1、 高二 数学 下学期期末模拟试题 本试卷满分 150分，答题时间 120分钟 姓名 班级 分数 一选择题：（每小题 5 分，共 50 分） 1 设 a、 b、 c 是三个实数，那么“ ab”是“ 22 bcac ”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必 要条件 2 设向量 ,abc 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是 （ ） A ,a b a b a B ,a b a b b C ,a b a b c D ,a b c a b c 3 将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 （ ） A 91 B 121 C 151
2、D 181 4 当 x R 时 ， 可得到不 等 式 x x1 2， x22 4224 xxxx 3， 由 此可推广为 xnxP n 1， 其中 P 等于 ( ) A n B nn )1( C 1nn D nx 5 已知两定点 2, 0 , 1, 0AB ，如果动点 P 满足 2PA PB ，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ） A B 4 C 8 D 9 6 将 1， 2， 3， 9 这 9 个数字填在如图中的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大当 3， 4 固定在图中位置时，填写空格的方法种数是（ ） A 6 B 12 C 18 D 24 7 如图，正方体
3、AC1 的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H则以下命题中，错误 的命题是 （ ） A点 H 是 A1BD 的垂心 B AH 垂直平面 CB1D1 C AH 的延长线经过点 C1 D直线 AH 和 BB1 所成角为 45 8已知集合 ZxxxP ,81| ，直线 12 xy 与双曲线 122 nymx 有且只有一个公3 4 共点，其中 Pnm , ，则满足上述条件的双曲线共有 （ ） A 2 条 B 3 条 C 4 条 D以上答案都不对 9 如果 ， AB 与 AC 是夹在平面 与 之间的两条线段， AB AC 且 2AB ，直线 AB与平面 所成的角为 30 ，那么线
4、段 AC 长的取值范围是 （ ） A 2 3 4 3,33B 1, C 231,3D 23,3 10设椭圆 )0(12222 babyax 的离心率为 e 21 ， 右焦点为 F(c， 0)，方程 ax2 bx c 0的两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P (x1， x2) 的位置 （ ） A必在圆 x2 y2 2 内 B必在圆 x2 y2 2 上 C必在圆 x2 y2 2 外 D以上三种情形都有可能 答 题 卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二填空题：（每小题 5 分，共 25 分） 11用一张长宽分别为 8cm、 4cm 的矩形硬纸板折成正四棱柱侧面，则四棱柱的
5、对角线长 为 _ _ cm 12 已知点 P(x, y)的坐标满足条件14xxyyx ，点 O 为坐标原点，那么 |PO|的最小值等于_，最大值等于 _。 13 过抛物线 2 2 ( 0)x py p的焦点 F 作倾角为 30 的直线，与抛物线分别交于 A 、 B 两点（ A在 y 轴左侧），则 AFFB。 14一个类似于杨辉三角的三角形数组（如下图）满足：（ 1）第 1 行只有 1 个数 1； （ 2）当 n 2 时，第 n 行首尾两数均为 n; (3)当 n2 时，中间各数都等于它肩上两数之和，则第n 行（ n 2）第 2 个数是 _ _。 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 15已知
6、 O 为异面直线 a、 b 外任一点，给出下列命题： 过点 O 可以作一条直线与 a、 b 都相交； 过点 O 可以作一个平面与 a、 b 都平行；过点 O 可以作一条直线与 a、 b 都垂直； 过点 O 可以作一个平面与 a、 b 都垂直。 其中真命题的编号是 （写出所有正确命题的编号）。 三解答题： 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 121)(2cxcxxf )1( )0( xc cx ,且 89)( 2 cf （ 1） 求 常数 c 的值； （ 2） 解不等式 182)( xf 。 17（本小题满分 12 分）在 1， 2， 3， 30，这 30 个数中。（ 1）每次取互不相等的
7、 2 个数，使其积为 7 的倍数，有多少种取法？ (2）每次取互不相等的 3 个数，使其和是 4 的倍数，有多少种取法？ 18（本小题满分 12 分）四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 底面ABCD 已知 45ABC ， 2AB ， 22BC ， 3SA SB（ ）证明 SA BC ；（ ）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小 19（本小题满分 12 分）如图，设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙从顶点 A 开始随机跳动，每次随机地跳到与它所在顶点相邻的两顶点之一，每次按顺时针方向跳动的概率为 32 (1)求青蛙从 A 点开始经过 3 次跳动所处的位置
8、为 D 点概率； (2)求青蛙从 A 点开始经过 4 次跳动所处的位置为 E 点概率 A B C D F E DBCAS20（本小题满分 13 分） 如图，正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有棱长都为 2 ， D 为 1CC 中点 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋（）求证： 1AB 平面 1ABD ；（ ） 求 二 面 角1A AD B的大小；（ ）求点 C 到平面 1ABD 的距离 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋21（本小题满分 14 分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC
