1、 中原名校联盟 2013 2014 学年高三上期第一次摸底考试 文科数学试题 （考试时间： 150 分钟 试卷满分： 150 分） 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1已知集合 P x 2x 1， M a，若 P M P，则 a 的取值范围是 （ ） A（ 1， 1） B 1，） C 1， 1 D（， 1 1，） 2复数 z i（ i 1）（ i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ） A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 3对于给定空间中的直线 l， m， n 及平面，“ m， n ， l m， l n”是“ l
2、”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知 a b 2，则 3a 3b 的最小值是 （ ） A 2 3 B 6 C 2 D 2 2 5执行右边的程序框图，若 t 1， 2，则 s（ ） A 1， 1) B 0， 2 C 0， 1) D l， 2 6若直线 y kx 与圆 22xy 4x 3 0 的两个交点关 于直线 x y b 0 对称，则 （ ） A k 1， b 2 B k 1， b 2 C k 1， b 2 D k 1， b 2 7已知等比数列 na 中，各项都是正数，且 a1, 12 a3， 2a2 成等差数列，则 9 1098aaaa
3、 （ ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 2 D 3 2 2 8如图所示， M， N 是函数 y 2sin（ wx ）（ 0）图像与 x 轴的交点，点 P 在 M， N之间的图像上运动，当 MPN 面积最大时 PMuur PNuur 0，则 （ ） A 4 B 3 C 2 D 8 9正方形 AP1P2P3 的边长为 4，点 B， C 分别是边 P1P2， P2P3 的中点，沿 AB， BC， CA 折成一个三棱锥 P ABC（使 P1， P2， P3 重合于 P），则三棱锥 P ABC 的外接球表面积为 （ ） A 24 B 12 C 8 D 4 10在圆 22( 2 ) ( 2 ) 4x
4、y 内任取一点，则该点恰好在区域 50303xxyx 2y 2 内的概率为 （ ） A 18 B 14 C 12 D 1 11等轴双曲线 2221xab2y （ a 0,b 0）的右焦点为 F（ c， 0），方程 2 0ax x c b 的实根分别为 1x 和 2x ，则三边长分别为 1x ， 2x ， 2 的三角形中，长度为 2 的边的对角是 （ ） A锐角 B直角 C钝角 D不能确定 12已知函数 f（ x）（ x R）满足 ()fx f（ x），则 （ ） A f（ 2） 2e f（ 0） B f（ 2） 2e f（ 0） C f（ 2） 2e f（ 0） D f（ 2） 2e f（ 0
5、） 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题第 24 题为选考题，考生依据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知向量 ar ， br 满足 ar 1， br 2， a 与 b 的夹角为 60，则 ar br _ 14已知 na 是等差数列， a4 a6 6，其前 5 项和 S5 10，则其公差 d _ 15设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m），则 该几何体的体积为 _m3 16已知函数 f（ x） 222 3 1, 1,1x x xx x x ，关于 x 的方程 f（ x） m（ m R）
6、恰有三个互不相等的实数根 1x , 2x ， 3x ，则 1x 2x 3x 的取值范围是 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 设函数 f（ x） 2sinx sin（ 2x 2 ） （ 1）求函数 f（ x）的最大值和最小值； （ 2） ABC 的 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， c 3， f（ 2C ） 14 ，若 sinB 2sinA，求 ABC 的面积 18（本小题满分 12 分） 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查，其中女性有 55 名。右图是根据调查结果绘
7、制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有 10 名女性。 （ 1）根据已知条件完成下面的 2 2 列联表，并据此资料判断你是否有 95以上的把握认为“体育迷”与性别有关 ? 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 （ 2）将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”， 已知“超级体育迷”中有 2 名女 性，若从“超级体育迷”中任意 选取 2 人，求至少有 1 名女性观 众的概率。 19（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD平面 ABCD， AB DC， 已知 B
