1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年 高考理科数学 第一次适应性测试 数学（理科） 试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分 ,考试时间 120 分钟 考试时 不能 使用计算器 ，选择题、填空题答案填写在答题纸上 第 I 卷 （选择题 共 50 分） 一、选择题： 本大题共 10 小 题，每小题 5 分，共 50 分 在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 集合 | 2 1 , A x x n n Z ， | 4 1, B x x n n Z ，则 （ ） A AB B A B C AB D BA 2 已 知 a 是实数，若 (1 )(
2、2 )i ai 是纯虚数，则 a （ ） A 2 B 2 C 1 D 1 3 命题： “ xR ， 1 2x x ” 的 否 定 是 （ ） A xR ， 1 2x x B xR ， 1 2x x C 0xR ，0 01 2x xD 0xR ，0 01 2x x4光线自点 M（ 2， 3）射到 N（ 1， 0）后被 x 轴反射，则反射光线所在的直线与圆 C： 22( 4) 1xy （ ） A相离 B相切 C相交且过圆心 D相交但不过圆心 5 右 图是 一个多面体 的三视图，其中正视图 和侧视图都 是边 长为 1 的正三角形， 俯视图是边长为 1 的正方形， 则 多面 体 的表面积是 （ ） A
3、 31 B 3 C 3 D 2 6 已知 23( ) ( 1)( 2 )( 3 )f x x x x ，则 ()fx的表达式中含 4x 项的系数是 （ ） A 2 B 3 C 5 D 6 7 已知 m 是平面 的一条斜线，点 A ， l 为过点 A 的一条动直线，那么下列 情形可 能 出 现 的 是 （ ） A /lm， l B lm ， l C lm ， /l D /lm， /l 8 在平面直角坐标系中，不等式组 0,0,xyxyxa（ a 为常数） 表示的平面区域的面积是8， 则 2xy 的最小值 （ ） A 14B 0 C 12 D 20 9 北京 2008 年第 29 届 奥运会开幕式
4、上举 行升旗仪式 ， 在 坡度 15的看台上， 同 一列上的第 一 排和最后一排测得旗杆顶 部的仰角分别为 60和 30，第 一 排和最 后一排的距离为 106 米 （如图所示） ， 旗杆底部与第 一 排在一个水平面上 若 国歌长度约为 50 秒 ， 升旗手应以 （米 /秒）的速度匀速升旗 A 15 （米 /秒） B 35 （米 /秒） C 35 （米 /秒） D 65 （米 /秒） 10将 3 个相同的黑球和 3 个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向左数，黑球的个数 总是不小于 白球的个数，就称这种排列为 “ 有效排列 ” ，则出现 “ 有效排列 ” 的
5、 概 率 为 （ ） A 12 B 14 C 15 D 110 第卷 （共 100 分） 二、填空题： 本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 11已知某班级有女生 20 人，男生 30 人一次 考试女生的平均分为 75 分，全班的平均分为 72 分，则男生的平均分为 12如图给出一个算法流程图，如果输入的 m 10，则输出的 S 13已知 AOB，点 P 在线段 AB 上， 若 4OP mOA nOB， 则 mn 的最大值为 14 已知椭圆 短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该 椭圆的离心率等于 15数列 na 中，已知 1 1a ，且 221 1 11 2 ( )n
6、 n n n n na a a a a a ， 则 na 16已知函数2l o g ( 1 ) 2 ( 0 )() ( 1 ) ( 0 )a xxfx a x a x (0a 且 1a ）在 R 上是增函数，则 a的取值范围是 17 设 ()f x ax b（其中 ,ab为实数）， 1( ) ( )f x f x ， 1( ) ( ( )nnf x f f x ， 1,2,3,n ，若 22ab ，且 ( ) 243 244kf x x ，则 k 三、解答题 ： 本大题共 5 小题，共 72 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （本小题满分 14 分） 已知向量 (cos , s
