1、 高级中学 高二数学期末 测 试卷 第卷 （选择题共 60 分） 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. .动圆的圆心在抛物线 2 8yx 上，且动圆恒与直线 20x相切，则动圆必经过定点（ ） （ A） (4,0) （ B） (2,0) （ C） (0,2) （ D） (0, 2) 2. 如图，正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中， EF 是异面直线 AC 和A1 D 的公垂线，则 EF 和 BD1 关系是 （ ） A相交不垂直 B相交垂直 C异面直线 D互相平行 3下列命题正确的是 （ ） A
2、/ /ab ba B /a abb C /a bab D /a bab 4过点 M（ 2， 4）作圆 C： 25)1()2( 22 yx 的切线 l，直线 023:1 ayaxl 与 l平行，则 l1与 l 之 间的距离是 （ ） A 528 B 512 C 58 D 52 5. 如图 ,在 ABC 中 , CAB= CBA=30 ,AC、 BC 边上的高分别为 BD、 AE,则以 A、 B为焦点 ,且过 D、 E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( ) A 3 B 1 C 23 D 33 6直线 10Ax By 在 y 轴上截距为 1 ，且它的倾斜角是直线 3 3 3xy 的倾斜角的 2
3、倍，则 ,AB的值分别为： （ ） A 3,1 B 3, 1 C 3, 1 D 3,1 7若双曲线的一个顶点到两条准线的距离和等于 4，一个焦点到两条渐近线的距离和等于 8， 则双曲线的离心率的值是 （ ） A 2 B 3 C 5 D 22 C1F A B D A1 B 1 C1 D1 B A E D C 8设坐标原点为 O，抛物线 xy 22 与过焦点的直线交于 A、 B 两点，则 OBOA 的值是 （ ） A 43 B 43 C 3 D 3 9 ,ab是异面直线， ,表示平面， ,ab甲： / , / ,ab乙： /，则甲是乙的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不
4、充分不必要条件 10过椭圆 )0(12222 babyax 的一个焦点 F 作弦 AB，若 1| dAF ， 2| dBF ，则2111 dd 的数值为 （ ） A22abB22baC2abaD与 a、 b 斜率有关 11已知 F1、 F2 是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并 且 PF1 PF2， e1 和 e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ） A 221 ee B 42221 ee C 2221 ee D 2112221 ee12. 对于抛物线 y2 4x 上任意一点 Q，点 P ( a, 0 )都满足 | PQ | | a |，则 a
5、的取值范围是 A. （， 0） B. （， 2 C. 0， 2 D. （ 0， 2） 二、填空题： 本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上 13. 已知 10101xyxyy ，则函数 22 4 4 8U x y x y 的最小值为 . 14设中心在原点的椭圆与双曲线 122 22 yx 有公共焦点 ,且它们的离心率互为倒数 ,则该椭圆的方程是 ; 15椭圆 13 22 yx 上的点到直线 06yx 的距离的最小值是 ; 16在空间四边形 ABCD 中， E、 F 分别为棱 AB、 CD 的 中点， 为 EF 与 AC 所成的角， 为 EF 与 BD 所成 的角
6、，为使 2 ，须添加条件 .（必 须写出两个答案） 17 已知椭圆 12222 bxay ( a b 0) 的离心率为 1e ，准线为 1l 、 2l ；双曲线 132222 byax离心率为 2e ，准线为 3l 、 4l ；若 1l 、 2l 、 3l 、 4l 正好围成一个正方形，则21ee 等于 . 18. 对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：若 AB=AC， BD=CD则 BC AD；若 AB=CD，AC=BD 则 BC AD；若 AB AC， BD CD 则 BC AD；若 AB CD， BD AC则 BC AD；其中真命题序号是 三、解答题： 本大题共 5 小题，共 66 分
7、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 19（本小题满分 12 分） 已知异面直线 a 、 b 的公垂线段 AB 的长为 10，点 aAMaMaA ,5, 点 、 b 所成的角为 60，求点 M 到直线 b 的距离 . 20（ 12 分）设 F1、 F2 为椭圆 149 22 yx 的两个焦点， P 为椭圆上的一点，已知 P、 F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，且 | PF1 | | PF2 |，求| | 21PFPF的值 . 21（本小题满分 14 分）已 知抛物线 xy 2 的弦 AB 与直线 1y 有公共点，且弦 AB 的中点 N 到 y 轴的距离为 1，求弦 AB 长度的最
8、大值，并求此直线 AB 所在的直线的方程 . 22（本小题 14 分） 已知四棱锥 P ABCD 的体积为 36,PC 底面 ABCD, ABC 和 ACD 都是边长为 1 的等边三角形 ,点 E 分侧棱 PA 所成的 比 PEEA (1)当 为何值时 ,能使平面 BDE 平面 ABCD?并给出证明； (2)当平面 BDE 平面 ABCD 时 ,求 P 点到平面 BDE 的距离； (3)当 =1 时 ,求二面角 A BE D 的大小 23（本小题 14 分） 已知双曲线 M 过点 )26,4(P ,且它的渐近线方程是 02 yx (1) 求双曲线 M 的方程 ; (2) 设椭圆 N 的中心在原
