2008年高考数学试题分类汇编.DOC

1、 C1D1B1A1 ODCBA2008 年高考数学试题分类汇编立体几何1 （08 高考湖南理 5）设有直线 m、n 和平面 、 .下列四个命题中，正确的是( )A.若 m ,n ,则 m nB.若 m ,n ,m ,n ,则 C.若 ，m ,则 mD.若 ，m ，m ,则 m【答案】D 【解析】由立几知识,易知 D 正确.2 （08 高考湖南理 9）长方体 ABCDA 1B1C1D1 的 8 个顶点在同一球面上，且则顶点 A、B 间的球面距离是( )A.2 B. C. D. 224【答案】C【解析】 设1,BDACR,则,O2B故选 C.2,l3.（08 高考湖南理 17）如图所示，四棱锥 P

2、-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60 ，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA2.（）证明：平面 PBE平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.解: 解法一（）如图所示，连结 BD，由 ABCD 是菱形且BCD=60知，BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD,又 ABCD,所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD， 平面 ABCD，所以BPABE.而 AB=A,因此 BE平面 PAB.P又 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.BE（）延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.过点 A 作

3、 AH PB 于 H，由（ ）知平面 PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE.在 Rt ABF 中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2= AP.在等腰 RtPAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG.则 AGPF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）.在等腰 RtPAF 中， 2AP在 Rt PAB 中， 225.BAH:所以，在 Rt AHG 中， 105sin.2HGA故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 arcsin.5解法二: 如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系.则

4、相关各点的坐标分别是 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，P（0，0，2）,3(,),2C13(,)2D3(,0).2E（）因为 ，(,)BE平面 PAB 的一个法向量是 ，0(,1)n所以 共线.从而 BE平面 PAB.0n又因为 平面 PBE，BE故平面 PBE平面 PAB.C1D1B1A1 ODCBA()易知 3(1,02)(,0PBE， ） ， 13(0,2)(,0)2PAD设 是平面 PBE 的一个法向量，则由 得11(,)nxyz 1,nBE:所以1120,30.xyz111,2.(2,0).yxzn故 可 取设 是平面 PAD 的一个法向量，则由 得22(,)n 2,0PAn

5、D:所以 故可取2200,13.xyz22,3.zxy2(3,1).于是， 1212 15cos, .n:故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 15arcos.AB=2,AD= ,AA1=1,34 （08 高考湖南文 5）已知直线 m,n 和平面 满足 ,则( ), ,amn或 或.An,/.nBC./.D【答案】D 【解析】易知 D 正确.5 （08 高考湖南文 9）长方体 的 8 个顶点在同一个球面上，且1ADBAB=2，AD= ，3，则顶点 A、B 间的球面距离是( )1AA B C D242【答案】B【解析】 设12,DR,则,AO2B故选.,2AOB2,lR6

6、（08 高考湖南文 18）如图所示，四棱锥 的底面 是边长为 1 的菱形，PABCD，0CDE 是 CD 的中点，PA 底面 ABCD， 。3（I）证明：平面 PBE 平面 PAB；（II）求二面角 ABEP 和的大小。解：解法一（I）如图所示, 连结 由 是菱形且 知，,BDAC06BD是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点，所以C又 所以,E ,/,又因为 PA 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 而 因此 平面 PAB. ,BPA ,AB又 平面 PBE，所以平面 PBE 平面 PAB.（II）由（I）知， 平面 PAB, 平面 PAB, 所以E P.PBE又 所以 是二面角 的

7、平面角, E在 中, RtPAB tan3,60.AB故二面角 的大小为E60.解法二：如图所示,以 A 为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是(0),， ， (1),B， ， 3(),2C， ， 13(),2D， ， (3),P， ， (10).2E， ，（I）因为 平面 PAB 的一个法向量是 所以 和 共线.(,),E， 0(),n， ， B0n从而 平面 PAB. 又因为 平面 PBE，所以平面 PBE 平面 PAB. EPAED（II）易知 设 是平面 PBE 的一个法向3(10,3)(0,),2PBE， ， 1n1()xyz， ，量,则由 得 所以10nBE， 11302

8、xyz， 113.yxz=0，故可取 而平面 ABE 的一个法向量是1(3).， ， 2().n， ，于是, 1212cos,.|n:故二面角 的大小为ABEP60.7 （08 高考四川理 8）设 是球心 的半径 上的两点，且 ，分,MNOPNPMO别过 作垂线于 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D ),NO（） （） （） （）3563,65,795,89【解】：设分别过 作垂线于 的面截球得三个圆的半径为 ，球半径为 ，,OP123,rR则： 2 22 2 21 351, ,3939rRRrRrR 这三个圆的面积之比为： 故选 D221:85,88（08 高考四川理 9）设直

9、线 平面 ，过平面 外一点 与 都成 角的直线有lA,l03且只有：( D )（）条 （）条 （）条 （）条【解】：如图，当 时，直线 满足条件；03AOCBC同理，当 时，直线 满足条件；AB又由图形的对称性，知在另一侧存在两条满足条件与直线 成异面直线的直线 故选lD【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；9（08 高考四川理 15）已知正四棱柱的对角线的长为 ，且对角线与底面所成角的余6弦值为 ，则该正四棱柱的体积等于_ _。32【解】：如图可知： 1136,c