7、in )xxm , (c o s , sin 2 3 c o s )n x x x, Rx ,设 ()mnfx， （ I）求函数 ()fx的最小正周期 ； （ II） , 42x ,求 ()fx的值域 19 （本小题满分 14 分） 如图， 已知矩形 ABCD 中， 2AB ， 1BC ，现沿对角线 BD 折成二面角C BD A，使 1AC （如图） （ I） 求证： DA 面 ABC ； （ II）求二面角 C BD A 平面角的 大小 20 （本小题满分 14 分） 在一种智力 有奖 竞猜游戏中，每个参加者 可以 回答两个问题（题 1 和 题 2）， 且 对两个问题可以按自己选择的顺序进行
8、作答， 但是只有答对了第一个问题之后才能回 答第二个问题 。 假设： 答对题 i （ 1,2i ），就得到奖金 ia 元 ，且 答对题 i 的概率为ip （ 1,2i ），并且两次作答不会相互影响 （ I） 当 1 200a 元， 1 0.6p ， 2 100a 元， 2 0.8p 时，某人选择先回答题 1，设获得奖金为 ，求 的分布列和 E ； （ II） 若 122aa ， 121pp，试问：选择先回答哪个问题时可能得到的奖金更多？ 21 （本小题满分 15 分） 如图 ， 已知抛物线 2 4xy ，过抛物线上一点 11( , )Ax y （不同于顶点）作抛物线的 切线 l，并交 x 轴于
9、点 C 在直线 1y 上任取一点 H 过 H 作 HD 垂直 x 轴于 D， 并交 l 于点 E 过 H 作直线 HF 垂直直线 l，并交 x 轴于点 F （ I） 求证： |OC| |DF|； （ II） 试判断直线 EF 与抛物线的位置关系 并说明理由 22 （本小题满分 15 分） 已知函数 ( ) ( 0xf x ba a且 1)a ，且 ( ) 8 ( 3)f k f k（ *4,k k N） （ I）若 8,b 求 (1) ( 2) ( )f f f n （ *nN ） ； （ II）若 (1) 16 128f 、 、 依次是某等差数列的第 1 项，第 k 3 项，第 k 项， 试
10、问：是否存在正整数 n，使得 2( ) 2( 100)f n n成立，若存在，请求出所有的 n及相应的 b 的值，若不存在，请说明理由？ 数学（理科） 试题 参考答 案 一、选择题：本大题共 10 题，每小题 5 分，共 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D B C C A B B 二 、 填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 11 70 分 12 1011 13 116 14 63 15 n 16 (1, 2 17 5 三、解答题： 本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （本小题满分 14
11、 分） 已知向量 m (cos , sin )xx, (c o s , sin 2 3 c o s )n x x x, Rx ,设 ( m nfx . （ I）求函数 ()fx的最小正周期 （ II） , 42x ,求 ()fx的值域 解： （ I）因为 22( ) c o s s in 3 s in 2 c o s 2 3 s in 2 f x m n x x x x x = 2 si n( 2 )6x 4 分 所以函数 ()fx的最小正周期 22T . 6 分 （ II）因为 , 42x , 272 , 6 3 6x 8 分 所以 13si n( 2 ) , 6 2 2x 12 分 所以
12、( ) 1, 3fx 14 分 19 （本小题满分 14 分） 如图， 已知矩形 ABCD 中， 2AB ， 1BC ， 现沿对角线 BD 折成二面角C BD A，使 1AC （如图） （ I） 求证： DA 面 ABC ； （ II）求二面角 C BD A平面 角的 大小 证明： （ I） 1, 2D A A C D C . 2 2 2AC AD CD DA AC,又 DA AB ， DA平面 ABC 4 分 （ II） 方法一： 取 AB 中点 M，连 CM，过 M 作 MN BD 交 BD 于 N，连 CN 1CA CB， CM AB DA 平面 ABD , DA 平面 ABC , 平面
