1、 xy21 .50 .5410 109 年高考理科数学 第三次模拟考试试卷 理科数学 命题：长沙市一中理科数学备课组 一 选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1.在复平面内 ,复数iz 31对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知 aR ，则“ 2a ”是“ 2 2aa ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3.直线 ( 1)y k x与圆 221xy的位置关系是 （ ） A.相 离 B.相切 C.相交 D.与 k 的取
2、值有关 学科网 4.函数 bxAxf )s in ()( ( 0 , 0 , )22A 的图象如图，则 )(xf 的解析式 可以 为 A. 3( ) sin 12f x x B. 1( ) sin 12f x x C. 1( ) sin 124f x x D. 12sin21)( xxf 5.正四棱锥 P ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为 4，侧棱长为 26，则此球的表面积为 （ ） A. 18 B. 36 C. 72 D. 9 6设斜率为 22 的直线 l 与双曲线 221xyab交于不同的两点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为 （
3、 ） A. 42 B. 2 C. 43 D. 3 科网 7已知函数 4( ) 1| | 2fx x的定义域为 a,b (, )ab ,值域为 0,1，那么满足条件的 有序 对 (, )ab 共有（ ） A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 9 对 6.如果关于 x 的方程21 3ax x有且仅有一个正实数解，那么实数 a 的取值范围为 （ ） A. | 0aa B. | 0aa 或 2a C. | 0aa D. | 0aa 若 2a 8.在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色先染 1，再染 2 个偶数 2、 4；再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 5、 7、
4、9；再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10、 12、 14、 16；再染 16 后 面 最邻近的 5 个连续奇数 17、 19、 21、 23、 25按此规则一直染下去，得到一红色子数列 1， 2， 4， 5， 7， 9， 10， 12， 14， 16， 17， 则在这个红色子数列中，由 1 开始的第2009 个数是 （ ） A. 3948 B. 3953 C. 3955 D.3958 二填空题（本大题共小题，每小题 5 分，共 35 分） 9.某小卖部，为了研究气温对冷饮销售的影响，经过一段时间的统计 研究先一天 冷饮卖出 的 杯数 y与当天气温 x近似地满足线性回归方程： 16 48
5、yx .若 天气预报明天的气温是 30 ,则该小卖部明天大约能卖出冷饮 _杯 10 .已知2| 1 | ( 0 )() lo g ( 0 )xxfx xx ，则 ( 1)ff =_. 11.若 椭圆 22216 15xyp的左焦点在抛物线 2 2y px 的准线上，则 p 的值为 _ 12.已知面积型几何概率的定义为：若随机运动的点 可能 运动的总范围面积为 S ,该点落在某指定 范围的面积为 S ，则 该 点落在指定范围的概率 SP S .试用以上定义求解： 如图 ,一只蚂蚁在边长 分别 为 5,6, 13 的三角形区域内随机爬行，则其恰 好爬行到 离三个顶点距离都大于 1 的 区域内 的概
6、率为 13.已知 3, 3A ， O 为原点，点 ,Pxy 的坐标 满足303 2 00xyxyy ， 则 OAOPOA的最大值是 ，此时点 P 的坐标是 . 14.某种 股票 今天的 股价 是 2 元 /股 ，以后每一天的指数都比上一天的股价 增加 0.2%，则 100 天以后这种基金的股价 约是 _元 /股 （精确到 0.01） . 15.设函数 ( ), ( )f x g x 的定义 域分别为 DJ,DE 且 DJ DE ，若对于任意 x DJ,都有 ( ) ( ),g x f x 则称函数 ()gx 为 ()fx在 DE 上的一个延拓函数 .设 ( ) ln ( 0), ( )f x
7、x x x g x为 ()fx在 ( ,0) (0, ) 上的一个 延拓函数，且 ()gx 是奇函数，则 ()gx =_；设 ( ) 2 1( 0)xf x x , ()gx 为 ()fx在 R 上的一个 延拓函数，且且 ()gx 是偶函数，则 ()gx =_. 三 (解答题本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 16 (本小题满分 12 分 ) 某办公室有 5 位教师，只有 3 台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。 （ 1）若上午某一时段 A、 B、 C 三位教师需要使用电脑的概率分别是 41 、 32 、 52 ，求这一时段 A、B、 C
