1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高 考理科数学 第一次模拟考试 数学试题（ 理 科） 命题： 张峰 周文红 黄鹤飞 一、 选择题 ： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的序号填入答题 卡 上的相应空格内。） 1. 函数 22 11 xxy 的定义域为 ( ) A 11| xxx 或 B 11| xx C -1,1 D 1 2定义运算 ( , ) ( , ) a b c d ac bd，则符合条件 ( ,1 2 ) (1 ,1 ) 0z i i i 的复数 z的所对应的点在 ( ) A第一象限 B第二象
2、限 C第三象限 D第四象限 3.若函 数 )2( xf =0),4lg(0),2sin(xxxx ，则 f ( 23 )f ( 102 )等于 ( ) A.21 B. 21 C.1 D. 1 4. 将正方形的每条边 3等分，再取分点为顶点，可以得到不同的三角形的个数 是（ ） A. 56 B. 32 C. 220 D. 84 5.设 1()fx 是函数 1( ) 2 ( )3xxf x x 的反函数，则 1( ) 1fx 成立的 x 的取值范围是 ( ) A 38x B 38x C 380 x D 0x 6设离心率为e的双曲线 )0,0(1:2222 babyaxC 的右焦点为 F，直线 l
3、过焦点 F,且斜率为 k ，则直线 l 与双曲线 C 的左右两支都相交的充要条件是（ ） A 122 ek B 122 ek C 122 ke D 122 ke 7在各项均为正数的数列 na 中， nS 为前 n 项和， 122 1 )1( nnnn aaanna 且3a ，则 4tanS =( ) A - 33 B 3 C - 3 D 33 8.把函数 xxy 2s in32c o s 的图象沿向量 )0)(,( mmma 的方向平移后，所得的图象关于 y轴对称，则 m的最小值是 ( ) A 6 B 3 C 32 D 65 9.在 ABC 中，若对任意 kR ，有 BA kBC AC，则 A
4、BC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 锐角三角形 D 不能确定 10.设 O 为坐标原点， (1,1)A ，若点 ( , )Bxy 满足22 2 2 1 01212x y x yxy ，则 OA OB取得最小值时，点 B 的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D无数个 11.如图 ,正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 4, FE, 分别是棱 CD、 11DC 的中点 ,长为 2的线段 MN 的一个端点 M 在线段 EF 上运动 ,另一个端点 N 在底面 1111 DCBA 上运动 ,则线段 MN 的中点 P 的轨迹 (曲面 )与二面角 111 BDCD 所围成
5、的几何体的体积为 ( ) A 34 B. 32 C. 6 D. 3 12 线段 AB 上的一点 C ，直线 AB 外一点 P ，满足 | | | | 2PA PB， 25PA PB， PA PC PB PCPA PB ， I 为 PC 上一点，且 ( ) ( 0)| | | |A C A PB I B A A C A P ，则 |BI BABA的 值为 ( ) A 1 B 2 C 5 D 51 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把答案填在 答题 卡 上 。） 13.若随机变量 服从正态分布 2,3N ，23，则随机变量 的期望 是 _ 14. 对于任意实数 0a
6、a 和 b ，不等式 21 xxababa 恒成立，则 实数 x 的取值范围 是 B D A1 B1 E C1 C A F D1 N M P 15设 6 2 1 22 0 1 2 1 22 2 2 2 2x x a a x a x a x ，其中 0,1, 2, ,12iai 为实常数，则 0 1 2 3 1 22 3 1 2a a a a a 16已知命题 函数xxf lg1)( 在 ),0( 上是减函数； 函数 )(xf 的定义域为 R， 0)( 0 xf 是 0xx 为极值点的既不充分也不必要条件； 函数 xxxf c o ss in2)( 的最小正周期为 ； 在平面内 ，到定点 )1,
7、2( 的距离与到定直线 01043 yx 的距离相等的点的轨迹是抛物线； 已知 (3, 4), (0, 1),ab 则 a 在 b 方向上的投影为 4 。 其中，正确命题的序号是 。 （把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) 4 c o s ( ) 4 s i n ( )66g x x x a ，把函数 )(xgy 的图象按向量 a = )1,3( 平移后得到 )(xfy 的图象。 （）求函数 8)(lo g21 axfy 的值域； （）当 32,4 x 时
8、0)( xf 恒有解，求实数 a 的取值范围 . 18 （本小题满分 12 分） 在 2008 年北京奥运会羽毛球女单决赛中，中国运动员张宁以 2： 1 力克排名世界第一的队友谢杏芳，蝉联奥运会女单冠军 .羽毛球比赛按“三局二胜制”的规则进行（即先胜两局的选手获胜，比赛结束），且各局之间互不影响 .根据两人以往的交战成绩分析，谢杏芳在前两局的比赛中每局获胜的概率是 0.6， 但张宁在前二局战成 1： 1的情况下，在第三局中凭借过硬的心理素质，获胜的概率为 0.6.若张宁与谢杏芳下次在比赛上相遇 . （） 求张宁以 2： 1获胜的概率； （） 设张宁的净胜局数为 ，求 的分布列及 E . 19（
