1、 高中学生学科素质训练 高二 下 学期 数学期中测试题 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 第 I 卷 (选择题 共 60 分 ) 一 . 选择题 (本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ) 1. 已知 的夹角等于与则 baba ),1,2,1(),1,1,0( （ ） A 90 B 30 C 60 D 150 2. 设 M、 O、 A、 B、 C 是空间的点，则使 M、 A、 B、 C 一定共面的等式是 （ ） A 0 OCOBOAOM B OCOBOAOM 2 C OCOBOAOM 41
2、3121 D 0 MCMBMA 3. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为 2:6 ，则侧面与底面的夹角为（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 4. 在斜棱柱的侧面中，矩形 的个数最多是 （ ） A 2 B 3 C 4 D 6 5. 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 （ ） A各侧面是正三角形 B底面是正方形 C各侧面三角形的顶角为 45 度 D顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 6. 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形， EF AB， 23EF ，EF 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 （ ） A 29 B 5 C 6
3、D 215 7. 已知，是平面， m， n 是直线 .下列命题中 不 正确的是 （ ） DA BE FCA若 m n， m，则 n B若 m， =n，则 m n C若 m， m，则 D若 m， m ，则 8已知点 A（ 1， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， C（ 0， 0， 1），若存在点 D，使得 DB AC， DCAB，则 D 点的坐标是 （ ） A（ -1， 1， 1） B )21,21,21( C（ -1， 1， 1）或（ 1， -1， -1） D )1,1,1()21,21,21( 或 9. 下列命题中，正确命题的个数是 （ ） （ 1）各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 （ 2
4、）三棱锥的表面中最多有三个直角三角形 （ 3）简单多面体就是凸多面体 （ 4）过球面上二个不同的点只能作一个大圆 .0 个 .1 个 .2 个 . 3 个 10. 将鋭角 B 为 60 , 边长为 1 的菱形 ABCD 沿对角线 AC 折成二面角 , 若 60 ,120 , 则折后两条对角线之间的距离的最值为 （ ） A. 最小值为 43 , 最大值为 23 B. 最小值为 43 , 最大值为 43 C. 最小值为 41 , 最大值为 43 D. 最小值为 43 , 最大值为 23 11. 如图， AC 为圆 O 的直径， B 为圆周上不与点 A、 C 重合的点， PA 垂直于圆 O 所在的平
5、面，连结 PB、 PC、 AB、 BC， 作 AN PB， AS PC，连结 SN， 则图中直角三角形个数为 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 12设有如下三个命题： 甲：相交的直线 l， m 都在平面内，并且都不在平面内； 乙：直线 l,m 中至少有一条与平面相交； 丙：平面与平面相交 . 当甲成立时， （ ） A乙是丙的充分而不必要条件； B乙是丙的必要而不充分条件 C乙是丙的充分且必要条件 D 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 . 第 II 卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13边长为 2 的正方形 ABCD
6、在平面内的射影是 EFCD，如果 AB 与平面的距离为 2 ，则 AC 与平面所成角的大小是 . 14.已知 A（ 1， -1， 3）， B（ 0， 2， 0）， C（ -1， 0， 1）若点 D 在 OZ 轴上，且 ,BCAD 则 |AD . 15. 已知 k3j2iF1 , kj3i2F2 , k5j4i3F3 ,若 321 F,F,F 共同作用在物体上，使物体从点 1M (2,-3,2)移到 2M （ 4， 2， 3），则合力所作的功 . 16.已知点 P，直线 、以及平面、 cba ，给出下列命题： 若 baba /成等角，则与、 若 cc ，则，/ 若 /baba ，则， 若 aa
7、，则， / 若 相交、异面或、或，则， bababacbca / 其中正确命题的序号是 _.(把所有正确命题的序号都填上 ) 三、解答题 （本大题共 6 题，共 74 分） 17.（ 本题满分 10 分 ）已知平面 平面 ，直线 /a ， a 垂直于 与 的交线 AB，试判断 a 与 的位置关系，并证明结论 . 18. （ 本题满分 12 分 ）已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1.AB=1， AA1=2，点 E 为 CC1 中点，点 P 为 BD1 中点 . （ I）证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线； （ II）求点 D1 到面 BDE 的距离 . 19（本题满分 12 分）
