1、 高二年级数学 上学期期末考试试卷 (理科 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1 向量 (1, 2 , 2 ) , ( 2 , 4 , 4 )ab ,则 a 与 b ( ) A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对 2 在 ABC 中 , 3 0 , 4 5 , 2 .A B B C 则 AC 边长为 ( ) A. 2 B. 22 C. 263 D. 63 3. 过抛物线 y=x2 上的点 M（ 21 , 41 ）的切线的倾斜角是 （ ） A 30 B 45 C 60 D 90 4.设 fx在 ,ab
2、上的图象是一条连续不间断的曲线，且在 ,ab 内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A. fx在 ,ab 上的极值点一定是最值点 B. fx在 ,ab 上的最值点一定是极值点 C. fx在 ,ab 上可能没有极值点 D. fx在 ,ab 上可能没有最值点 5.集合 2| 2 3 0A x x x , 2|B x x p,若 AB 则实数 P 的取值范围是（ ） A. 13pp 或 B. 3p C. 9p D. 9p 6.已知数列 na ,如果 1 2 1 3 2 1, , , , ,nna a a a a a a ( 2n )是首项为 1公比为 13 的等比数列，那么 na 等于（ ） A.
3、31(1 )23nB. 131(1 )23nC. 21(1 )33nD. 121(1 )33n7.已知椭圆 22135xymn和双曲线 22123xymn有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ） A. 152xy B. 152yx C. 34xy D. 34yx 8. 如图所示长方体 ABCD 1 1 1 1ABCD 中， 1 2AA AB， AD=1， FGED1A1 B1C1D CBA点 E、 F、 G 分别是 11DD AB CC、 、 的中点， 则异面直线 1AE 和 GF 所成的角为 （ ） A. 5arccos 5 B. 4 C. 10arccos 5 D. 2 9.已知函数
4、32 , , 0f x a x b x x a b R a b 的图象如图所示 （ 12,xx为两个极值点），且 12xx 则有 （ ） A. 0, 0ab B. 0, 0ab C. 0, 0ab D. 0, 0ab 10已知直线 y=kx-k 及抛物线 2 20y px p，则 （ ） A.直线与抛物线有且只有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 11 已知梯形的两底的长度分别为 ,ab a b 。将梯形的两腰各分为 n 等份，连结两腰对应的分点，得到 n-1 条线段的长度之和为 （ ） A. 2na b B. 1 2n
5、 a b C. 1 2n a b D. na b 12 已知椭圆 2 2 12x y，过动点 P 的直线 PA,PB 分别与椭圆有且只有一个交点，交点为 A、 B，且 PA PB ，则动点 P 的轨迹是 （ ） A.圆 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13 由曲线 2yx 与 2 2yx 所围成的图形的面积是 . 14 已知 x,y 满足条件 040328xyxy则 z=2x+5y 的最大值为 15 函数 2 4 ( 1)1xxyxx 的最小值是 . 16 给出下列三个命题 (1)设 fx是定义在 R 上的可导函数， /fx为函数
6、 fx的导函数。 / 0 0fx 是 0x 为 fxOyxx 1x 2极值点的必要不充分条件。 (2)双曲线 22 112 4xymm的焦距与 m 有关 （ 3）命题“中国人不都是北京人”的否定是“中国人都是 北京人”。 （ 4）命题“ cd若 - 0 , 且 bc-ad0ab ” 其中正确结论的序号是 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知在 ABC 中 ,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a,b,c, 4 315,7,1 2 0 A B CSaA，求 b， c及 .B 18 （本小题满分 12 分）
7、数列 na 的前 n项和记为 nS ， a 1 1， 121 nn Sa ()nN . （ 1） 求 na 的通项公式； （ 2） 等差数列 nb 的各项为正数，其前 n项和为 nT ，且 T3 15，又 a 1+b 1， a 2+b 2， a 3+b 3成等比数列，求 nT 19 （本小题满分 12 分） 如图，在五棱锥 P ABCDE 中， PA AB AE 2a ， PB PE a22 ， BC DE a ， EAB ABC DEA 90O. （ 1） 求证： PA平面 ABCDE； （ 2） 求二面角 A-PD-E 的大小 . 20 （本小题满分 12 分） 定义在 R 上的函数 (x