9、本小题满分 12 分） 已知 PA 平面 ABCD ， 2PA AB AD ， AC 与 BD 交于 E 点， 2BD ， BC CD ， （）取 PD 中点 F ，求证 : /PB 平面 AFC 。 （ ）求二面角 A PB E的余弦值。 20（本小题满分 12 分） 在数列 na 中， 122, 8aa，且已知函数32 1 11( ) ( ) ( 3 4 )3 n n n nf x a a x a a x （ *nN ）在 1x 时取得极值 . （）求数列 na 的通项 na ； （）设 nnnn ab )1(3 ，且 121 )32(3 nn nmbbb对于 *nN 恒成立，求实数 m
10、的取值范围 21（本小题满分 12 分） 设椭圆 )0(1:2222 babyaxC 的一个顶点与抛物线yxC 34: 2 的焦点重合， 21,FF 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 21e 且过椭圆右焦点 2F 的直线 l 与椭圆 C交于 NM、 两点 . ( )求椭圆 C的方程； ( )是否存在直线 l ，使得 2ONOM .若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . ( )若 AB是椭圆 C 经过原点 O的弦， MN/ AB，求证：| |2MNAB为定值 22. （本小题满分 14分）已知函数 2( ) ( 3 3 ) xf x x x e 定义域为 t,2 ( 2t ),设
11、ntfmf )(,)2( . ( )试确定 t 的取值范围 ,使得函数 )(xf 在 t,2 上为单调函数； ( )求证 :nm ； ( )求证 :对于任意的 2t ,总存在 ),2(0 tx ,满足0 20() 2 ( 1)3xfx te ,并确定这样的 0x 的个数 . 鹰潭市 2009 届高三第一次模拟考试 数学（ 理 科）参考答案 一、选择题： 1 5 CDCAA 6 10 CBBAB 11 12 DD 二、填空题： 13 0 14. 1522x 15. 64 16. 三、解答题： 17. 解： 把函数 axxxg )6s in (4)6(c o s4)( 2 按向量 a )1,3(
12、平移后得axaxxxf 4)21( c o s41c o s4s i n4)( 22 .2分 （） 8)(lo g21 axfy = 4)21(c o s4lo g 221 x.3 分 49)21( c o s0,2321c o s21,1c o s1 2 xxx .5 分 则函数 8)(lo g21 axfy 的值域为 2,13log21 ； .7 分 （）当 32,4 x 时， 1cos21 x ， 得由 axxf 4)21( c o s4)( 2 axfa 5)(4 .9 分 0)( xf 恒有解， 04 05 aa， .11 分 即 54 a .12 分 18. 解： （ 1）张宁以
13、2： 1获胜即前两局战成 1： 1，第三局张宁胜 . 288.06.0)6.01(6.0)1( 12 CP . 5分 (2) 的所有可能取值为 2， 1， 1， 2. 6分 ,36.06.06.0)2( P 7分 ,1 9 2.0)6.01()6.01(6.0)1( 12 CP 8分 2 8 8.06.0)6.01(6.0)1( 12 CP 9分 .16.0)6.01()6.01()2( P 10 分 的分布列为 -2 -1 1 2 P 0.36 0.192 0.288 0.16 304.016.02288.01192.0)1(36.02 E 12 分 19 解法 1:(1)联结 EF ， A
14、B AD ， BC CD ， AC=AC ADC ABC ， E 为 BD 中点， F 为 PD 中点， /PB EF ， /PB 平面 ACF .5分 （ 2） 联结 PE ， 2P A A B A D B D ， 在等边三角形 ABD 中 ,中线 AE BD ， 又 PA 底面 ABCD ， PA BD ， PAEBD 面 ， 平面 PAE 平面 PBD 。 过 A 作 AH PE 于 H ，则 AH 平面 PBD ， 取 PB 中点 G ，联结 AG 、 GH ，则等腰三角形 PAB 中， AG PB ， AH PB ， PB 平面 AGH ， PB GH ， AGH 是二面角 A PB
15、 E的平面角 .8分 等腰直角三角形 PAB 中， 2AG ，等边三角形 ABD 中， 3AE ， Rt PAE 中， 237AH， 27GH， 2177727GHC O S A G HAG . 二面角 A PB E的余弦值为 77 。 .12分 解法 2： 以 AC AP、 分别为 yz、 轴， A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 2P A A B A D B D B C C D ， ABC ADC ， ABD 是等边三角形，且 E 是 BD 中点， AC BD 则 (000)A ， ， 、 (1 30)B ， ， 、 ( 1 30)D， ， 、 (0 30)E ， ， 、 (002)
16、P ， ， 、 13( 1)22F ， ， （ 1） 13(1 3 2 ) ( 1 )22P B F E ， ， 、 ， ， 12PB FE ， /PB EF ， /PB 平面 ACF . 5分 （ 2）设平面 PAB PBE、 的法向量分别为 121 1 2 2( 0 ) ( 1 )n x y n x y ， ， 、 ， ， 则 12nn、 的夹角的补角就是二面角 A PB E的平面角； (1 3 0)AB ， ， ， (1 3 2)PB ， ， ， (0 3 2)PE ， ， ， 由 1 0n AB 及 2200n PBn PE 得 1 ( 31 0)n ， ， ，2 2(0 1)3n ，