10、osACA 正四棱柱的体积等于112, 211CA【点评】：此题重点考察线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；【突破】：数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式。10 （08 高考四川理 19） 如图，平面 平面 ，四边形 与BEFDABEF都是直角梯形，ABCD，09,FBC/12AD/12（）证明： 四点共面；,E（）设 ，求二面角 的大小；AEB【解 1】：（）延长 交 的延长线于点 ，由 得DCAGC/12AD12GBA延长 交 的延长线于FE同理可得 12BGA故 ，即 与 重合 因此直线 相交于点 ，即 四点共面。CDEF、 ,CDFE（）设 ，则 ，1AB12A

11、取 中点 ，则 ，又由已知得， 平面MABEF故 ， 与平面 内两相交直线 都垂直。、所以 平面 ，作 ，垂足为 ，连结NN由三垂线定理知 为二面角 的平面角。EB， 213ADB，故 6tan2BMN所以二面角 的大小AEDarctn【解 2】：由平面 平面 ， ，得 平面 ，以 为坐BFACDFBABCDA标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系x xyz（）设 ，则,AabEc,00,20,2BCabFc,EcFDc故 ，从而由点 ，得12E/CD故 四点共面,C（）设 ，则 ， AB11,0,0,2,D在 上取点 ，使 ，则EM5E5,63M从而 1,63B又 ,20,DE

12、DEB在 上取点 ，使 ，则N22,3N从而 2,0,3AAED故 与 的夹角等于二面角 的平面角，MBNB10cos5NBA所以二面角 的大小ADEarcos【点评】：此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行解法 1 的关键；在解法 2 中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。11 （08 高考安徽理 4）已知 m,n 是 两条不同直线， 、 是三个不同平面，下列命题,中正确的是（

13、A）若 ，n ，则 mn （B ）若 ，则 m (C) 若 m ，m，则 （D）若 m ，n ，则 mn【标准答案】4D.【试题解析】 （4）m,n 均为直线，其中 m,n 平行 ，m,n 可以相交也可以异面，故 A 不正确；m ，n 则同垂直于一个平面的两条直线平行；选 D。【高考考点】空间线面的平行和垂直的判定。【易错提醒】由于平行公理的干扰，有的同学会误选 A。【提示】考生可画出正方体，在正方体的点线面中发现结论的正误。12(08 高考安徽理 16) 已知点 在同一个球面上，DCBA,AB平面 BCD，BCCD，若AB=6，AC=2 ，AD=8， ，则 B，C 两点间的球面13距离是 .

14、【标准答案】(16) 4【试题解析】如图，易得BC= ，BD= ，CD= ，则此球内接长方体三条6)132(27268212棱长为 AB、BC 、CD（CD 的对边与 CD 等长） ，从而球外接圆的直径为 ，R=4 则)1(422RBC 与球心构成的大圆如图，因为OBC 为正三角形，则 B，C 两点间的球面距离是 。3【高考考点】球的概念，球面距离。【易错提醒】球面距离理解错误。【提示】关于球和球面距离是常考知识点。13(08 高考安徽理 18)如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， 。OA底4ABC面 ABCD，OA=2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的

15、中点。（）证明：直线 MN平面 OCD；（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。.【标准答案】与【试题解析】（18）方法一（综合法）（）取 OB 中点 E，连接 ME，NE；MEAB，AB CD，MECD又NEOC，平面 MNE平面 OCD，MN 平面 OCD。（）CDAB，MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或其补角）作 APCD 于点 P，连接 MP。OA平面ABCD，CDMP 。ADP= ，DP= 。42MD= ，22ADM，MDC= MDP=1PCOS3所以，AB 与 MD 所成角的大小为 （）AB平面 OCD，点 B 和点 A 到

16、平面OCD 的距离相等。连接 OP，过点 A 作 AQOP 于点 QAPCD ，OA CD，CD 平面OAP， AQ CD又AQOP，AQ平面 OCD，线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离。 ，AP=DP= ，2314222 DPAODPO 23 32AQ所以，点 B 到平面 OCD 的距离为方法二（向量法）：作 APCD 于点 P。如图，分别以 AB，AP，AO 所在直线为 x,y,z 轴建立直角坐标系。A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，P（0， ，0） ，D（2，O（0，0，2） ，M（0，0，1） ，N（1-),2),4（） .)2,(),2,0(),142,1( O

17、DPMN设平面 OCD 的法向量为 n=(x,y,z)，则 0,n即 022,zyx取 z= ,解得 ,).,4(n 0)2,4()1,241( nMNMN平面 OCD（）设 AB 与 MD 所成角为 ,),2,(),0(DAB , .21|MDABCOS3AB 与 MD 所成角的大小为（）设点 B 到平面 OCD 的距离为 d，则 d 为 在向量 上的投影的绝对OB).2,40(n值。由 ，得)2,01(O32|n所以，点 B 到平面 OCD 的距离为【高考考点】本题主要考查直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。【易错提醒】不要以菱形的对角线作为坐标轴，建立直角坐标系，那样计算将很繁。【提示】立体几何中的平行、垂直、线线角、点面之间的距离是考试的重点。14(08 高考海南理 12) 某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投7影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b6的线段，则 a+b 的最大值为（A）2 （B）2 （C）4 （D）23 5【标准答案】：【试题解析】由棱长的两端点和某一端点的射影点可构成一个长方体,则