13、 ABC 平面 ABD 7 分 CM 平面 ABD ， CM BD ，又 MN BD ， MN CM M BD 平面 CMN ， CNM 为 二面角 C BD A的平面角。 11 分 2 62 1 63MN ， 22CM ， ta n 3CMCNM MN ， 60CNM ， 即二面角 C BD A平面角的度数为 60 14 分 方法二 ： 取 AB 中点 M，连 CM，过 M 作 MN BD 交 BD 于 N，连 CN 1CA CB， CM AB DA 平面 ABD , DA 平面 ABC , 平面 ABC 平面 ABD 7 分 CM 平面 ABD ， 取 BD 中点 H， MH AD AD
14、AB MH AB 分别以 AB， MH， MC 为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 有： 2 1 2( , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( 0 , 0 , )2 2 2B H C 2 1 2 2( , , 0 ) , ( , 0 , )2 2 2 2B H B C 9 分 设平面 BCD 的法向量为 ),( zyxn 21 00 22 ( 1 , 2 , 1 )0 22 022xyBH nnBC nxz 12 分 又平面 ABD 的法向量为 )1,0,0(m 1c o s ,2| | | |mnnm mn 显然二面角 C BD A为锐角，所以它的大小为 60 14 分
15、 MABCD NMABCD N20 （本小题满分 14 分） 在一种智力竞猜游戏中，每个参加者需回答两个问题（题 1 及题 2），他对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答， 但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问 题 。如果他答对题 i（ 1,2i ），就得到奖金 ia 元。假设他答对题 i 的概率为 ip （ 1,2i ），并且两次作答不会相互影响 （ I） 当 1 200a 元， 1 0.6p ， 2 100a 元， 2 0.8p 时，某人选择先回答题 1，设获得奖金为 ，求 的分布列和 E （ II） 若 122aa ， 121pp，试问：选择先回答哪个问题时可能得到的奖金更多？
16、解： （ I） 分布列： 0 200 300 P 0 4 0 12 0 48 3 分 0 0 . 4 2 0 0 0 . 1 2 3 0 0 0 . 4 8 1 6 8E 5 分 （ II） 设选择先回答题 1，得到的奖金为 1 ；选择先回答题 2，得到的奖金为 2 则有 1 1 1 2 1 2 1 2(1 ) ( )E a p p a a p p 2 2 2 1 1 2 1 2(1 ) ( )E a p p a a p p 8 分 根据题意可知： 2 2 21 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 2 1 )E E a p p a p
17、p a p p a p p ， 当 2112 1 0pp 时， 1 12p （负号舍去） 10 分 当 12 1 1p 时， 2112 1 0pp ， 12EE ，先答题 1 可能得到的奖金更高； 12分 当 1 21p 时， 2112 1 0pp ， 12EE ，先答题 1 或题 2 可能得到的奖金一样多 ; 当 10 2 1p 时， 2112 1 0pp ， 12EE ，先答题 2 可能得到的奖金更多 14 分 【注：第 （ II） 问，学生如有按其他条件进行讨论的参照以上评分标准给分，另解参考如下： 另解 1： 2 2 21 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2( 1 )
18、( 1 ) 2 ( 1 ) ( 4 2 )E E a p p a p p a p p a p p 当 2224 2 0pp 时， 2 22p （正号舍去） 当 20 2 2p 时， 2224 2 0pp ， 12EE ，先答题 1 可能得到的奖金更高； 当 2 22p 时， 2224 2 0pp ， 12EE ，先答题 1 或题 2 可能得到的奖金一样多； 当 22 2 1p 时， 2224 2 0pp ， 12EE ，先答题 2 可能得到的奖金更高 另解 2： 221 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2- ( 1 - ) - ( 1 - ) ( 2 - )E E a p p a p p
