1、高二 数学 上学期期末统考 试题 及答案 （ 理） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在各题所给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在答题卡上） 1.已知命题 pxRxp 则,012,: 2 是 （ ） A 012, 2 xRx B 012, 2 xRx C 012, 2 xRx D 012, 2 xRx 2.椭圆 xyyx 3134 22 的右焦点到直线 的距离是 （ ） A 21 B 23 C 1 D 3 3.条件 P：“直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍”；条件 q：“直 l 的斜率为 2”， 则 p 是 q 的 （
2、 ） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D非充分也非必要条件 4. 已知 x2，则 2 45() 24xxfx x 有 A 最大值 1.25 B 最小值 1.25 C 最大值 4 D 最小值 1 5.在 ABC 中，边 a、 b、 c 所对角分别为 A、 B、 C，且 c Cb Ba A c o sc o ss in ，则 ABC 的形状为 （ ） A等边三角形 B有一个角为 30的直角三角形 C 等腰直角三角形 D有一个角为 30的等腰三角形 6.若互不相等的实数 、 、 成等差数列 、 、 成等比数列，且 则 等于 7.已知 F1、 F2 的椭圆 )0(12222 baby
3、ax 的焦点， M 为椭圆上一点， MF1 垂直于 x 轴， 且 ,6021 MFF 则椭圆的离心率为 （ ） A 33 B 23 C 21 D 22 8.已知等差数列 中 是它的前 项和，若 则当 取最大值时， 的值为 9. 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1底面 ABC， AB=BC=AA1， ABC=90。点 E、 F 分别是棱 AB、 BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成 的角是 （ ） A 45 B 60 C 90 D 120 10.已知点 )0,2()4,0(),( BAyxP 和到 的距离相等，则 yx 42 的最小值为 （ ） A 2 B 4 C
4、28 D 24 11.已知 )11)(11(,1,0,022 bababa 则的最小值为 （ ） A 6 B 7 C 8 D 9 12. 如图所示，在正方体 1111 DCBAABCD 的侧面 11ABBA 内有一动点 P 到直线 11BA 和直线 BC 的距离相等，则动点 P 所在曲线形状为 (A) (B) (C) (D) 第卷（非选择题 共 90 分） 二 填空： （每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上） 13.命题“若 ba ，则 122 ba ”的逆否命题为 。 13.若 122 ba , 则 ba 14. 设等差数列 na 的公差 d 0，又 1 3 9,a a a 成
5、等比数列，则 1 3 92 4 10a a aaaa 。 14.1613 15.已知实数 x、 y 满足条件 |42|,0520402yxzyxyxyx则的最大值为 . 15 21 16如图，双曲线 C 的中心在原点，虚轴两端点 分别为 B1、 B2，左顶点和左焦点分别为 A、 F， 若 12 FBAB ，则双曲线 C 的离心率为 . 16 215 三、 解答题 ：（本大题 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，已知 030,1,3 Bbc . （ 1）求出角 C 和 A ； （ 2）求 ABC 的面积 S. 17.
6、（ 1） bcBCsinsin ， 23sin C 3 分 0000 30,120,90,60, ACACBCbc 此时或者此时 6 分 （ 2） S=0.5bcsinA= 43,23 12 分 18. （本小题满分 12 分） 已知一个数列 na 的各项是 或 首项为 ，且在第 k 个 和第 1k 个 之间有 12k 个 ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 记数 列的前 n 项的和为 nS （ ）试问第 1m 个 为该数列的第几项？ （ ）求 2006a ； （ ）求 2006S ； 解： 记（ ， ）为第 对，共 项； （ ， ， ， ） 为第 对， 共 （ ） 项； 2
7、1(1,2,2,2, ,2)k共 个 2为第 对，共 （ ） 项， 故前 对共有项数为 2 + 4 + 6 + + 2 k = k (k + 1 )分 （ ）第 1m 个 所在的项为前 m 对所在全部项的后 项， 即为 ( 1) 1mm，即 2 1mm分 （ ）因 4， ，故第 项在第 对内，从而 2006 2a 分 （ ）由（ ） 可 知 ， 前 项 中 共 有 个 ，其余 个数均为 ，于是2006s 分 19. （本小题满分 12 分） 日照市 某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表： 资金 每台空调或冰箱所需资金（百元） 月资金供应
