1、 高二年级数学 上学期期末考试 数 学 试 题 本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 . 共 120分，考试时间 120分钟 . 注意事项： 1 各题的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试卷上的无效 . 2 答题前，考生务必将自己的 “姓名 ”， “班级 ”和 “学号 ”写在答题纸上 . 3 考试结束，只交答题纸 . 第 卷 （选择题 共 48分） 一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 4分，共 48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1不等式 1 3x 等价于 （ ） A 10 3x B 1 03xx或 C 13x D 0x 2如果直线 2
2、2 0ax y 与直线 3 2 0xy 平行 , 那么 实数 a等于 （ ） A 6 B 3 C 32 D 23 3空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连结这个空间四边形各边的中点，所组成的 四边形是 （ ） A正方形 B矩形 C平行四边形 D梯 形 4 抛物线 281xy 的焦点坐标是 （ ） A (0, 4) B (0, 2) C )0,21( D 0,3215如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角的大小关系是 （ ） A相等 B互补 C相等或互补 D不确定 6 若 ,lmn 是互不相同的空间直线， ,是互不重合的两个平面，则下列命题中为真命题是 （ ） A若 / , ,
3、ln ，则 /ln B若 , /lm 且 ，则 lm C若 ,l n m n，则 /lm D若 , /ll ，则 / 7 满足 方程 22( 2 ) ( 1) 1xy 的 yx 的最大值是 （ ） A 33 B 43 C 3 D 34 8已知点 ),( yxP 在直线 12 yx 上运动，则 yx 42 的最小值是 （ ） A 2 B 2 C 2 2 D 4 2 9 已知 ,ab是一对异面直线，且 ,ab成 80角，则在过空间一 定 点 P的直线中与 a， b所成角均为 80的直线有 （ ） A 4条 B 3条 C 2条 D 1条 10 在 ABC中， AB=AC=10cm, BC=12cm,
4、 PA 平面 ABC， PA = 8cm, 则点 P到边 BC的 距 离为 （ ） A 10 cm B 13 cm C 82cm D 122 cm 11 关于函数 )0(22 baxaaby 的叙述 不 正确的是 （ ） A 图象关于 y轴对称 B值域是 b，0 C图象是椭圆的一部分 D图象是双曲线的一部分 12直线 23yx与曲线 2 |194y x x的交点个数是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 第 卷 （非选择题，共 72分） 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 4分，共 16分） 13 过抛物线 2 8yx 的焦点，倾斜角为 45的直线被抛物线截得的弦长为 ； 14 已 知
5、双曲线的虚轴长是实轴长与焦距的等比中项，则此双曲线的离心率是 ； 15函数 ( ) ( 4 3 ) 2 0 , 1 ( ) 2f x a x b a x f x ， ， 若 恒 成 立 ， 则 ab 的最大值为 ； 16 下面有 四 个命题： 经过空间一点与两条异面直线都相交的直线有且只有一条； 经过空间一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； 经过空间一点与两条异面直线都平行的平面有且只有一个； 经过空间一点与两条异面直线都垂直的平面有且只有一个 其中真命题的序号是 _（把符合要求的命题序号都填上） . 三、解答题（本大题共 6小题，共 56分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
6、骤） 1,3,5 17 （本小题满分 8分） 已知直线 l 与直线 3 4 7 0xy 的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积等于 24，求直线 l 的方程 18（本小题满分 8 分） 长方体 1 1 1 1A B C D ABCD 中， 12 , 1, ,A B B C A A E F 分别是1 1 1AB BB和 的中点， 求： 1E F A D与 所 成 角 的 余 弦 值 19（本小题满分 10分）点 P为双曲线 22112 4xy的渐近线与右准线在第一象限内的交点，圆 C与双曲线的两条渐近线都相切，且 P为切点，求圆 C的标准方程 . 20 （本小题满分 10分） 如图， 点
7、 P是 矩形 ABCD所在的平面外一点 ， E、 F分别是 AB、PC的中点 （ 1） 求证 ： EF 平面 PAD； （ 2）若 PA平 面 ABCD， 且 PA=AD， 求证： EF 平面 PCD. 21 （本小题满分 10分） 已知动点 ),( yxM 与 定点 )0)(0,2( ppF 和 定 直线 2px 的距离相等 （ 1）求 动 点 M的轨迹 C的方程； A E B C P F D C1 B D D1 E B1 F C A1 A （ 2）设 M、 N是轨迹 C上异于原点 O的两个不同点，直线 OM和 ON的倾斜角分别为 和 ，当 、 变化，且 90 时 . 求证：直线 MN 恒