9、 a bab 的离心率为 63 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 3 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设直线 l 与椭圆 C 交于 AB， 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 32 ，求 AOB 面积的最大值 ABCDA 1B 1C 1湖北省安陆一中高二下学期期末模拟试题 参考答案 一选择题：（每小题 5 分，共 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A B A D C D A 二填空题：（每小题 5 分，共 25 分） 11 2 6 66或 12 2, 10 13 31 14 ( 1) 12nn 15 三解答题： 16 解：（ 1）因为 10 c
10、 所以 10 2 cc 又由于 89)( 2 cf 。所以 8912 cc 可得 21c （ 2）由（ 1）知 )121(12)210(121)(4 xxxxfx当 210 x 时， 42182121 xx ， 因为 2142 ，所以 2142x 当 121 x 时， 8518212 4 xx ，所以 8521 x 综上得不等式的解集为 25|48xx17解：（ 1）被 7 整除的数有 7， 14， 21， 28 四个，不被 7 整除的有 26 个，满足题意的取法共有 2 1 14 4 26C CC 6+104=110 （ 2）记 iA 表示被 4 除余 i 的数组成的集合（ i 0， 1，
11、2， 3） 28,24,20,16,12,8,40 A 共有 7 个元素， 29,25,21,17,13,9,5,11 A 共有 8 个元素 30,26,22,18,14,10,6,22 A 共有 8 个元素， 27,23,19,15,11,7,33 A 共有 7 个元素 满足题意的取法： 1、在 0A 中取 3 个，有 37C 35 种。 2、在 0A 中取 1 个、 2A 中取 2 个，有 2817CC 196 种。 3、在 0A 中取 1 个、 1A 和 3A 中各取 1 个，有 171817 CCC 392 种。 4、在 1A 中取 2 个、 2A 中取 1 个，有 1828CC 22
12、4 种 5、在 2A 中取 1 个、 3A 中取 2 个，有 2718CC 168 种。故共有 1015 种取法。 18 解：（ ）作 SO BC ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC 底面 ABCD ，得 SO 底面ABCD 因为 SA SB ，所以 AO BO ，又 45ABC ，故 AOB 为等腰直角三角形，AO BO ，由三垂线定理，得 SA BC （）由（）知 SA BC ，依题设 AD BC ， 故 SA AD ，由 22AD BC， 3SA ， 2AO ，得 1SO ， 11SD SAB 的 面 积221 11 222S A B S A A B 连结 DB ，得 DAB
13、的面积2 1 s in 1 3 5 22S A B A D设 D 到平面 SAB 的距离为 h ，由于D SAB S ABDVV ，得 121133h S SO S，解得 2h 设 SD 与平面 SAB 所成角为 ，则 2 2 2sin 1111hSD 所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 22arcsin 11 解法二：（）作 SO BC ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC 底面 ABCD ，得 SO 平面ABCD 因 为 SA SB ，所以 AO BO 又45ABC ， AOB 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，AO OB 如图，以 O 为坐标原点， OA 为 x 轴正向
14、 ， 建 立 直 角 坐 标 系 O xyz ， ( 200)A ， ， ，(0 20)B ， ， ， (0 2 0)C ， ， ， (001)S ， ， ， ( 2 0 1)SA ， ， ， (0 2 2 0)CB ， ， ， 0SACB ，所以 SA BC （ ）取 AB 中点 E ， 22022E， ，连结 SE ，取 SE 中点 G ，连结 OG ， 2 2 14 4 2G， ， O D B C A S D B C A S O E G y x z 2 2 14 4 2OG ， ， 22122SE ， ， ( 2 2 0)AB ， ， 0SE OG ， 0AB OG ，OG 与平面 SA
15、B 内两条相交直线 SE ， AB 垂直所以 OG 平面 SAB ， OG 与 DS 的夹角记为 ， SD 与平面 SAB 所成的角记为 ，则 与 互余 ( 2 2 2 0)D ， ， ， ( 2 2 2 1)DS ， ， 22c o s 11O G D SO G D S ， 22sin 11 ， 所以，直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 22arcsin 11 19 解：设青蛙顺时针跳动 1 次为事件 A，逆时针跳动 1 次为事件 B，则， P(A) 32 ， P(B) 1 P(A)31。 青蛙从 A 点开始经过 3 次跳动到达 D 点 有两种方式：顺时针跳动 3 次或逆时针跳动 3 次
16、，故所求概率为 P(A A A) P(B B B) 31)31()32( 33 (2)青蛙从 A 点开始经过 4 次跳动到达 E 点 有两种方式：逆时针跳动 4 次，或顺时针跳动 3次而逆时针跳动 1 次，逆时针跳动 4 次的概率为 4)31(，顺时针跳动 3 次而逆时针跳动 1 次的概率为 )31()32( 334C。故所求概率为 2711)31()32()31( 3344 C 20 解法一：（）取 BC 中点 O ，连结 AO 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋ABC 为正三角形， AO BC 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师
17、http:/8320王新敞源头学子小屋正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 ABC 平面 11BCCB ， AO 平面 11BCCB 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋连结 1BO ，在正方形 11BBCC 中，OD， 分别为 1BC CC， 的中点， 1BO BD ， 1AB BD 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 在正方形 11ABBA 中， 11AB AB ， 1AB 平面 1ABD 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋（）设
