1、 高二数学 上学期 期末模拟试卷 时间： 120 分钟 分值： 160 分 一、填空题 1、 样本 a1, a2, a3, , a10 的平均数为 X ， 样本 b1, b2, b3, , b20 的平均数为 Y ,则样本 a1， a2， a3， ，a10, b1， b2， b3， ， b20 的平均数为 (用 X ,Y 表示 ) _. 2、 抛物线 )0(2 aaxy 的焦点坐标是 _. 3、 已知条件 : 1 2px ，条件 2:5 6q x x ，则 p 是 q 的 _条件 . 4、为了解 1200 名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 30 的样本考虑采取系统抽样，则
2、分段的间隔 (抽样距 )k 为 _. 5、以下给出的是计算 1 1 1 12 4 6 20 的值的一个流程 图 (如图所示 )，其中判断框内应填入的条件是 _. 6、 写出命题：“至少有一个实数 x , 使 3 2x =0”的否 定 . 7、经过点 )62,62( M 且与双曲线 134 22 yx 有共同渐 近线的双曲线方程为 _. 8、口袋内装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球，其 中有 45 个红球，从中摸出 1 个球，摸出白球的概率为 0.23，则摸出黑球的概率为 9、 （文科班） 已知函数 32( ) ( 2 1 ) 2f x a x a x ，若 1x 是 ()y f x 的
3、一个极值点，则 a （理科班） 已知向量 ,3,5 krjibkjima 若 /a b 则实数 m _， r _. 10、 已知椭圆 22191xykk的离心率 22e ，则 k 的值等于 _. 11、 记定点 )310,3(M 与抛物线 xy 22 上的点 P 之间的距离为 d1， P 到抛物线准线 L 的距 离为 d2，则当 d1+d2 取最小值时， P 点坐标为 _. 12、 若双曲线 22145xy上一点 P 到右焦点的距离为 8，则 P 到左 准线的距离为 _. 13、分别 在区间 1,6和 2,4内任 取一 实 数， 依次 记为 m 和 n，则 mn 的概率 为 . 14、（文科班
4、） 已知函数 32f x x ax b 的图象在点 1,0P 处的切线与直线 30xy 平行，则 _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ab. （理科班） 若 19(0,2, )8A ， 5(1, 1, )8B ， 5( 2,1, )8C 是平面 内的三点，设平面 的法向 开始 s 0,n 2,i 1 1ssnn n+2 i i+1 否 结束 是 输出 s 量 ),( zyxa ，则 zyx : _. 二、解答题 15、 已知条件 p ： 02082 xx ， 012: 22 axxq .若 p 是 q 的充分而不必要条件，求正实数 a 的取值范围 . 16、已知双曲线过点 P
5、 )4,23( ，它的渐近线方程为 xy 34 （ 1）求双曲线的标准方程； （ 2）设 F1 和 F2 是这双曲线的左、右焦点，点 P 在这双曲线上，且 |PF1| |PF2|=32，求 F1PF2 的大小 . 17、 （文科班） 同时掷 3 个骰子。求：（ 1）三个骰子的点数都是 4 的概率； （ 2）三个骰子的点数和小于 5 的概率。（ 3）三个骰子的点数至 少有两个相同的概率； （理科班） 已知正方形 ABCD ，边长为 2，正方形内任意一点的选取都是等可能的，任选一点 P ，作 PM AB 于 M ， PN AD 于 N ，矩形 PMAN 的面积为 S 。 （ 1）请建立适当的坐标系
6、，设 ( , )Pxy ，作出满足 1S 的 P 点的区域，并写出 ,xy满足的条件； （ 2） 1S 的概率大于 0.5 吗？试通过计算说明。 18、 （文科班） 已知曲线 ( ) ( ln )f x x a b x 过点 P（ 1， 3） ，且在点 P 处的切线恰好与直线2 3 0xy垂直 . 求 ( ) 常数 ,ab的值； ( ) ()fx的单调区间 . （理科班） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA 底面 ABCD ，3AB ， 1BC ， 2PA ， E 为 PD 的中点 . （）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值； （）在侧面 PAB 内找一点
7、 N ，使 NE 面 PAC ，并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离 . 19、 （文科班） 设曲线 2:C y x 上的 点 0 0 0, , 0P x y x ，过 P 作曲线 C 的切线。 A BD C(1) 若 0 2x ，求过点 P 的切线方程； （ 2）设曲线 C 焦点为 F ，切线与 y 轴交于 A，求证 : AFP 是等腰三角形。 （理科班） 在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， O 正方形 1 1 1 1ABCD 的中心，点 P 在棱 1CC 上，且 1 4CC CP . （ 1） 求直线 AP 与平面 11BCCB 所成角的余弦值； （
8、2） 设点 O 在平面 1DAP 上的射影为 H ，求证： 1DH AP ； （ 3）求点 P 到平面 1ABD 的距离 . 20、如图， A 为 椭圆 22 1( 0)xy abab 上的一个动点，弦 AB、 AC 分别过焦点 F1、 F2，当 AC垂直于 x 轴时，恰好有 AF1： AF2 3： 1. ( ) 求椭圆的离心率； ( ) 设 1 1 1 2 2 2,A F F B A F F C. 当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时，求 12 的值； 当 A 点为该椭圆上的一个动点时，试判断 12 是否 为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由 . 东沟中 学高二数学期末模拟试卷参考答案 一
