1、 09届高 考 理 科 数学 第五次模拟考试试题 本试卷分第 I卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 .共 150分 ,考试时 间 120分钟 . 第 I 卷 (选择题，共 60分 ) 一、选择题：本大题共 12小题 每小题 5分，共 60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 ,3 2 RxxyxA ， ,1 2 RxxyyB ，则 AB= A.( 2 ,1), ( 2 ,1) B. 1 3zz C. 1 3zz D. 0 3zz 2. 函数 y 8sin4xcos4x的最小正周期是 A.2 B.4 C. 4 D. 2 3 3(1 i)2 A. 32i B. 32i
2、 C.i D. i 4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. 3 ,y x x R B. sin ,y x x R C. ,y x x R D. x1( ) ,2y x R 5. 若 9987.0)3( ，则标准正态总体在区间（ 3， 3）内取值的概率为 A 0.9987 B 0.9974 C 0.9944 D 0.8413 6. 已知 ,mn是两条不同直线， , 是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ,m n m n若 则 B , 若 则 C ,mm 若 则 D ,m n m n若 则 7. 12 )12(31lim 2 nn nn A. 21 B.2 C.23 D.
3、32 8.若双曲线 )0,0(12222 babyax 的离心率为 2,则双曲线 12222 axby 的 离心率为 A 223 B 2 C 2 D 332 9. 设 10 ab ，则下列不等式中成立的是 A 12 aba B 0lo glo g2121 abC 12 bab D 222 ab 10设 P 为 ABC 所在平面内一点，且 025 ACABAP ，则 PAB 的面积与 ABC的面积之比为 A 15 B 25 C 14 D 53 11. 从圆 222 2 1 0x x y y 外一点 3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 A 12 B 35 C 32 D 0 12.
4、 已知 )(xf 为定义在 ),( 上的可导函数 ,且 )()( xfxf 对于 Rx 恒成立 ,则 A. )0()2( 2 fef , )0()2009( 2 0 0 9 fef B. )0()2( 2 fef , )0()2009( 2 0 0 9 fef C. )0()2( 2 fef , )0()2009( 2 0 0 9 fef D. )0()2( 2 fef , )0()2009( 2 0 0 9 fef 第 II卷 （共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分， 共 16 分 把答案填在题中横线上 13.已知正数 x 、 y 满足 053 02 yx yx，则 11
5、( ) ( )42xyz的最小值 为 _. 14. 表面积为 23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 15. 二项式 61()xx的展开式中的常数项为 _.(结果用数值作答 ). 16. 如果一个函数的图象关于直线 0xy 对称 ,则称此函数为自反函数 . 使得函数23xby xa 为自反函数的 一组 实数 ,ab的取值为 _ 三、解答题：本大题共 6小题，共 74 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本题满分 12分）已知函 数 ( ) 2 s in ( ) 184f x x . （）在所给的坐标纸上作出函数 ( ), 2,1 4 y f x x 的图象 (
6、不要求写出作图过程 ). （）令 )()()( xfxfxg ， xR .求函数 )(xgy 的图象与 x 轴交点的横坐标 . 18. (本题满分 12分 ) 按照新课程的要求 , 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动 (以下简称活动 ). 该 校高 2010级一班 50名学生在上学期 参加活动的次数统计如图所示 （ I）求 该班 学生参加活动的人均次数 x ； （ II）从 该班 中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率 0P （ III）从 该班 中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列 及数学期望 E （要求：答案用最简分数表示） 1
7、9（本题满分 12 分） 如图所示，在矩形 ABCD 中， 22 ABAD ，点 E 是 AD 的中点，将 DEC 沿 CE 折起到 ECD 的位置，使二面角 BECD 是直二面角 . （）证明： DCBE ； （）求二面角 EBCD 的正切值 . 21. （本题满分 12 分） 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点 B 恰好是1 2 3 5 10 15 20 25 参加人数 活动次数 抛物线 y=41 x2的焦点，离心率等于22.直线 l 与椭圆 交于 NM, 两点 . （） 求 椭圆 的方程 ； ( ) 椭圆 的右焦点 F 是否可以为 BMN 的垂心？若可以 ,求出直线 l