8、过 一 定点 22 （本小题满分 10分） 已知椭圆的中心为坐标原点 O，其中一个焦点坐标为（ 2 ， 0） ，离心率为 36 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2） 已知向量 (0, 1)OB， 是否存在斜率为 ( 0)kk 的直线 l， l与曲线 C相交于 M、N 两点，使 向量 BM 与向量 BN 的夹角为 60 ，且 BM BN ? 若存在，求出 k值，并写出直线 l的方程；若不存在，请说明理由 参考答案 BAABD BDCAC DC 13 16 14 152 15 417 16 17 解： 直线 3x+4y 7=0的斜率是 43 ， 直线 l的斜率为 43 ，设直线 l的方程为 bxy
9、 43 . 设 x=0, 得 y=b; 设 y=0, 得 x= b34 ， 所以 24|34|21 bb ， 6b . 直线 l的方程为 .02443,643 yxxy 即 18 解 :连结 1 1 1 1,BA BC AC ，则 EF 1,BA 1AD 1,BC 11ABC 即为 EF 与 1AD 所成角或其补角， 1,3,5 且1 1 1 1 1 1 5 5 8 15 , 2 2 , c o s .2 5 5B A B C A C A B C 19 解： 右准线方程为： x=3， 一条渐进线方程为： 33,y x k o即 倾 斜 角 =30 所以 (3, 3)P (1) 当圆心 C在 x
10、正半轴上时 , 221 2 2 3 , 2 , 4 , ( 4 ) 4O P P C O C x y 则 (2) 当圆心 C在 y正半轴上时， 1 1 1 16 0 , 3 0 , 4 3 , 6ooO C C O C C O C r P C 则 22( 4 3 ) 3 6xy 圆 的 方 程 为 ： 20证明： (1)取 PD的中点 G联结 AG， GF， G， F分别是 PD， PC的中点 GF/CD 又 AB/CD AE/GF且 AE=GF 四边形 AEFG为平行四边形 EF/AG AG平面 PAD EF/平面 PAD (2) PA=AD且 PG=GD AG PD, 又 CD AD, P
11、A平面 ABCD, CD PA PA AD=A, CD平面 PAD, AG平面 PAD AG CD AG/EF EF CD,EF PD PD CD=D, EF平面 PCD 21 解：（ 1）由抛物线的定义可知：点 M的轨迹 C的方程为抛物线，所以 M的轨迹 C的方程为 )0(22 ppxy 。 （ 2） 方法 1： 设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ，由题意得 21 xx ，直线 MN 的斜率存在，设直线去 x ，得 0222 pbpyky ，由韦达定理知： kpbyykpyy 2,22121 当 90 时， 1tantan ， 0121212211 yyxxxyxy2212
12、12221 4022 pyyyypypy 可得 pkbpkpb 242 2 ，因此直线 MN的方程为： pkkxy 2 ，当 0y 时，px 2 ，所以，直线 MN过定点 )0,2( p 。 A E B C P F D G 方法 2：直线 OM的方程为： y=k1x，直线 ON的方程为： y=k2x由 tantan =1可得 k1k2=1， 221 1 2 2 1 22 2 2 2 1( , ) , ( , ) MNp p p pM N kk k k k k k 21 1 2 12 1 2: ( )ppM N y xk k k k 直 线， 令 y=0，则 221 2 1 1 2 12 2 2
13、1 1 1 12 ( ) 2 2 2 22 2p k k p p k p k k p kpxpk k k k 所以，直线 MN 过定点 )0,2( p 。 22 解 ：（ 1） 36ac ， 2c 3a ， 1b . 椭圆 C的方程为： 1y3x 22 (2)设直线 l的方程为： mkxy ， 设 )y,N (x),( 2211 yxM ， 33yx mkxy22，消去 y，得 033m6 k m xx3k1 222 )( ， 2221221 3k1 33mxx;3k1 6 k mxx 01m3k12)3k1)(1m(12m3 6 k 222222 线段 MN 的中点 G )y,x( 00 ，
14、 2210 3k1 3 k m2 xxx ；22200 3k1 mm3k1 m3kmkxy ， 线段 MN 的垂直平分线的方程为： )3k1 3 k mx(k13k1 my22 | BNBM ， 线段 MN 的垂直平分线过 B（ 0， -1）点， B x y O M N G 222 3k1 3m3k1 3kmk13k1 m1- 23k1m 2 代入 ，得 01)23k1(3k 222 ， 解得这个不等式，得 .01,k1 k且 BMN为等边三角形， 点 B到直线 MN的距离 |MN|23d ， 而 2222 k123k1|23k11|k1|m1|d 2 2 21 2 1 2 1 2222 2 2 22 2 22 2 22 2 22 2| M N | 1 k | x x | 1 k ( x x ) 4 x x6 k m 3 m 3 1 k1 k ( ) 4 1 2 ( 3 k m 1 )1 3 k 1 3 k 1 3 k1 k 1 3 k 1 k1 2 3 k ( ) 1 3 1 k .1 3 k 2 1 3 k 2222 k13k1 k1323k123 ， 解得 31k2 ，即 33k ，满足 式 . 代入 ，得 12 1123k1m 2 . 直线 l的方程为： 1x33y .
