年浙江丽水 24 题解析）解：（1）5 , 24, 5243 分（2）由题意，得 AP=t，AQ=10-2t. 1 分如图 1,过点 Q 作 QGA
10、D，垂足为 G，由 QGBE得 AQG ABE, BAE,CBADM N（第 24 题-2）O xyABCDE(第 24 题)G xyABCDOE(图 1) PQ一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿QG= 2548t, 1 分 tQGAPS5241( t 5). 1 分 6)2(54t( t5).当 t= 时， S 最大值为 6.1 分 要使APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需APQ 为等腰三角形即可.当 t=4 秒时， 点 P 的速度为每秒 1 个单位，AP= 4.1 分以下分两种情况讨论:第一种情况：当点 Q 在 CB 上时, PQBEP
11、A，只存在点 Q1,使 Q1A=Q1P.如图 2,过点 Q1 作 Q1MAP ，垂足为点 M，Q 1M 交 AC 于点F,则 AM= 2.由AMFAODCQ 1F,得431AODC, F, 0. 1 分CQ 1= Q34= 25.则 1CPtk, 10CQkAP .1 分第二种情况：当点 Q 在 BA 上时 ,存在两点 Q2,Q3,分别使 A P= A Q2,PA=PQ3.若 AP=AQ2，如图 3,CB+BQ2=10-4=6.则 1BCtk, BkAP.1 分 若 PA=PQ3，如图 4,过点 P 作 PNAB，垂足为 N，由ANPAEB,得 EN. AE= 572A , AN 28.AQ
12、3=2AN= 6, BC+BQ 3=10- 51946则 31BQCPtk. 07APBk. 1 分综上所述，当 t= 4 秒，以所得的等腰三角形 APQ(图 3)xyABCDOQ2PNE(图 4)xyABCDOQ3PEQ1FMODCBAyx(图 2)P一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿沿底边翻折，翻折后得到菱形的 k 值为 10或 23或 597.5.（2009 年浙江宁波）26如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（8，0） ，直线 BC 经过点 B（8，6） ，将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 度得到四边形 OABC，此时声母 OA、直线 BC分
13、别与直线 BC 相交于 P、Q（1）四边形的形状是 ，当 =90时， PQ的值是 （2）如图 2,当四边形 OABC的顶点 B落在 y 轴正半轴上时,求 BPQ的值;如图 3,当四边形 OABC的顶点 B落在直线 BC 上时,求 OPB的面积（3）在四边形 OABC 旋转过程中,当 0018时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使BP= 12Q？若存在，请直接写出点 P 的坐标；基不存在，请说明理由（2009 年浙江宁波 26 题解析）解：（1）矩形（长方形） ；1 分47BPQ3 分（2） OCBA， PCOAB90， PAB，即 68，92， 72 4 分一切为了学生的发展 一切为了家长的心
14、愿同理 BCQO ， 即 1068，3， 5 分72BPQ 6 分在 OC 和 AP 中，90B， ，来源:学科网 ZXXK(S)CPA 7 分O设 x，来源:学科网在 Rt 中， 22(8)6x，解得 54x 8 分15724OPBS 9 分（3）存在这样的点 和点 Q，使 12BP 10 分点 的坐标是 13962， ， 764， 12 分对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求过点 Q画 HOA 于 ，连结 Q，则 HOC，12PSC， 12POSA ，设 Bx，12PQ， 如图 1，当点 P 在点 B 左侧时， 3Ox，QCBA O xP yHQCBA O xPyH一切为了
15、学生的发展 一切为了家长的心愿在 RtPCO 中， 22(8)6(3)xx，来源:学科网 ZXXK解得 13x， 21（不符实际，舍去） 9B，1362P，如图 2，当点 P 在点 B 右侧时，OQx， 8Cx在 RtC 中， 22(8)6，解得 54PB574，2764，综上可知，存在点 13962P， ， 2764P， ，使 12BPQ6.（2009 年浙江衢州）24. （本题 14 分）如图，已知点 A(-4，8) 和点 B(2，n)在抛物线2yax上(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB最短，求出点 Q 的坐标；(2)
16、平移抛物线 2ya，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是 x 轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 ABCD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿（2009 年浙江衢州 24 题解析）解：(1) 将点 A(-4，8)的坐标代入 2yax，解得 1 1 分将点 B(2，n)的坐标代入 21，求得点 B 的坐标为(2，
17、2)， 1 分则点 B 关于 x 轴对称点 P 的 坐标为(2，-2) 1 分直线 AP 的解析式是 543yx 1 分令 y=0，得 4x即所求点 Q 的坐标是( 5，0) 1 分(2) 解法 1：CQ =-2- 5= 14， 1 分故将抛物线 yx向左平移 个单位时，AC+CB 最短，2 分此时抛物线的函数解析式为 214()5yx 1 分解法 2：设将抛物线 2向左平移 m 个单位，则平移后 A，B的坐标分别为 A(-4-m，8)和B (2-m，2) ，点 A关于 x 轴对称点的坐标为 A(-4-m，-8)直线 AB的解析式为 543yx 1 分要使 AC+CB最短，点 C 应在直线 A
18、B上， 1 分将点 C(-2，0)代入直线 AB的解析式，解得 45m 1分故将抛物线 21yx向左平移 145个单位时 AC+CB最短，此时抛物线的函数解析式为 2() 1 分 左右平移抛物线 1yx，因为线段 AB和 CD 的长是定值，所以要使 四边形 ABCD 的周长最短，只要使 AD+CB最短； 1 分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有 AD+CBAD+CB，因此不存在某个位置，使四边形 ABCD 的周长最短 1 分第二种情况：设抛物线向左平移了 b 个单位，则点 A和点 B的坐标分别为A(-4-b，8) 和 B(2-b，2) 因为 CD=2，因此将点 B向左平移 2 个单位得 B(-b，2)，要使 AD+CB最短，只要使 AD+DB最短 1 分(第 24 题(1)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44QP(第 24 题(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44A(第 24 题(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44AB