9、、填空题 (14*5=70 分 ) A B C x y F1 F2 1、 23xy 2、 1(0, )4a 3、充分不必要 4、 40 5、 10i 6、 3, 2 0x R x 7、 22168yx 8、 0.32 9、（文） 2；（理） 115, 5 10、 11 1933或 11、 (22)， 12、 8 83或 13、 35 14、（文） 32， ；（理） 23( 4)： ： 二、解答题 15、 03a 16、解（ 1）由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为 23 的点 P 的纵坐 标绝对值为 24 ， 424 双曲线的焦点在 x 轴上，设方程 12222 byax 双曲线
10、过点 11618)4,23(22 baP 又 34ab 由得 16,9 22 ba ，所求的双曲线方程为 1169 22 yx 6 分 （ 2）证 |PF1|=d1， |PF2|=d2，则 d1 d2=32 又由双曲线的几何性质知 |d1 d2|=2a=6 8 分 362 212221 dddd 即有 100236 212221 dddd 10 分 又 |F1F2|=2c=10 22212221221 |100| PFPFddFF PF1F2 是直角三角形， 9021PFF 12 分 17、解：（文）（ 1） 116 6 6 216 ；（ 2） 1 3 16 6 6 54 ；（ 3） 6 5
11、4 41 6 6 6 9 （理）（ 1）以 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， A 为坐标原点建立直 角坐标系。 ,xy 满足：0 2 , 0 2 , 1x y x y 所围成的区域。 （ 2）阴影部分面积 2 211 12 1 1 2 l n 1 2 l n 2 1 l n 4 1d x xx 使得 1S 的概率 ln 4 1 1 1 14 4 2 18、 解 （文） ( )据题意 (1) 3f ，所以 3a （ 1） 1( ) ( l n ) l nf x a b x x b a b b xx ， 又曲线在点 P 处的切线的斜率为 32 ， (1) 3f ，即 32ab（ 2）由（ 1
12、）（ 2）解得 33,2ab . （） 3 3 3( ) ln (1 ln )2 2 2f x x x . 当 (0, )xe 时， ( ) 0fx ； 当 ( , )xe 时，( ) 0fx . ()fx的单调区间为 (0, ) , ( , )ee ，在区间 (0,)e 上是增函数，在区间 (, )e上是减函数 . （理） （）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , , , , ,A B C D P E的坐标为 (0,0,0)A 、 ( 3,0,0)B 、 ( 3,1,0)C 、 (0,1,0)D 、 (0,0,2)P 、 1(0, ,1)2E ， 从而 ).2,0,3(),0,1,3( P
13、BAC 设 PBAC与 的夹角为 ，则 ,14 7372 3|c o s PBAC PBAC AC 与 PB 所成角的余弦值为 1473 . （）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为 ( ,0, )xz，则 )1,21,( zxNE ，由 NE 面 PAC 可得， .0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0xzzxzxACNEAPNE 化简得即 163zx 即 N 点的坐标为 )1,0,63( ，从而 N 点到 AB 和 AP 的距离 分别为 31,6 . 19、解：（文）（ 1） 2yx ，切线方程为 4 4 2yx ，即 44y
14、x （ 2） 00,xy 处切线方程： 0 0 02y y x x x ，将 0x 代入， 得 20 0 0 0 0 02 2 0Ay y x y y y y ，焦点 F 坐标 10,4， 014AF y ，又00124pP F y y ， AF PF，即 AFP 是等腰三角形。 （理） 102103P 复习题第 13 题 20、 解 （）设 2|AF m ，则 1| | 3AF m .由题设及椭圆定义得 2 2 2(3 ) (2 )32m m cm m a ， 消去 m 得 222ac ，所以离心率 22e . ( ) 由 (1)知， 2 2 212b c a，所以椭圆方程可化为 2 2 2
15、22x y c. 当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时， 12 ，直线 1AF 的方程为 y x c . 由2 2 22y x cx y a 得 23 4 0x cx，解得1240, 3x x c ， 点 B 的坐标为 41( , )33ca . 又 1( ,0)Fc ，所以1 2|3FB c， 1| | 2AF c ，所以 1 3 ， 126. 当 A 点为该椭圆上的一个动点时， 12 为定值 6. 证明 设 00( , )Ax y ， 1 1 2 2( , ) , ( , )B x y C x y，则 2 2 2002x y a. 若 A 为椭圆的长轴端点，则12,a c a ca c a
16、c或12,a c a ca c a c， 所以 2212 222 ( ) 6ac . 若 A 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由 1 1 1 2 2 2,A F F B A F F C得， 001212,yy ，所以 1 2 01211()y yy . 又直线 1AF 的方程为 00xcx c yy ，所以由 0 02 2 222xcx c yyx y c 得 2 2 2 20 0 0 0 0 2 ( ) 2 ( ) 0y x c y c y x c y c y . 2 2 20022x y c， 220 0 0 0( 3 2 ) 2 ( ) 0c x y y x c y c y . 由韦达定理得 2001 032cyyy cx ，所以 01 032cyy cx . 同理 01 032cyy cx. 001 2 0 01 2 0 03 2 3 211( ) ( ) 6c x c xyyy y c y c y . 综上证得，当 A 点为该椭圆上的一个动点时， 12 为定值 6.