8、数量 （百元） 空调 冰箱 成本 30 20 300 工人 工资 5 10 110 每台利润 6 8 问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？ 19.设空调和冰箱的月供应量分别为 yx, 台，月总利润为 z 百元 则 yxzNyxyxyx86,1101053002030* 3 分 作出可行域 6 分 843 zxy ，纵截距为 8z ， 斜率为k= 43 ， 满 足2030105 k 欲 z 最大，必 8z 最大，此时，直 线843 zxy 必 过 图 形*,1101053002030Nyxyxyx的一个交点（ 4， 9）， yx, 分别为 4， 9 空调和冰箱的月供应量分别
9、为 4 、 9 台时，月总利润为最大 . 12 分 20. （本小题满分 12 分） 已知数列 ).2(353,2, 111 nSaaSaSna nnnnnn 且有项和为的前 （）求数列 na 的通项公式； （）若 ,)12( nn anb 求数列 nb 的前 n 项和 .nT 20.解： （） )2(533 11 naaSS nnnn 2 分 21,2 11 nnnn aaaa 3 分 又 21a ， .212 的等比数列为首项公比为是以na 4 分 z = 6 x + 8 y30 x + 20 y = 3005 x + 10 y = 110yx( 4 ,9 )o1nnnna 221 2)2
10、1()21(2 5 分 （ ） nn nb 22)12( nn nT 2101 2)12(252321 7 分 nnn nnT 1210 2)12(2)32(232121 8 分 nnn nT 1210 2)12()222(2221 9 分 nn n 11 11 2)12(21 )2(122 nn 12)32(6 11 分 nn nT 22)32(12 12 分 21. （本小题满分 12 分） 如图，已知 ABCD 是正方形， PD 平面 ABCD， PD=AD. (1)求二面角 A-PB-D 的大小； (2)在线段 PB 上是否存在一点 E,使 PC 平面 ADE?若存在 ,确定 E 点的
11、位置 ,若不存在 ,说明理由 . 21.解：（ 1）以向量 ,DA DC DP 为正交基底， 建立空间直角坐标系 . 联结 AC,交 BD 于点 O,取 PA 中点 G,联结 DG. ABCD 是正方形 , AC DB. 又 PD 平面 ABCD,AC 平面 ABCD, AC PD, AC 平面 PBD. PD 平面 ABCD， AB AD， PA AB. AB 平面 PAD. PD=AD,G 为 PA 中点 , GD 平面 PAB. 故向量 DGAC与 分别是平面 PBD 与平面 PAB 的法向量 . 令 PD=AD=2， 则 A(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， AC =(-2，
12、 2， 0). P(0,0,2),A(2,0,0), G(1,0,1), DG =(1,0,1). 向量 DGAC与 的夹角余弦为21222 2c o s DGAC DGAC， 0120 , 二面角 A-PB-D 的大小为 060 . （ 2） PD 平面 ABCD， AD CD， AD PC. 设 E 是线段 PB 上的一点，令 )10( PBPE . AP (-2,0,2), PB (2,2,-2), PC (0,2,-2). )2,2,2( PE . )22,2,22( PEAPAE . 令 得,0PCAE 2 22 (2 - 2 )=0,得 21 . 当 21 ,即点 E 是线段 PB
13、 中点时 ,有 AE PC. 又 PD 平面 ABCD， AD CD， AD PC. 当点 E 是线段 PB 中点时 ,有 PC 平面 ADE. 22. （ 本小题满分 14 分） 已知定点 F（ 1， 0），动点 P 在 y 轴上运动，过点 P 做 PM 交 x 轴于点 M，并延长 MP 到点 N，且.|,0 PNPMPFPM （）求点 N 的轨迹方程； （）直线 l 与点 N 的轨迹交于 A、 B 不同两点，若 4OBOA ，且 304|64 AB ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 . 22解： （）由于 |,| PNPM 则 P 为 MN 的中心， 设 N（ x， y），则 M（ x
14、,0） ,P（ 0， 2y ）， 2 分 由 ,0PFPM 得 ,0)2,1()2,( yyx ,0)2()2(1)( yyx ,42 xy 所以点 N 的轨迹方程为 ,42 xy 5 分 （）设直线 l 的方程是 ),0( kmkxy 与 得联立消去 yxy 42 ： ,0)42(4)( 2222 mxkmxkxmkx 整理得 6 分 设 ),(),( 2211 yxByxA 则： ,42 2221221 kmxxkkmxx ,)()( 2212122121 mxxkmxxkmkxmkxyy ,4)42( 222 kmmkkmkmm 7 分 由 ,44 2121 yyxxOBOA 得 ,44
15、22 kmkm 即 ,0)2( 2 km ,2km 9 分 由于直线与 N 的轨迹交于不同的两点， 则 ,1,04)42( 222 kmmkkm 即 把 ,122 2 kkm 代入上式得 ,0 点的轨迹恒有两个不同交与时直线且当 NlkRk 而 4)(1(| 212212 xxxxkAB 4)42()1( 2 24 22 kmkkmk )1616)(1( 42 k kmk )3216)(1( 4 22 k kk )12)(1(4 222 kkk 又因为 ,304|64 AB ,30)12)(1(6 4 22 k kk 解得 ,121211 kk 或 综上可知 k 的取值范围是 121211| kkk 或. 14 分