17、 - ， PEFDCBAzyx1212127c os 7| | | |nnnn nn ， ， 二面角 A PB E的余弦值为 77 。 12分 20解： ( ) f (1) 0 (an 2 an 1) (3a n 1 4an) 0 即 an 2 2an 1 2(an 1 2an) 又 a2 2a1 4 数列 an 1 2an是以 2为公比，以 4为首项的等比数列。 .2分 an 1 2an 4 2n 1 2 n 1 11 122nnaa 且 1 12a 数列 2nna是首项为 1，公差为 1的等差数列， .4 分 2nna 12a (n 1) 1 n nn na 2 .6 分 （ ） 由 nn
18、nn ab )1(3 ， nnn nb )32()1(令 Sn |b1| |b2| |bn| 23 2(23)2 3(23)3 n(23)n 23 Sn ( 23 )2 2( 23 )3 (n 1)( 23 )n n( 23 )n 1.8 分 得 13Sn 23 (23)2 (23)3 (23)n n(23)n+1 231 (23)n1 23 n(23)n+1 21 (23)n n(23)n+1 Sn 61 (23)n 3n(23)n+1 1)32(3 nnm .10 分 要使得 |b1| |b2| |bn| m对于 n N 恒成立 ,只须 6m 所以实数 m 的取值范围是 6m 。 .12
19、分 21. 解：椭圆的顶点为 )3,0( ，即 3b ， . 1分 21ace ，所以 2a ， . 2 分 椭圆的标准方程为 22143xy. 3 分 （ 2）由题可知 ,直线 l 与椭圆必相交 . 当直线斜率不存在时，经检验不合题意。 设存在直线 l 为 ( 1)( 0)y k x k ，且 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y . 由 22143( 1)xyy k x 得 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k x k ， 212 2834kxx k， 212 24 1234kxx k ， . 5 分 1)( 21212212121 xxxxkxxyyx
20、xONOM = 243 125)143 843 124(43 124222222222 kkkkkkkkk 所以 2k ，故直线 l 的方程为 )1(2 xy 或 )1(2 xy 7分 （ 3）设 ),(),( 2211 yxNyxM , ),(),( 4433 yxByxA 由（ 2）可得： |MN|= 4)(1(|1 212212212 xxxxkxxk =2222222243 )1(12)43 124(4)43 8)(1( kkkkkkk .9分 由kxyyx 13422 消去 y，并整理得：22 43 12kx ， |AB|=22432 43 )1(34|1 kkxxk ， . 11分
21、 443)1(1243)1(48|22222kkkkMNAB 为定值 .12 分 22. ( )解 :因为 2( ) ( 3 3 ) ( 2 3 ) ( 1 )xxxf x x x e x e x x e 1分 由 ( ) 0 1 0f x x x 或；由 ( ) 0 0 1f x x ,所以 ()fx在 ( ,0),(1, ) 上递增 ,在 (0,1) 上递减 2分 欲 )(xf 在 t,2 上为单调函数 ,则 20t 3分 ( )证 :因为 ()fx在 ( ,0),(1, ) 上递增 ,在 (0,1) 上递减 ,所以 ()fx在 1x 处取得极小值 e 4分 又213( 2)fee ,所以
22、 ()fx在 2, 上的最小值为 ( 2)f 6分 从而当 2t 时 , ( 2) ( )f f t ,即 mn 7分 ( )证 :因为0 2000()xfx xxe ,所以0 20() 2 ( 1)3xfx te 即为 2200 2 ( 1)3x x t , 令 222( ) ( 1)3g x x x t ,从而问题转化为证明方程 222( ) ( 1)3g x x x t =0 在 ( 2,)t 上有解 ,并讨论解的个数 9分 因为222( 2 ) 6 ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )33g t t t , 221( ) ( 1 ) ( 1 ( 2 ) ( 1 )33g t t t t
23、t t ,所以 当 4 2 1tt 或 时 , ( 2) ( ) 0g g t ,所以 ( ) 0gx 在 ( 2,)t 上有解 ,且只有一解 11 分 当 14t 时 , ( 2) 0 ( ) 0g g t 且 ,但由于 22(0 ) ( 1) 03gt , 所以 ( ) 0gx 在 ( 2,)t 上有解 ,且有两解 12分 当 1t 时 , 2( ) 0 0 1g x x x x x 或,所以 ( ) 0gx 在 ( 2,)t 上有且只有一解； 当 4t 时 , 2( ) 6 0 2 3g x x x x x 或, 所以 ( ) 0gx 在 ( 2,4) 上也有且只有一解 13分 综上所述 , 对于任意的 2t ,总存在 ),2(0 tx ,满足0 20() 2 ( 1)3xfx te , 且当 4 2 1tt 或 时 ,有唯一的 0x 适合题意；当 14t 时 ,有两个 0x 适合题意 14分