18、1AB 与 1AB 交于点 G ，在平面 1ABD 中，作 1GF AD 于 F ，连结 AF ，由（）得 1AB平面 1ABD 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋1AF AD ， AFG 为二面角 1A AD B的平面角 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 在 1AAD 中，由等面积法可求得 455AF ，又11 22A G A B， ABCDA 1B 1C 1FGo2 10sin4455AGAFGAF 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 所以
19、二面角1A AD B的大小为 10arcsin 4 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 （ ） 1ABD 中，1115 2 2 6A B DB D A D A B S ， ， 1BCDS 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋在正三棱柱中，1A 到平面 11BCCB 的距离为 3 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 设点 C 到平面1ABD 的距离为 d 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 由11A
20、BCD C A BDVV得111333B C D A B DS S d ， 13 22B C DA B DSd S 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 点 C 到平面 1ABD 的距离为 22 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋解法二：（）取 BC 中点 O ，连结 AO 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋ABC 为正三角形， AO BC 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 在正三棱柱1 1 1A
21、BC A B C 中，平面 ABC 平面11BCCB ， AD 平面 11BCCB 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 取11BC 中点 1O ，以 O 为原点， OB ， 1OO ， OA 的方向为x y z， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 (100)B， ， ， ( 110)D， ， ， 1(02 3)A ， ， ， (00 3)A ， ， ，1(120)B ， ， ， 1 (1 2 3 )AB ， ， ， ( 210)BD， ， ， 1 ( 1 2 3)BA ， ， 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/832
22、0王新敞源头学子小屋 1 2 2 0 0A B B D ， 11 1 4 3 0A B B A ， 1AB BD ， 11AB BA 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 1AB 平面 1ABD 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋（）设平面 1AAD 的法向量为 ()x y z ， ，n 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋( 1 1 3)AD ， ， ， 1 (0 2 0)AA ， ， 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/83
23、20王新敞源头学子小屋ADn ， 1AAn ，100ADAA ，nn 3020x y zy ，03yxz， 令 1z 得 ( 3 01) ， ，n 为平面 1AAD 的一个法向量 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋由（ ）知 1AB 平面 1ABD ， 1AB 为平面 1ABD 的法向量 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 cosn ，1113 3 642 2 2ABABAB nn 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋 二面角 1A AD B的大小
24、为 6arccos 4 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋（ ）由（ ）， 1AB 为平面 1ABD 法向量， 1( 2 0 0 ) (1 2 3 )B C A B ， ， ， ， ， 2007新疆奎屯wxckt126.om特级教师http:/8320王新敞源头学子小屋点 C 到平面 1ABD 的距离 112 2222B C A BdAB ABCDxA 1B 1C 1O 1ozy21 解：（）设椭圆的半焦距为 c ，依题意 633caa ， 1b， 所求椭圆方程为 2 2 13x y （）设 11()Ax y， ， 22()B x y， （ 1
25、）当 AB x 轴时， 3AB （ 2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m 由已知2321mk ，得 223 ( 1)4mk把 y kx m 代入椭圆方程，整理得2 2 2( 3 1 ) 6 3 3 0k x k m x m ， 12 2631kmxx k ， 212 23( 1)31mxx k 2 2221(1 ) ( )AB k x x 2 2 222 2 236 12( 1 )(1 ) ( 3 1 ) 3 1k m mk kk 2 2 2 2 22 2 2 21 2 ( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 ) ( 3 1 )k k m k kkk 242 221 2 1 2 1 23 3 ( 0 ) 3 419 6 1 2 3 696k kkk k k 当且仅当 2219k k，即 33k 时等号成立当 0k 时， 3AB ， 综上所述 max 2AB 当 AB 最大时， AOB 面积取最大值m a x1 3 32 2 2S A B