8、三位教师中恰有 2 位教师使用电脑的概率； （ 2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的 概率都是 31 ，求 在 这一时段该办公室电脑 使用的平均台数 和 无法满足需求的概率。 17 (本小题满分 12 分 ) 已知角 、 满足 ： 5 3sin 5cos 8， 2 sin 6 c o s 2 且 (0， 3)， (6， 2)，求 cos( )的值 . 18（本小题满分 12 分） 如图， ABC 中 ， Co90 , o45A , ABCDC 平 面 ,DC=6, G ABC为 的 重 心 o45M G D M C G为 上 的 一 点 ，. (1)求 证 AB DG； (2)求 二面角
9、G MC B 的大小 . 19（本小题满分 13 分） 已知 ( ) lnf x x x 求函数 ()fx在 区间 , 2( 0)t t t上的最小值 ； 对一切 实数 (0, )x ， 2 ( ) ( )f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围； 证明对一切 (0, )x ， 12lnxx e ex恒 成立 20 （本小题满分 13 分） 如下图，某隧道设计为双向四 车道，车道总宽 20 m，要求通行车辆 限高 5 m，隧道全长 2.5 km，隧道的 两侧是与地面垂直的墙，高度为 3 米，隧道上部 拱线近似地看成 半个椭圆 （ 1）若最大拱高 h 为 6 m，则隧道设计的拱宽 l 是多
10、少？ （ 2） 若要 使隧道 上方半椭圆部分 的土方工程量最小 ，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l？ （ 已知： 椭圆22ax +22by =1 的面积公式为 S=ab ，柱 体体积为底面积乘以高 .） （ 3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点 M、 N，使它们所在位置的高度恰好是 限高 5m，现以 M、 N 以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若 l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的 2 倍，试确定 M、 N 的位置以及 h 的值 ，使总造价最少 . l h 20m0 5m 3m 21（本小题满分 13 分
11、） 已知数列 na 满足 1a 2 5a ， 116n n na a a （ 2n ， *nN ）， 若数列 1nnaa 是等比数列 . （）求数列 na 的通项公式； （ ）求证：当 k 为奇数时，111 1 43kkkaa ； （）求证：121 1 1 12na a a （ *nN ） . 长沙市一中高三第三次模拟考试试卷 理科数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D B B C C 9. 528 10. 1 11. 4 12 118 13. 3 ， (1, 3) . 14. 2.44 . 15. |ln | |,2 1xxx 三 (解答题本大题共 6 小题，共
12、 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 16 解：（ 1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为 A、 B、 C，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的， 所以甲、乙、丙三位教师中恰有 2 位使用电脑的概率是： 315232)411(52)321(41)521(3241)()()( BCAPCBAPCABPp 6 分 （ 2）电脑数无法满足需求，即指有 4 位以上（包括 4 位）教师同时需要使用电脑，记有 4 位教师同时需要使用电脑的事件为 M，有 5 位教师同时需要使用电脑的事件为 N， 4 4 55 1 2 1( ) C ( ) ( ) , ( ) ( )3 3 3P M P
13、N 8 分 所以，所求的概率是： P=P（ M） +P（ N） = 24311)31()32()31( 5445 C。 11 分 155 33 ,即平均使用台数为 53 台。 12 分 17 解： 5 3sin 5cos 8， sin( 6) 45 3 分 (0， 3)， 6 (6， 2)， cos( 6) 35 5 分 又 2sin 6cos 2， sin( 3) 22 ， 8 分 (6， 2)， 3 (2， 56 )， cos( 3) 22 ， 10 分 sin( 6) ( 3) sin( 6)cos( 3) cos( 6)sin( 3) 210， cos( ) 210 12 分 18解析
14、 (1) 在 ABC 中， AC BC , o90ACB故 ABC 为等腰直角三角形 G ABC为 的 重 心 ， AB GC 又 DC ABC平 面 , AB 平面 ABC AB DC 由 及 DC GC C知 AB 面 DGC, DG 面 DGC, AB DG 6 分 (2)延长 CG 交 AB 于点 N G ABC为 的 重 心 N 是 AB 的中点 o90ACB 1 62CN AB连接 DN 延长 CM 交 DN 于 点 C,由 o6 , 4 5C N D C M C G 知 CE DN ,则 E 是 DN 的中点，连接 BE，由 AB 面 DGC,知 B CEE 故 BEN 为二面角