8、 的方程；若不可以 ,请说明理由 . 21.（本题满分 12分）设 函数 atattf 221)( 的定义域为 2,2 ，记函数 )(tf 的最大值为 )(ag . （） 求 )(ag 的解析式 ; （）已知 1( ) ( )g a g a ,试求实数 a 的取值范围 . 22. （本题满分 14分）已知正项数列 na 满足对一切 Nn ,有 233231 nn Saaa ，其中 nn aaaS 21 . ( )求数列 na 的通项公式 ; ( ) 求证 : 当 *Nn 时 , 3ln)11ln( nn aa. 数学答题纸理科 一、选择题 :(本大题 共 12小题，每小题 5分，共 60分 )
9、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题 :(本大题 共 4小题，每小题 4分，共 16分 ) 13. , 14. . 15. . 16. . 三、解答题 :(本大题 共 6小题，共 74分 ) 17.（ ） （） 18. （） （） 19. （） （） 20. （） （） 21. （ I） (II) 22. （） （） 陕西省师大附中 2009届高三第五次模拟考试 数学理答案 一 .选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A A B D A D D A B A 二 .填空题 13. 161 .; 14. 23 ;
10、 15. 15; 16. 2a ,b 可以填写任意实数 三、解答题 17（） ( ) 1)48s i n (21)48s i n (2)()()( xxxfxfxg 28c o s222)48s i n (2)48s i n (2 xxx 由 028c o s22)( xxg 得 228cos x ,从而 kx 2438 ,即 Zkkx ,616 .所以 ,函数 )(xgy 与 x 轴交点的横坐标为 Zkk ,616 . 12分 18.由图可知，参加活动 1次、 2次和 3次的学生人数分别为 5、 25和 20 （ I） 该班 学生参加活动的 人均次数为 x = 1023501 1 550 2
11、0325251 3分 （ II ）从 该班 中 任 选 两 名 学 生 ， 他 们 参 加 活 动 次 数 恰 好 相 等 的 概 率 为4920250220225250 C CCCP 6分 （ III）从 该班 中任选两名学生，记 “ 这两人中一人参加 1次活动，另一人参加 2 次活动 ”为事件 A ， “ 这两人中一人参加 2 次活动，另一人参加 3 次活动 ” 为事件 B ， “ 这两人中一人参加 1次活动，另一人参加 3次活动 ” 为事件 C 易知 4925)()()1( 25012012525012515 C CCC CCBPAPP ； 8分 494)()2( 25012015 CC
12、CCPP . 10分 的分布列： 0 1 2 P 4920 4925 494 的数学期望： 493349424925149200 E 12分 19（） AD=2AB=2， E是 AD 的中点， BAE， CDE是等腰直角三角形， 易知， BEC=90，即 BE EC 又平面 D EC平面 BEC，面 D EC面 BEC=EC， BE面 D EC，又 CD 面 D EC， BE CD 6分 （）法一：设 M 是线段 EC的中点，过 M作 MF BC 垂足为 F，连接 D M， D F，则 D M EC 平面 D EC平面 BEC， D M平面 EBC， MF是 D F在平面 BEC上的射影， 由
13、三垂线定理得： D F BC， D FM是二面 D BC E的平面角 . 在 Rt D MF中， 2121,2221 ABMFECMD 。 2tan MFMDFMD ， 即二面角 D BC E的正切值为 2 . 12分 法二：如图，以 EB， EC为 x轴， y轴，过 E垂直于平面 BEC的射线为 z轴，建立空间直角坐标系，则)22,22,0(),0,2,0(),0,0,2( DCB 设平面 BEC 的法向量为 )1,0,0(1 n ；平面 D BC的法向量为 ),( 2222 zyxn ),22,22,0(),0,2,2( CDBC 由0222202200222222zyyxCDnBCn .
14、取 ),1,1,1(,1 22 nx 得 33|,c o s 21 2121 nn nnnn 2,tan 21 n。 二面角 D BC E的的正切值为 2 . 20. (） 设 C方程为 )0(12222 babyax ，则 b = 1. .2.22 2222 aa ba 即椭圆 C的方程为 .12 22 yx 6分 （）假设存在直线 l ,使得点 F 是 BMN 的垂心 .易知直线 BF 的斜率为 1 ，从而直线 l 的斜率为 1.设直线的方程为 mxy ，代如椭圆的方程，并整理可得0)1(243 22 bbxx .设 ),(),( 2211 yxNyxM ，则 mxx 3421 ， 3 2
15、2 221 mxx .于是 )1()1( 1212 yyxxBMNF 0)34)(1(3 222)(1(2)(2222121212121212121mmmmmmmxxmxxmxmxxxmxxyyxxyx 解之得 1m 或 3/4m . 当 1m 时，点 B 即为直线 l 与椭圆的交点，不合题意 .当 34m 时，经检验知 l 和椭圆相交，符合题意 . 所以，当且仅当直线 l 的方程为 34xy 时 , 点 F 是 BMN 的垂心 . 12分 21. （） 注意到 当 0a 时 , 直线 1t a 是抛物线atattf 221)( 的对称轴，分以下几种情况讨论 . (1) 当 a0 时，函数 y= )(tf , 2,2t 的图象是开口向上的抛物线的一段， 由 1t a 0知 )(tf 在 2,2. 上单调递增， 2)2()( afag .