8、 )=x 3+a x 2+b x (a ,b 为常数 )，在 x = 1 处取得极值， (x )的图象在P（ 1， (1)）处的切线平行直线 y 8x ， （ 1） 求函数 (x )解析式及极值； （ 2） 求不等式 (x ) k x 的解集； 21 （本小题满分 12 分） 已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F（ 0， 1）的距离比它到直线 yl： 2 的距离小 1. （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）若过点 P（ 2， 2）的直线 m 与曲线 C 交于 A， B 两点，设 PBAP . （ i）当 1 时，求直线 m 的方程； （ ii）当 AOB 的面积为 24 时（ O 为坐标原
9、点），求的值 . D C B A E P 22 （本小题满分 14 分） 已知 (x ) )0()1ln(1 xxx . （ 1） 函数 (x )在区间（ 0， + ）上是增函数还是减函数？证明你的结论； （ 2） 当 x 0时，证明： (x ) 31x ； （ 3） 求证：（ 1+1 2）（ 1+2 3） 1+n(n+1) 23ne ( , 2 . 7 1 8 2 8 )n N e其 中 无 理 数. 2007 2008学年度上学期期 末 考试 高二 年级数学科试卷 理 科 答案 1C 2 B 3 B 4 C 5 C 6 A 7 D 8 D 9 C 10 C 11 C 12 A 13、 83
10、 14、 19 15、 5 16、 （ 1）（ 3） 17、解 ： bc acbA 2c o s 222 4 315s in21 AbcS A B C 15bc .3分 bc bccb 2 492)(1 2 0c o s 2 8 cb .6分 b 3 c=5或 b=5 c=3 .8分 当 b 3 c 5时 14 33372 3s ins in ba AB 1433arcsinB .10 分 当 b 5 c 3时 1435sin B 1435arcsin B .12分 18、解： （ 1）由 121 nn Sa （ n 1）可得 12 1 nn Sa （ n 2） ,两式相减得 a n+1 a
11、n=2a n，)2(31 naa nn . 又 a 2 2S1+1=3, 12 3aa ，故 a n 是 首 项 为 1 ， 公 比 为 3 的等比数列，13 nna . .6分 （ 2）设 b n的公差为 d ，由 T3 15可得 b 1+b 2+b 3 15，可得 b 2 5，故可设 b 1 5 d ， b 3 5+d . 又 a 1 1， a 2 3， a 3 9，由题意可得（ 5 d +1）（ 5+d +9）（ 5+3） 2，解得 d 1 2， d 2 10. 等差数列 b n的各项为正， d 2， nnnnnT n 222 )1(3 2 . .12 分 19、解： （ 1） PA A
12、B 2a ， PB a22 ， PA2+AB2 PB2， PAB 90O，即 PA AB.同理 PA AE.又 AB AE A， PA平面 ABCDE. .4分 （ 2）解法一 如图， DEA 90O， AE ED. PA平面 ABCDE， PA ED. 又 PA AE A， ED平面 PAE.过 A作 AG PE 于 G， DE AG， AG平面 PDE. 过 G作 GH PD于 H，连结 AH，由三垂线定理 得 AH PD. AHG为二面角 A-PD-E的平面 角 .在直角 PAE 中， AG a2 .在直角 PAD 中， aAH 352 ， 在直角 AHG 中， sin AHG 1010
13、3AHAG . AHG arcsin 10103 ， 二面角 A-PD-E的大小为 arcsin 10103 . .12分 解法二 建立如图所示的空间直角坐标系，则 B（ 2a ， 0， 0）， E（ 0， 2a ， 0）， P（ 0， 0，2a ）， D（ a ， 2a ， 0）， C（ 2a ， a ， 0），过 A作 AN PD于 N. PD （ a ， 2a ， 2a ）， 设 PDPN ， PNAPAN （ a ， 2 a ， 2 a 2 a ） . AN PD, 0 PDAN . a a +2 a 2 a 2 a （ 2 a 2 a ） 0. 解得 94 . )910,98,94(