9、点 ,它的短轴是双曲线 M 的实轴 ,且 N 中斜率为 4 的弦的中点轨迹恰好是 M 的一条渐近线截在 N 内的部分 ,试求椭圆 N 的方程 . PDC BEA2005 2005 学年度第一学期期末 高二数学试卷参考答案 一、选择题 1 6： BBBCAB 7 12： CABBDA 二、填空题 13 134 22 xy 14 12 22 yx 15 22 16 BDAC ;AB=AD CB=CD（若其它正确答案） 17. 33 ,18. 三、解答题： 17解：设过 B 点与 a 平行的直线为 c、 b、 c 所确定 的平面为 .由于 AB 是异面直线 a、 b 的公垂线 ABcAB 于是 2
10、分 过点 M 作 MN c 垂足为 N，则 AB/MN MN ，四边形 ABMN 是矩形 5 AMBN 在内过 N 作 NC b，垂足为 C，连 MC，由三垂线定理知 MC b MC 即为点 M 到 b 的距离 7 分 又 a、 b 所成的角为 6060 CBN 9 分 在 Rt BCN 中， 32560s in BNNC 192522 NCMNMC 12 分 18解 : 设组装 x 件 X 产品 ,y 件 Y 产品 ,利润为 z 万元 由题意得 目标函数 : yxz 2.01.0 2 分 约束条件 :Nyxyxyxyx,12002500120008214000646 分 作出可行域 10 分
11、 作出直线 02:0 yxl ,平移 0l 到点 A 处 z 取最大值 ; O x y 由 1200082 1400064 yx yx得 10002000yx最优解为 )1000,2000( 11 分 当组装 2000 件 X 产品 ,1000 件 Y 产品时 ,该月利润最高 ,最高是 400 万元 . 12 分 19解 : (1)设原点 O 关于 L： 52 xy 的对称点 ),( 00 yx ，则5222210000xyxyLx 40 的方程 4x 4 分 （ 2）设 cayxPyxP 4)1(),(),( 2222111 知由 又 )(),( 22221211 cxcOFPFcxcOFP
12、F ， 6 分 由 940,910)()(21221 xxacxccxc 得 8 分 又14452222ccycxxy 消去 041610080)20(22 ccxxcy 得 10 分 0,294020 8020 8021 此时cccxx 椭圆的方程为 148 22 yx 12 分 20解：设 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB ，中点 ),1( 0yN 当 AB 直线的倾斜角 90时， AB 直线方程是 .2|,1 ABx （ 2 分） 当 AB 直 线 的 倾 斜 角 不 为 90 时， 22211 , yxyx 相 减 得)( 212121 yyyyxx 所以 kykyAB
13、2112 00 即（ 4 分） 设 AB 直线方程为： )1(21)1(0 xkkyxkyy 即，由于弦 AB 与直线 y=1 有公共点，故当 y=1 时 21021112112 kkkk k 即 （ 6 分） 012 1)1(21222kkyyyxxkky 故 所以 12 1122121 kyykyy，故 )14)(11(4)(11(|11| 22212212212 kkyyyykyykAB （ 8 分） 014,011,41,0(1,21 222 kkkk 25)21411()14)(11(| 22222 kkkkAB 故当 25|,361411m a x22 ABkkk 时即（ 12 分
14、） 22、解 （ 1）依题设，底面 ABCD 为菱形，设 AC BD O，连结 OE，则 OE BD若平面 BDE平面 ABCD，则 OE平面 ABCD， CP平面 ABCD， OE CP O 为 AC 中点， E 为 PA 中点，且 1PEEA （ 2）由（ 1）知， OE平面 ABCD， CP OE， CP平面 BDE， 故 P 到平面 BDE 的距离即为 C 到平面 BDE 的距离，易证 CO 平面 BDE， CO 即为 C 到平面 BDE 的距离， 而 CO 12 AC 12 ， 点 P 到平面 BDE 的距离为 12 说明 亦可化为求点 A 到平面 BDE 的距离 （ 3） 1 时，
15、即有平面 BDE平面 ABCD，交线为 BD， AO BD， AO 平面 ABCD， AO平面 BDE，过 O 作 OQ BE 于 Q，连结 QA，则由三垂线定理知 QA BE， AQO 就是二面角 A BE D 的平面角 在 Rt BOE 中， OE 12 PC 12 ， OB 32 AB 32 ， BE 221OE OB， 故由 OQ BE OB OE 得， 34OQ 在 Rt AOQ 中， 2ta n 33OAAQ O OQ ，即二面角 A BE D 的大小为 23arctan 3 22、（ 1）设双曲线 M 的方程为 )0(4 22 yx M 过点 )26,4(P 46416 10 双曲线 M 的方程为 104 22 yx 4 分 （ 2）由题意可设椭圆的方程为 )10(110222 axay 设斜率为 -4 的直线与椭圆交于点 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB AB 中点 ),( 00 yxP 则有 221212 1010 ayxa 222222 1010 ayxa -得 0)(10)( 212121212 yyyyxxxxa 002212122121 210 2)(10 )( yxayy xxaxx yy 8 分 002104 yxa 002 40xya 10 分 又2100 xy2021402 a 椭圆的方程为 12010 22 yx 14 分