15、 G MC B 的平面角 9 分 在 RtBEN 中， BN=6,EN=32, tan 2BNBENEN 二面角 G MC B 的大小是 arctan 2 12 分 19 解： ( ) ln 1f x x，当 1(0, )xe， ( ) 0fx ， ()fx单调递减，当 1( , )xe ， ( ) 0fx ， ()fx单调递增 1 分 102tt e ， t 无解； 2 分 102tte ，即 10 t e 时，m in 11( ) ( )f x f ee ； 3 分 1 2tte ，即 1t e 时， ()fx在 , 2tt 上单调递增， m in( ) ( ) lnf x f t t t
16、； 所以m in110() 1lnteefxt t t e ， ， 5 分 22 ln 3x x x ax ，则 32lna x x x ，设 3( ) 2ln ( 0)h x x x x x ，则2( 3)( 1)( ) xxhx x，(0,1)x ， ( ) 0hx ， ()hx 单调递增， (1, )x ， ( ) 0hx ， ()hx 单调递减，所以 min( ) (1) 4h x h，因为 对一切 (0, )x ， 2 ( ) ( )f x g x 恒成立，所以 min( ) 4a h x； 9 分 问题等价于证明 2ln ( ( 0 , ) )xxx x xee ，由 可知 ( )
17、 ln ( ( 0 , )f x x x x 的最小值是 1e ，当且仅当 1x e 时取到，设 2( ) ( ( 0 , )xxm x xee ，则 1( )xxmx e，易得m ax 1( ) (1)m x m e ，当且仅当 1x 时取到，从而 对一切 (0, )x ，都有 12lnxx e ex成立 13 分 20 （ 1）解：如下图建立直角坐标系，则点 P（ 10， 2）， 椭圆方程为22ax +22by =1.将 b=h-3=3 与点 P 坐标代入椭圆方程，得 a=65，此时 l=2a=125 , 因此隧道的拱宽约为 125 m. 5 分 （ 2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量
18、最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭 圆的面积最小即可 由椭圆方程22ax +22by =1，得 2210a+ 222b=1.因为 2210a+ 222b 2 10 2ab，即 ab 40， 8 分 所以半椭圆面积 S= 2ab 40 202 . 10 分 当 S 取最小值时，有 2210a= 222b=21，得 a=10 2 ， b=22. 此时 l=2a=20 2 ， h=b+3=22+3 12 分 故当拱高为 (22+3)m、拱宽为 20 2 m 时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小 13 分 （ 3）根据题意设 ( , 2 ) , ( , 2 ) , 1 0 1 5M x N x x
19、 则 设 2 2 2( ) 2 2 2 ( 1 5 ) ( 2 0 ) 2 2 ( 3 0 2 2 9 ( 1 0 1 5 )f x x x x x x x 11 分 则 222 3 0 2 2 9 2 ( 1 5 ) () 3 0 2 2 9x x xfx xx 令 ( ) 0fx ， 2 3 0 2 2 1 0 1 3 ( 1 7 )x x x x 舍 去， 且 10 13x 时， ( ) 0 ,1 3 1 5 ( ) 0 ,f x x f x 时 , 13x 时， ()fx取最小值，此时 (13 , 2) , ( 13 , 2)MN ,代入椭圆方程得 25 1414b 25 1433 1
20、4hb 13 分 l h 20m0 5m 3m x y o P 21 【解】（）数列 1nnaa 是等比数列 11111 1 1 16166 11 nnnnn n n n nn n n n n n n naaaaa a a a aa a a a a a a a 应为常数 61 得 2 或 3 当 2 时，可得 1 2nnaa 为首项是 212 15aa， 公比为 3 的等比数列，则 11 3152 nnn aa 当 3 时， 1 3nnaa 为首项是 103 12 aa ，公比为 2 的等比数列， 11 3 1 0 2 nnnaa 得， 32nnna 4 分 （注：也可由利用待定系数或同除 1
21、2n 得通项公式） （）当 k 为奇数时，11111 3 423 123 13 411 kkkkkkkk aa 1 1 1 1 1 134 8 727 6 8 4 03 3 2 3 2 3 3 2 3 2kkkkk k k k k k k k k k 11 3411 kkk aa 8 分 （）由（）知 k 为奇数时， 111 3 1313 411 kkkkk aa 10 分 当 n 为偶数时， 2121 1 1 1 1 1 1 1 113 3 3 2 3 2nnna a a 当 n 为奇数时，121211111111 nnn aaaaaaa 2 1 11 1 1 1 1 113 3 3 2 3 2nn 13 分