8、D 2AD 2PD 8， AB 2DC 4 5 （ 1）设 M 是 PC 上一点，证明：平面 MBD平面 PAD； （ 2）若 M 是 PC 的中点，求棱锥 P DMB 的体积 20（本小题满分 12 分） 已知 ABC 中 , 点 A， B 的坐标分别为（ 2 ， 0）， B（ 2 ， 0）点 C 在 x 轴上方 （ 1）若点 C 坐标为（ 2 ， 1），求以 A， B 为焦点且经过点 C 的椭圆的 方程： （ 2）过点 P（ m， 0）作倾斜角为 34 的直线 l 交（ 1）中曲线于 M， N 两点，若点 Q（ 1， 0）恰在以线段 MN 为直径的圆上，求实数 m 的值 21（本小题满分
9、12 分） 设函数 f（ x） 12a 2x ax lnx（ a R） （ 1）当 a 1 时，求函数 f（ x）的极值； （ 2）当 a 2 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ 3）若对任意 a（ 2， 3）及任意 1x ， 2x 1， 2，恒有 ma ln2 f（ 1x ） f（ 2x ）成立，求实数 m 的取值范围 【选考题】 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分 22（本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图，在 ABC 中， CD 是 ACB 的平分线， ACD 的外接圆交于 BC 于点 E， AB 2AC （ 1）
10、求证： BE 2AD； （ 2）当 AC 1,EC 2 时，求 AD 的长 23（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中，圆锥曲线 C 的参数方程为 4cos4sinxy （为参数），直线 l经过定点 A（ 2， 3），倾斜角为 3 （ 1）写出直线 l 的参数方程和圆的标准方程； （ 2） 设直线 l 与圆相交于 A， B 两点，求 PA PB的值 24（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 设 f（ x） x 1 x 3 （ 1）解不等式 f（ x） 3x 4； （ 2）若不等式 f（ x） m 的解集为 R，求实数 m 的取值范围 文
11、科数学参考答案 一、选择题（本大题共 60 分，每小题 5 分） CABBD CBAAC CD 二、填空题（本大题共 20 分，每小题 5 分） 13、 3 14、 12 15、 4 16、 5 8 6( , )24+ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 60 分） 17、 解：（ I） 1 c o s 2 1 1( ) c o s 2 c o s 22 2 2xf x x x 2 分 当 cos2 1x 时，函数取得最大值 1；当 cos2 1x 时，函数取得最 小 值 0 4 分 （ ） 1( ) ,24Cf 1 1 1cos2 2 4C 又 (0, )C 23C 6 分 sin 2sin
12、BA 2ba 8 分 3c 22 29 4 2 2 c o s 3a a a a 2 97a 10 分 21 9 3s in s in2 1 4ABCS a b C a C 12 分 18、解：（ 1）由频率分布直方图可知，在抽取 的 100 人中，“体育迷”有 25 人， 1 分 从而完成 22 列联表如下： 2 分 将 22 列联表中的数据代入公式计算，得 21 0 0 3 0 1 0 4 5 1 5 100 3 .0 3 07 5 2 5 4 5 5 5 3 3k 5 分 因为 3.030 3.841 ，所以我们没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关。 6 分 （ 2）由频率分布直方
13、图知“超级体育迷”为 5 人， 从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 1 2 1 3 2 3 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b其中 ia 表示男性， 1,2,3i ， jb 表示女性 1,2j 。 由这 10 个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的。 用 A 表示“任取 2 人中，至少有 1 人是女性”这一事件，则 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2, , , , , , , , , , ,