8、在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， O 为正方形 ABCD 的中心， M 为 D1D的中点 . （ I）求证：异面直线 B1O 与 AM 垂直； （ II）求二面角 B1 AM C 的大小 ； （ III）若正方体的棱长为 a，求三棱锥 B1 AMC 的体积 20. （本题满分 13 分）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1，底面 ABC 中， CA=CB=1， BCA=90，棱 AA1=2， M、 N 分别是 A1B1， A1A 的中点， （ I）求 BN 的长； （ II）求 cos的值； （ III）求证： A1B C1M. A B C N A1 M B1 C1 21. （本题满
9、分 13 分） 如图，正方形 ACC1A1 与等腰直角 ACB 互相垂直， ACB=90， E、 F 分别是 AB、BC 的中点， G 是 AA1 上的点 . （ I）若 AC1 EG，试确定点 G 的位置； （ II）在满足条件（ 1）的情况下，试求 cos AC， GF的值 . 22（本题满分 14 分）如图 ，平面 ABCD平面 ABEF， ABCD 是正方形， ABEF 是矩形，且 ,21 aADAF G 是 EF 的中点 . （）求证平面 AGC平面 BGC； （）求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值 ； （）求二面角 B AC G 的大小 . 高二 (下 )期中数学测试卷答案
10、一 选择题 (本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 ). 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D D A A D B B A B D C 3 解：设正四棱锥的底面边长为 a,高为 h,则26aha ah2 2412 ，得 ,h4a3 22 记侧面与底面的夹角为 , ,3ah2tan 选 D. 6. 解：设 AB,CD 的中点分别为 M,N, 则在多面体 ABCDEF 的体积等于三棱柱 ADE-MNF的体积与四棱锥 F-MNCB 的体积之和， ,23V 292321M N FADE 323V 2331M N C BF ， 多面体 ABCDEF
11、的体积等于 .3 21529 选 D 12、提示：在甲成立时，乙成立，由平面三公理知，丙成立；反之也成立 ， 选 C 二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13 30 14. 233 15. 322 16. 三、解答题 （本大题共 6 题，共 74 分） 17 解： a 与 的位置关系 是：直线 a 平面 证明 过直线 a 作平面 直线 c ,（ 2 分） /a , c/a .（ 4 分） 又 ,ABa ABc .（ 6 分） 又 c ， AB 且 ， c ,（ 8 分） 故 a .（ 10 分） DA BCE FMNMb Nac18（ 1）证法一：取 BD 中点
12、M.连结 MC， FM . F 为 BD1 中点 ， FM D1D 且 FM=21 D1D .（ 2 分） 又 EC=21 CC1 且 EC MC ，四边形 EFMC 是矩形 EF CC1.（ 4 分） 又 CM面 DBD1 . EF面 DBD1 . BD1 面 DBD1 . EF BD1 . 故 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线 .（ 6 分） 证法二：建立如图的坐标系，得 B（ 0， 1， 0）， D1（ 1， 0， 2）， F（ 21 ， 21 ， 1）， C1（ 0， 0， 2）， E（ 0， 0， 1） .（ 2 分） ,0,0).2,1,1().2,0,0(),0,21,21
13、(1111EFBDCCEFBDCCEF （ 4 分）即 EF CC1， EF BD1 . 故 EF 是为 BD1 与 CC1 的公垂线 .（ 6 分） （）解：连结 ED1，有 VE DBD1=VD1 DBE . 由（）知 EF面 DBD1 ， 设点 D1 到面 BDE 的距离为 d. 分）（分）（分）则6.33223222d23)2(2321S4.22221S,22EF,2EDBEBD.1AB,2AA.EF2(SdS2DB EDB D1DB DDB E11 故点 D1 到平面 DBE 的距离为 332 . 19 9A 中考查异面直线垂直的判定及二面角的求法； 9B 中考查利用向量证明线线垂直及利用数量积求二面角的大小的方法 解法 1（ 9A）：（ 1）设 AD 的中点为 N，连结 ON，由 O 为正方形 ABCD 的中心， 得 ON平面 ADD1A1.又 AA1平面 ADD1A1，所以 A1N 为 B1O 在平面 ADD1A1 内的射影 .（ 2 分）在正方形 ADD1A1 中，
