1、 高二数学 第一学期期中考试试卷 4 一、选择题 （ 60 分） 1下列命题中，正确的个数为： 如果 a b， c d 那么 a d b c 如果 a b， ab 0，则 1a 1b 如果 a b 0， c d 0，则 ac bd 如果 a b，那么 c 2a c 2b A 1 B 2 C 3 D 4 2 x R，那么 (1 |x|)(1 x) 0 的充要条件是： A |x| 1 B x 1 C |x| 1 D x 1 或 |x| 1 3已知点 (x， y)直线 x 2y 3 上移动，则 2x 4y的最小值是： A 4 2 B 3 2 C 6 D 8 4不等式 lgx2 (lgx)2 的解集为
2、： A x|0 x 1 或 x 100 B x|x 1 或 x 100 C x|x 0 D x|x 100 5若关于 x 的不等式 |x 2| |x a| a 在 R 上恒成立，则 a 的最大值是 A 0 B 1 C 1 D 2 6直线 y xtan 2， ( 2 ， )的倾斜角是： A B 2 C D 7已知 A(2， 3)， B( 3， 2)，直线 l： y kx 1 k 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率的取值范围是： A k 12 B k 34或 k 4 C 4 k 34 D 34 k 4 8当 1 x 1 时， y ax 2a 1 的值有正也有负，则实数 a 的取值范围是： A
3、a 0 或 a 1 B 0 a 1 C 1 a 13 D a 1 或 a 13 9过点 A(1， 4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 10直线 ax 4y 2 0 与 2x 5y b 0 互相垂直，垂足为 (1， c)，则 a b c 的值为： A 4 B 20 C 0 D 24 11 (理 )在直线坐标系中， ABC 的三个顶点分别为 A（ 0， 3）， B（ 3， 3）， C（ 2， 0），直线 x a 将 ABC 分割成面积相等的两部分，则实数的值是： A 3 B 1 22 C 1 32 D 2 22 (文 )直线 l1， l2 的斜率
4、是方程 6x2 x 1 0 的两根，则 l1 到 l2的角为： A 45或 135 B 90 C 135 D 45 12、 （理） 设 x1y R+， x y xy 2，则 x y 的最小值是 A 2 2 2 B 2 2 2 C 2 3 2 D 2 3 2 (文 )当 x 0 时，不等式 (5 a)x2 6x a 5 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 A (， 4) B 10， ) C ( 4， 4) D (1， 10) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题（ 16 分） 13、已知 x 54，函数 y 4x 1 14x 5的最大值是 2 14、不等
5、式 1 | 1x 3| 3 的解集为 x|2 x 83或 103 x 4 15、 （理） 若 A（ 3,8）， B(2,2),l1上存在一点 M 使得 |AM| |BM|最小，直线 l2： (a1)x y 2a 1 0 恒过定点 N，过 M， N 的直线为 l3， l3 与直线 l3： 3bx 2y 5 0 平行，若 l1 方程为 x y 0，则 b 56 (文 )设直线 l 经过点 ( 1， 1)，由当点 (2， 1)与直线 l 的距离最远时直线 l 的方程为 3x-2y+5=0 16、由 y 2 及 |x| y |x| 1 围成几何图形的面积是 3 三、解答题 17、 (12 分 )已知
6、a， b， c 均为正数， a b c 1，求证 : (1a 1)(1b 1)(1c 1) 8 (12 分 ) 证明 : 左边 = bca a c a bbc 6 分 2 1b c 2 a c 2 a b a b c =8 (12 分 ) 18、 (12 分 )解不等式 3logax 2 2logax 1 (a 0， a 1) 解 :原不等式等价于 : 3 alogx 2 0 alog x 23 3 alogx 21 a2log x 1 0 alogx 12 23 alogx 18 分 当 a1 时 ,解集为 23a , 34a ) ( a , + ) 当 01 5 分 若 01 时 , 不等
7、式的解集为 (1a ,1 ) 11 分 综上所述原不等式的解集为 当 a1 当 a=0 时 解集为 (1 ,+ ) 当 01 时 , 不等式的解集为 (1a ,1 ) 12 分 19、 (文 ) f (1)= a-c f (2 )=4a-c f (3 )=9a-c 2 分 设 f (3 )= mf (1 )+nf (2 ) 4 分 9a-c=m (a-c )+n(4a-c )=(m+4n)a-(m+n)c 9 = m+4n m= - 53 1= -m-n n = 83 f (3 )= - 53f (1 )+ 83f (2 ) 8 分 -4 f (1 ) -1 -1 f (2 ) 5 53 53
8、f (1 ) 203 83 83f (2 ) 403 两式相加得 : -1 53f (1 )+ 83f (2 ) 20 -1 f (3 ) 20 1 2 分 20、 (12 分 )某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料， 1 吨成本 1000 元，运费 500 元，可得产品 90kg。若采用乙种原料 1 吨成本 1500 元，运费 400 元，可得产品100kg。若每日预算总成本不得超过 6000 元，运费不得超过 2000 元，问工厂每日最多可生产多少 kg 产品？ 解：设工厂每日需要甲种原料 x 吨 ,乙种原料 y 吨 ,可得产品 z=90x+100y ( ) 2 分 x 0
9、 x 0 又 y 0 y 0 1000x+1500y 6000 2x+3y 12 6分 500x+400y 2000 5x+4y 20 画出可行域 ,不难求出最优解为 (1220,77) 11分 5 z=90 127 +100 207 =440207 4 答 :每日最多生产 440 12 分 o 4 6 x 21 (12 分 )过点 P(2， 1)，作直线 l 交 x 轴， y 轴的正向于 A、 B 两点，求 (1) AOB 面 积最小时直线 l 的方程。 (2)|PA| |PB|最小时的直线 l 的方程。 解： 设 l 的斜率为 k , 则其方程为 : y-1=k (x-2 ) , 则 A
10、(2-1k ,0) B ( 0 ,1-2k ) 2 -1k 0 1-2k0 k s=12 |2 -1k | |1-2k|=12 2(2k 1)k 化简得 4 2k +2(s-2)k+1=0 由 0 得 s 4 (或 s 0 舍 ) 当 AOB 面积最小时 , 即 s=4 时 求得 k= 12 l 的方程为 : x+2y-4=0 7 分 P(2， 1), A (2- 1k,0) , B ( 0 ,1-2k ) 则 ,|PA|= 1 1k2 ,|PB|= 4 4k2 |PA|PB|= (1 1k2)(4 4k2)= 8 4(k2 1k2) 4,取等号时 ,k2=1k2,即 k= 1, l 的方程为
11、 : :x+y-3=0 另： |PA|=| 1sin | , |PB|=| 2cos | , |PA| |PB| =| 2sin cos|= 4sin20|sin2 | 1|PA| |PB| 4 取等号时 2 =32 , =34 k=-1 l 的方程为 : :x+y-3=0 12 分 22 (14 分 )一束光线以 M( 3， 2)射向直线 l： x 2y 3 0，经 l 反射后通过点 N(1， 3)，在其反射光线所在的直线上求一点 Q，使 Q 到 A(8， 5)的距离与到 B(4， 1)的距离之差最大。 解：第一步 .求 M 关于 l 的对称点 M (1,-6) 3 分 第二步求直线 MN 的方程 :x=1 6 分 第三步求直线 AB 的方程 : x-y-3=0 10 分 第四步求 AB 与 MN 的交点 Q(1,-2) 14 分 y