14、 , ,A a b a b a b a b a b a b b b 10 分 事件 A 由 7 个基本事件组成，因而 710PA 。 12 分 19、（ I）证明：在 ABD 中，由于 4 , 8 , 4 5A D B D A B ， 所以 2 2 2AD BD AB。故 AD BD 。 又平面 PD 平面 ,ABCD BD 平面 ABCD ，所以 BD 平面 PAD , 又 BD 平面 MBD ，故平面 MBD 平面 PAD 6 分 (II)解：过 M 作 MN DC 于 ,N M 是 PC 的中点 , 2MN 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75
15、25 100 163P D M B P D B C M D B CV V V 12 分 20、解析：（ 1）设椭圆方程 22 10xy abab ， 2 , 2 4 , 2c a A C B C b 2 分 椭圆方程为 22142xy 4 分 （ 2）直线 l 的方程为 y x m ，令 1 1 2 2, , ,M x y N x y，联立方程得： 223 4 2 4 0 ,x m x m 1221243243mxxmxx ， 221 6 1 2 ( 2 4 ) 0 6 6m m m 若 1,0Q 恰在以线段 MN 为直径的圆上， 则 12 111yyxx ，即 2 1 2 1 21 1 2
16、0m m x x x x ， 8 分 23 4 5 0mm ，解得 2 193m ， 2 1 9 2 1 9( 6 , 6 ) , ( 6 , 6 )33 2 193m 符合题意 12 分 21、解：（）函数的定义域为 (0, ) 当 1a 时， 11( ) l n , ( ) 1 .xf x x x f x xx 令 ( ) 0, 1.f x x得 当 01x时， ( ) 0fx ；当 1x 时， ( ) 0fx ( ) (0,1)fx 在 单调递减，在 (1, ) 单调递增 ( ) (1) 1f x f 极 小 值 ，无极大值 4 分 （） 21 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )
17、( ) ( 1 ) a x a x a x xf x a x a x x x 1(1 ) ( ) ( 1 )1a x xax 5 分 2a ， 1011a 当 1 11a 即 2a 时， 2( 1 )( ) 0 , ( ) (0 , )xf x f xx 在上是减函数 当 1 11a ，即 2a 时，令 ( ) 0fx ，得 1011xxa 或 , 令 ( ) 0fx ，得 1 11 xa 综上，当 2a 时， ( ) (0, )fx 在 单调递减 当 2a 时， 1( ) (0 , ) (1, )1fx a 在 和单调递减，在 1( ,1)1a 上单调递增 8 分 （）由（）知，当 (2,3
18、)a 时， ( ) 1,2fx在 上单调递减 当 1x 时， ()fx有最大值，当 2x 时， ()fx有最小值 12 3| ( ) ( ) | ( 1 ) ( 2 ) l n 222af x f x f f 3ln 2 ln 222ama 10 分 而 0a 经整理得 1 3 1 1 32 3 0 ,2 2 4 2 2maaa 由 得 0m 12 分 22、选修 4-1 几何证明选讲 解：连接 DE 因为 ACED 是圆的内接四边形， 所以 BDE BCA ，又 DBE CBA ， 所以 DBE CBA ，即有 BE DEBA CA ，又 2AB AC ， 所以 2BE DE ，又 CD 是
19、 ACB 的平分线， 所以 AD DE ，从而 2BE AD 。 5 分 （ 2）由条件的 22AB AC设 AD t ， 根据割线定理得 BD BA BE BC , 即 22A B A D B A A D A D C E ， 所以 2 2 2 2 2t t t 即 22 3 2 0tt 解得 12t ，或 2t （舍去），即 12AD 10 分 23、选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 1） 224xy， 122332xttyt 为 参 数 5 分 （ 2）把代人得， ( )2 2 3 3 3 0tt+ + - = 设 12,tt是方程的两个实根，则 12 3tt=- 所以1 2 1 2 3
20、PA PB t t t t 10 分 24、选修 4-5：不等式选讲 解：因为 2 2 , 1( ) 4 , 1 3 ,2 2 , 3xxf x xxx 所以原不等式等价于 12 2 3 4x xx 或 134 3 4xx 或 32 2 3 4xxx ， 2 分 解得无解， 03x ， 3x ， 因此不等式的解集为 0xx . 5 分 （）由于不等式 ()f x m 的解集为 R ，所以 min()f x m , 7 分 又 ( ) | 1 | | 3 | | 1 3 | 4f x x x x x ，即 min( ) 4fx ， 9 分 所以 4m ，即 m 的取值范围为 ,4 . 10 分