19、a p p 当 122pp 时， 12EE ，先答题 1 可能得到的奖金更高； 当 122pp 时， 12EE ，先答题 1 或题 2 可能得到的奖金一样多； 当 122pp 时， 12EE ，先答题 2 可能得到的奖金更高 21 （本小题满分 15 分） 如图，已知抛物线 2 4xy ，过抛物线上一点 11( , )Ax y （不同于顶点）作抛物线的切线l， 并交 x 轴于点 C，在直线 1y 上任取一点 H，过 H 作 HD 垂直 x 轴于 D，并交 l 于点 E，过 H 作直线 HF 垂直直线 l，并交 x 轴于点 F （ I） 求证： |OC| |DF|； （ II） 试判断直线 EF
20、 与抛物线的位置关系并说明理由 解： （ I） 24xy 2xy 1 1| 2l x xxky 221 1 1 11: ( )2 4 2 4x x x xl y x x x 3 分 1( ,0)2xC 4 分 设 ( , 1)Ha ( ,0)Da 12: ( ) 1F H y x ax 1( ,0)2xFa 6 分 1| | | | 2xOC DF 7 分 （ II） 211( , )24x a xEa ， 1( ,0)2xFa 8 分 2111124 22EFx a x xkax 9 分 211: ( ) ( )22xxE F y a x a 10 分 由 2 22112114 4( ) 4
21、( ) 022( ) ( )22xy xxx a x axxy a x a 13 分 22111 6 ( ) 1 6 ( ) 022xxaa 15 分 直线 EF 与抛物线相切 22 （本小题满分 15 分） 已知函数 ( ) ( 0xf x ba a且 1)a ，且 ( ) 8 ( 3)f k f k（ *4,k k N） （ I） 若 8,b 求 (1) (2 ) ( )f f f n （ *nN ）； （ II） 若 (1)f 、 16、 128 依次是某等差数列的第 1 项，第 k 3 项，第 k 项， 试问：是否存在正整数 n，使得 2( ) 2( 100)f n n成立，若存在，请
22、求出所有的 n 及相应的 b 的值，若不存在，请说明理由？ 解： （ I） () kf k ba ， 3( 3) kf k ba 83a ， 2a 3 分 又 8b ， ( ) 8 2nfn 为等比数列， 则 (1 ) ( 2 ) ( ) 1 6 ( 2 1 )nf f f n 6 分 （ II） (1)f 、 16、 128 依次是某等差数列的第 1 项，第 k 3 项，第 k 项 设等 差数列的公差为 d ， 1123d 7 分 由（ 1）可知 2a ， (1) 2fb 11212 8 2 ( 1) 3bk 2 4 8 5 6 ( 4 , )3 kb k k Z （ *） 8 分 由题意知
23、：要使方程 22 2( 100)nbn有正整数解，结合（ *）式可知 b 的取值为整数， 故 2 4 8 5 6 1 9 2 5 6 ( 1 ) 6 4 5 6 ,33kkb m m N 9 分 令 22( ) ( ) 2 ( 1 0 0 ) 2 2 2 0 0xg x f x x b x ， 则 ( ) ln 2 2 4xg x b x （ 1）当 0b 时 8b ， 2( ) 8 2 2 200xg x x ( ) l n 2 2 4 4 ( 2 l n 2 2 )xxg x b x x 当 ),1 x 时， 2 ln 2 2 2 0xxxx ，（这里可以利用二次求导或二项式展开来证明）
24、则 0)( xg、 ， ()gx 在 ),1 内单调递增 而 (1) 214 0g ， 0)( xg ， ),1 x 当 8b 时，不存在正整数 n，使得 2( ) 2( 100)f n n成立 11 分 （ 2）当 0b 时，由 Nmmb ,5664 可知： 若 2,m m N，即 64 56 104bm ， 则 2( ) 2 2 2 0 0 0xg x b x 对一切 ),1 x 都成立， 不存在正整数 n，使得 2( ) 2( 100)f n n成立 13 分 当 2m 时 b 为 48 ， 2( ) 4 8 2 2 2 0 0xg x x ()gx 在 ),1 内单调递减 又 (1) 102 0g ， ( 2 ) 4 8 4 8 2 0 0 0g 存在 2n 满足 2( ) 2( 100)f n n； 15 分 综上所述：存在正整数 n 2，使得 2( ) 2( 100)f n n，此时 48b
