1、 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 (湖北卷 ) 数学（理工农医类） 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4. 考试结束， 请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10
2、小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1、已知 是两个向量集合，则 PQ A 1， 1 B. -1， 1 C. 1， 0 D. 0， 1 2.设 a 为非零实数，函数 的反函数是 A、 B、 C、 D、 3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数（ m+ni） (n-mi)为实数的概率为 A、 13 B、 14 C、 16 D、 112 4.函数 cos(2 ) 26yx 的图象 F 按向量 a 平移到 F , F 的函数解析式为 ( ),y f x 当2. 2D 为奇函数时，向量 a 可以等于 .( , 2)6A .( ,
3、2)6B .( , 2)6C .( ,2)6D 5.将 甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为 .18A .24B .30C .36D 6. 设22 2 2 1 20 1 2 1 22 ) . . .2 n n nnnx a a x a x a x a x （ ，则20 2 4 2 1 3 5 2 1l i m ( . . . ) ( . . . ) nnn a a a a a a a a .1A .0B .1C 2. 2D 7.已知双曲线 22122xy的准线过椭圆 222 14xyb的焦点，则直线 2y kx与椭圆
4、至多有一个交点的充要条件是 A. 11,22K B. 11,22K C. 22,22K D. 22,K 8.在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆甲型货车和 8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台。若每辆车至多只运一 次，则该厂所花的最少运输费用为 A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元 9.设球的半径为时间 t 的函数 Rt。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为 C B. 成正比，
5、比例系数为 2C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C 10.古希腊人常 用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2 中的 1， 4， 9， 16， 这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .请将答案填在答题卡对应题号的位置上 ,一题两空的题 ,其答案按先后次序填写 . 11.已知关于 x 的不等式 11axx 0 的解集是
6、 1( , 1) ( , )2 .则 a . 12.样本容量为 200的频率分布直方图如图所示 .根据样本的频率分布直方图估计 ,样本数据落在 6,10) 内的频数为 ，数据落在 2,10) 内的概率约为 . 13.如图 ,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播 ,电视信号能够传送到达的地面区域 ,称为这个卫星的覆盖区域 .为了转播 2008 年北京奥运会 ,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为 36000km.已知地球半径约为 6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号 ). 14.已知函数 ( ) ( ) c
7、 o s s in ,4f x f x x则 ()4f 的值为 . 15已知数列 na 满足：1a m（ m 为正整数）， 若 6a 1 ，则 m 所有可能的取值为 _。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 10 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 2， 3， 4， 5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 3， 4， 5， 6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量 x y
8、 ，求 的分布列和数学期望。 17（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知向量 ( c o s , s i n ) , ( c o s , s i n ) , ( 1 , 0 )a a b c （）求向量 bc 的长度的最大值； （）设 a 4 ，且 ()a b c，求 cos 的值。 18（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 如图，四棱锥 S ABCD 的底面是正方形， SD 平面 ABCD， SD=2a， 2AD a 点E 是 SD 上的点，且 (0 2)DE a （）求证：对任意的 (0,2) ，都有 AC BE （）设二面角 C AE D
9、的大小为 ，直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ，若tan tan 1 ，求 的值 19、（本小题满分 13 分） （注意： 在试题卷 上作答无效 ） 已知数列 na 的前 n 项和 11( ) 22 nnnSa （ n 为正整数）。 （）令 2nnnba ，求证数列 nb 是等差数列，并求数列 na 的通项公式； （）令 试比较 nT 与 521nn 的大小，并予以 证明。 20、（本小题满分 14 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 过抛物线 2 2 ( 0)y px p的对称轴上一点 ,0 0A a a 的直线与抛物线相交于 M、N 两点，自 M、 N 向直线 :l x a 作
10、垂线，垂足分别为 1M 、 1N 。 （）当 2pa 时，求证： 1AM 1AN ； （）记 1AMM 、 11AMN 、 1ANN 的面积分别为 1S 、 2S 、 3S ，是 否存在 ，使得对任意的 0a ，都有 22 1 2S SS 成立。若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 21.(本小题满分 14 分 ) （注意： 在试题卷上作答无效 ） 在 R 上定义运算 1:43p q p c q b b c （ b 、 c 为实常数）。记 21 2fc， 2 2fb， R .令 21f f f . 如果函数 f 在 1 处有极什 43 ,试确定 b、的值； 求曲线 yf 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点； 记 1 11g f x 的最大值为 M .若 Mk 对任意的 b、 c 恒成立，试示 k 的最大值。