14、 aaaAN ，即 )910,98,94( aaaNA ，同理，过 E 作 EM PD 于 M，则)92,92,98( aaaME .二面角 A PD E 的大小为 ME ， NA所成的角 NAME, . cos NAME, 1010NAME NAME. NAME, arccos 1010 .二面角 A PD E的大小为arccos 1010 . .12分 20、解 : （ 1）由题设知 /( 1 ) 0 , 3 2 0 , 2 ,3 2 8 1 .(1 ) 8f a b aa b bf (x ) x 3+2x 2+x ， 则 143)( 2 xxxf ， 令 /121( ) 0 , , 13
15、f x x x 解 得， 当 x 变化时， (x ) )(xf 的变化情况如下表： x （ ， 1） 1 （ 1， 31 ） 31 （ 31 + ） /()fx + 0 0 + (x ) 0 274 (x )的极大值为（ -1） 0，极小值为（ 31 ） 274 .6分 （ 2） x 3+2x 2+x k x 0)12( 2 kxxx . 考虑方程 0)12( 2 kxxx 根的情况， 若 k 0，则方程 0)12( 2 kxxx 的根为 1,1,0 321 kxkxx ， 当 k 1时， 1,1 3 kxk ， 011 xkkxx 或不等式的解集为 ； k 1时，不等式的解集为 2xx ；
16、0 k 1时， 110 kxkxx 或不等式的解集为 ； 若 k 0时，不等式的解集为 10 xxx 或 ； 若 k 0时，不等式的解集为 0xx .12 分 21、解 : （ 1）解法一 设 .12)1(,12yMF),( 22 yyxyxM 即 则由题意得 当 y -2 时； yxyyx 4,1)1( 222 两边平方得； 当 y -2 时， 3)1( 22 yyx 两边平方得 882 yx ，因 y -2，不合题意，舍去 . 故点 M 的轨迹 C 的方程是： yx 42 . .4分 解法二 点 M 到点 F（ 0， 1）的距离比它到直线 yl： -2 的距离小 1. 点 M 在直线 l
17、的上方 . 点 M 到 F（ 0， 1）的距离与它到直线 yl： -1 的距离相等 . 点 M 的轨迹 C 是以 F 为焦点 l 为准线的抛物线，所以曲线 C 的方程为 yx 42 . （ 2）当直线 m 的斜率不存在时，它与曲线 C 只有一个交点，不合题意， 当直线 m 与 x 轴不垂直时，设直线 m 的方程为 )22()2(2 kkxyxky ，即. 代入 yx 42 得， .0)1(842 kkxx )22(16 2 kx 0 对 k R 恒成立 . 直线 m 与曲线 C 恒有两个不同的交点。 设交点 A， B 的坐标分别 为 A（ 11,yx ） B（ 22,yx ），则 kxx 42
18、1 . )1(821 kxx . （ i）由 PBAP ，且 1 得， P 为 AB 的中点， 421 xx .把代入得， 1,44 kk .直线 m 的方程是 0yx . .6分 （ ii） 221221 )()( yyxxAB )22)(1(44)(1( 22212212 kkkxxxxk . 点 O 到直线 m 的距离2122kkd . ABOS = AB21 2214 2 kkkd = 24 )1()1(4 kk ABOS = 24 02)1()1(,24)1()1(4 2424 kkkk 即. （ 2)1(1)1 22 kk 或 （无实根） 由 201)1( 2 kkk 或解得， 1
19、当 k 0 时，方程的解为 22x . 当1x 2232222,22 2 12 x xx 时， ； 当 22322,22,22 2 121 x xxx . .10分 2 当 k 2 时，方程的解为 224 ， 同理可得， 223223 或 . .12 分 22、解：（ 1） )1ln (111)( 2/ xxxxf0x 0)(/ xf 因此函数 (x )在区间（ 0， + ）上是减函数 . .3分 （ 2）证明：当 x 0 时， (x ) 31x 成立，即证当 x 0 时，（ x +1） ln（ x +1） +1-2x 0成立 . 令 g （ x ）（ x +1 ） ln （ x +1 ） +
20、1-2 x ，则/ / /( ) l n ( 1 ) 1 , 1 , ( ) 0 ; 0 1 ( ) 0g x x x e g x x e g x 当 时 当 时， 03)1()(1 eegxgex 取得最小值，即时，当 . 0 1 l n ( 1 ) 1 2 0x x x x 当 时 ， （ ） 成 立. .8分 （ 3）由（ 2）知： )0(13)1ln (1 xxxx ， xxxxx xx 32132112113)1ln ( ， 令 )1( 32)1(1ln),)(1( nnnnNnnnx 则. ln（ 1+1 2） +ln（ 1+2 3） + +ln1+n（ n+1） )1( 32)32 32()21 32( nn )1( 1. . .32 121 132 nnn 132 3 (1 ) 2 3 2 311n n nnn ， 32)1(1) . . .321)(211( nenn. .14 分
